Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 8: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Tìm hai số $x$ và $y$, biết $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5}$ và $x + y = 16$

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c }}{{b + d }}$

Hướng dẫn giải

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{x+y}{3+5} = \dfrac{16}{8} = 2$ (Vì theo đề bài cho: $x+y=16$)

Do đó

$\dfrac{x}{3} = 2  \Rightarrow  x = 2.3 = 6$

$\dfrac{y}{5} = 2 \Rightarrow  y = 2.5 = 10$ 

Vậy $x=6; y =10$.

Tìm hai số $x$ và $y$, biết $x: 2 = y: (-5)$ và $x - y = -7$

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - c }}{{b - d }}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $x: 2 = y: (-5)$ tức là:  $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{-5}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{-5} =\dfrac{x-y}{2-(-5)} = \dfrac{-7}{7} = -1$

Do đó

$\dfrac{x}{2} = -1 \Rightarrow  x = (-1).2 = -2$

$\dfrac{y}{-5} = -1 \Rightarrow  y=( -1).(-5) = 5$

Vậy $x = -2$ và $y = 5$

Tìm diện tích của một hