Giải bài tập SGK Toán 6 Bài 11: Tính chất cơ bản của phép nhân phân số

Trong hai câu sau đây, câu nào đúng?

Câu thứ nhất: Để nhân hai phân số cùng mẫu, ta nhân hai tử với nhau và giữ nguyên mẫu.

Câu thứ hai: Tích của hai phân số bất kì là một phân số có tử là tích của hai tử và mẫu là tích của hai mẫu.

Hướng dẫn giải

Câu thứ nhất sai. Câu thứ hai đúng. 

Điền các số thích hợp vào bảng sau: 

Hướng dẫn giải

Hoàn thành bảng nhân sau (chú ý rút ngắn gọn nếu có thể) :

Hướng dẫn giải

Các phép nhân ở hàng 2 là: 

\(\dfrac{2}{3}.\dfrac{{ - 5}}{6} = \dfrac{{2.\left( { - 5} \right)}}{{3.6}} \)\(= \dfrac{{1.\left( { - 5} \right)}}{{3.3}} = \dfrac{{ - 5}}{9}\)

\(\begin{array}{l}
\,\dfrac{2}{3}.\dfrac{7}{{12}} = \dfrac{{2.7}}{{3.12}} = \dfrac{{1.7}}{{3.6}} = \dfrac{7}{{18}}\\
\,\dfrac{2}{3}.\dfrac{{ - 1}}{{24}} = \dfrac{{2.\left( { - 1} \right)}}{{3.24}} = \dfrac{{1.\left( { - 1} \right)}}{{3.8}} = \dfrac{{ - 1}}{{24}}
\end{array}\)

Thực hiện tương tự với các hàng tiếp theo ta có bảng kết quả sau khi đã rút gọn: 

Tính giá trị biểu thức sau một cách hợp lí: 

\(A=\dfrac{7}{19}.\dfrac{8}{11}+\dfrac{7}{19}.\dfrac{3}{11}+\dfrac{12}{19}\) ;

\(B= \dfrac{5}{9}.\dfrac{7}{13}+\dfrac{5}{9}.\dfrac{9}{13}-\dfrac{5}{9}.\dfrac{3}{13}\) ;

\(C=\left (\dfrac{67}{111}+\dfrac{2}{33}-\dfrac{15}{117} \right ).\left (\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12} \right )\). 

Hướng dẫn giải

\(A=\dfrac{7}{19}.\dfrac{8}{11}+\dfrac{7}{19}.\dfrac{3}{11}+\dfrac{12}{19}\)

\(A= \dfrac{7}{19}.\left (\dfrac{8}{11}+\dfrac{3}{11} \right )+\dfrac{12}{19}\)

\(A = \dfrac{7}{{19}}.\dfrac{{11}}{{11}} + \dfrac{{12}}{{19}}\)

\(A=\dfrac{7}{19}.1 +\dfrac{12}{19}\)

\(A=\dfrac{7+12}{19} \)

\(A=\dfrac{19}{19}=1\)

\(B= \dfrac{5}{9}.\dfrac{7}{13}+\dfrac{5}{9}.\dfrac{9}{13}-\dfrac{5}{9}.\dfrac{3}{13}\)

\(B=\dfrac{5}{9}.\left (\dfrac{7}{13}+\dfrac{9}{13}-\dfrac{3}{13} \right )\)

\(B=\dfrac{5}{9}.\dfrac{7+9-3}{13}\)

\(B=\dfrac{5}{9}.\dfrac{13}{13}=\dfrac{5}{9}.1=\dfrac{5}{9}\)

\(C=\left (\dfrac{67}{111}+\dfrac{2}{33}-\dfrac{15}{117} \right ).\left (\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12} \right )\)

\(C=\left (\dfrac{67}{111}+\dfrac{2}{33}-\dfrac{15}{117} \right ).\dfrac{4-3-1}{12}\)

\(C=\left (\dfrac{67}{111}+\dfrac{2}{33}-\dfrac{15}{117} \right ).0=0\)

Tính giá trị các biểu thức sau:

\(A=a.\dfrac{1}{2} +a.\dfrac{1}{3}-a.\dfrac{1}{4}\)  với \(a= \dfrac{-4}{5}\);

\(B=\dfrac{3}{4}.b+\dfrac{4}{3}.b-\dfrac{1}{2}.b\)   với \(b=\dfrac{6}{19}\) ;

\(C=c.\dfrac{3}{4}+c.\dfrac{5}{6}-c.\dfrac{19}{12}\)  với \(c=\dfrac{2002}{2003}\) ; 

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(A=a.\left (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4} \right )\)

\(=a.\dfrac{6+4-3}{12}=a.\dfrac{7}{12}\)

Với \(a= \dfrac{-4}{5}\) , thì \(A=\dfrac{-4}{5}.\dfrac{7}{12}=\dfrac{-7}{15}.\)

\(B=\dfrac{3}{4}.b+\dfrac{4}{3}.b-\dfrac{1}{2}.b\) 

\(=b.\left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{2}} \right) \)

\(= b.\dfrac{{3.3 + 4.4 - 1.6}}{{12}} = b.\dfrac{{19}}{{12}}\)

Với \(b = \dfrac{6}{{19}} \Rightarrow B = \dfrac{6}{{19}}.\dfrac{{19}}{{12}}\)\( = \dfrac{1}{2}\)

Vậy  \(B=\dfrac{1}{2}\) 

\(C = c.\left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{{19}}{{12}}} \right) \)

\(= c.\left( {\dfrac{{3.3}}{{12}} + \dfrac{{5.2}}{{12}} - \dfrac{{19}}{{12}}} \right) \)

\(= c.0 = 0\)

Hay \(C = 0\) vói mọi \(c\)

Vậy với \(c=\dfrac{2002}{2003}\) thì \(C=0.\) 

Căn cứ vào tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân số nguyên ta có thể suy ra tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân phân số.

Ví dụ: Tính chất giao hoán của phép nhân phân số:

\(\displaystyle {a \over b}.{c \over d} = {{a.c} \over {b.d}} = {{c.a} \over {d.b}} = {c \over d}.{a \over b}\)

Bằng cách tương tự, em hãy suy ra tính chất kết hợp của phép nhân phân số từ tính chất kết hợp của phép nhân số nguyên  

Hướng dẫn giải

Tính chất kết hợp của phép nhân phân số: 

\(\left(\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d}\right).\dfrac{p}{q}\)\(= \dfrac{a}{b}.\left( {\dfrac{c}{d}.\dfrac{p}{q}} \right)\)

Em hãy tính các tích sau rồi viết chữ tương ứng với đáp số đúng vào các ô trống. Khi đó em sẽ biết được tên của một nhà toán học Việt Nam nổi tiếng ở thế kỉ XV.

T. \( \displaystyle {{ - 2} \over 3}.{{ - 3} \over 4}\)

U. \( \displaystyle {6 \over 7}.1\)

E. \( \displaystyle {{16} \over {17}}.{{ - 17} \over {32}}\)

H. \( \displaystyle {{13} \over {19}}.{{ - 19} \over {13}}\) 

G. \( \displaystyle {{15} \over {49}}.{{ - 84} \over {35}}\)

O. \( \displaystyle {1 \over 2}.{3 \over 4}.{{ - 8} \over 9}\)

N.   \( \displaystyle {{ - 5} \over {16}}.{{ - 18} \over 5}\)

I.\( \displaystyle {6 \over {11}}.{{ - 1} \over 7}.0.{3 \over {29}}\)

V. \( \displaystyle {7 \over 6}.{{36} \over {14}}\)

L. \( \displaystyle {3 \over { - 5}}.{1 \over 3}\)

Hướng dẫn giải

T. \( \displaystyle {{ - 2} \over 3}.{{ - 3} \over 4}\) = \( \displaystyle {1 \over 2}\)

U. \( \displaystyle {6 \over 7}.1\) = \( \displaystyle {6 \over 7}\)

E. \( \displaystyle {{16} \over {17}}.{{ - 17} \over {32}}\) = \( \displaystyle - {1 \over 2}\)

H. \( \displaystyle {{13} \over {19}}.{{ - 19} \over {13}}=-1\)

G. \( \displaystyle {{15} \over {49}}.{{ - 84} \over {35}}\) = \( \displaystyle - {{36} \over {49}}\)

O. \( \displaystyle {1 \over 2}.{3 \over 4}.{{ - 8} \over 9}\) = \( \displaystyle - {1 \over 3}\)

N.   \( \displaystyle {{ - 5} \over {16}}.{{ - 18} \over 5}\) = \( \displaystyle {9 \over 8}\)

I.\( \displaystyle {6 \over {11}}.{{ - 1} \over 7}.0.{3 \over {29}}=0\) 

V. \( \displaystyle {7 \over 6}.{{36} \over {14}}=3\)

L. \( \displaystyle {3 \over { - 5}}.{1 \over 3}\) = \( \displaystyle - {1 \over 5}\)

Ta tìm được nhà Toán học Việt Nam nổi tiếng ở thế kỉ XV là Lương Thế Vinh.

Tính:

a) \( \displaystyle 5.{{ - 3} \over {10}}\)         

b) \( \displaystyle {2 \over 7} + {5 \over 7}.{{14} \over {25}}\)

c) \( \displaystyle {1 \over 3} - {5 \over 4}.{4 \over {15}}\)         

d) \( \displaystyle \left( {{3 \over 4} + {{ - 7} \over 2}} \right).\left( {{2 \over {11}} + {{12} \over {22}}} \right)\) 

Hướng dẫn giải

Câu a:

\(\,\,5.\dfrac{{ - 3}}{{10}} = \dfrac{{ 5.(- 3)}}{10}= \dfrac{{ - 3}}{2}\)

Câu b:

\(\,\,\dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{7}.\dfrac{{14}}{{25}} = \dfrac{2}{7} + \dfrac{{5.14}}{{7.25}} \\= \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{{10}}{{35}} + \dfrac{{14}}{{35}} = \dfrac{{24}}{{35}}\\\)

Câu c:

\(\,\dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{4}.\dfrac{4}{{15}} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{5.4}{4.15}= \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} = 0\\\)

Câu d:

\(\,\,\left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{{ - 7}}{2}} \right).\left( {\dfrac{2}{{11}} + \dfrac{{12}}{{22}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{{ - 14}}{4}} \right).\left( {\dfrac{4}{{22}} + \dfrac{{12}}{{22}}} \right) \\= \dfrac{{ - 11}}{4}.\dfrac{{16}}{{22}} = \dfrac{{ - 11.16}}{4.22}=  - 2 \)

Đáp số: \(\displaystyle a){{ - 3} \over 2};b){{24} \over {35}}\) ; \(c)\,\,0; d) \,\,-2.\)

Tính diện tích và chu vi một khu đất hình chữ nhật có chiều dài \(\dfrac{1}{4}\) km và chiều rộng \(\dfrac{1}{8}\) km

Hướng dẫn giải

Diện tích khu đất hình chữ nhật là:

\( \displaystyle {1 \over 4} . {1 \over 8} = {1 \over {32}}\)  (km²) 

Chu vi khu đất hình chữ nhật là:

\( \displaystyle \left( {{1 \over 4} + {1 \over 8}} \right) .2 =2.{3 \over 8}= {3 \over 4}\) (km)

Đoán vui: Một con ong và bạn Dũng cùng xuất phát từ A đến B. Biết rằng mỗi giây ong bay được 5m và mỗi giờ Dũng đạp xe đi được 12 km. Hỏi con ong hay bạn Dũng đến B trước?

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Đổi vận tốc của bạn Dũng từ km/h sang m/s

1km = 1000 m; 1h = 3600 giây.

\(1\dfrac{{km}}{h} = \dfrac{{1000m}}{{3600s}} = \dfrac{5}{{18}}m/s\)

Vận tốc của Dũng:

\(12\dfrac{{km}}{h} = 12.\dfrac{5}{{18}}\dfrac{m}{s} \)

\(= \dfrac{{10}}{3}\)m\s < 5m\s = vận tốc của con ong.

Vận tốc của con ong lớn hơn bạn Dũng.

Vậy: con ong sẽ đến B trước bạn Dũng. 

Lúc 6 giờ 50 phút bạn Việt đi xe đạp từ A để đến B với vận tốc 15 km/h. Lúc 7 giờ 10 phút bạn Nam đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 12 km/h. Hai bạn gặp nhau ở C lúc 7 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.  

Hướng dẫn giải

Cho đến lúc hai bạn gặp nhau, thời gian bạn Việt đã đi là:

7 giờ 30 phút – 6 giờ 50 phút = 40 phút \(= \displaystyle {2 \over 3}\) giờ.

Thời gian bạn Nam đã đi đến khi gặp nhau là:

7 giờ 30 phút – 7 giờ 10 phút = 20 phút \( =\displaystyle {1 \over 3}\) giờ.

Quãng đường bạn Việt đã đi là: \( \displaystyle 15.{2 \over 3} = 10\left( {km} \right)\).

Quãng đường bạn Nam đã đi là: \( \displaystyle 12.{1 \over 3} = 4\left( {km} \right)\)

Vì tổng hai quãng đường mà hai bạn đã đi bằng quãng đường AB nên

\(AB = 10 + 4 = 14\) (km)

Đáp số: Quãng đường AB dài 14 km.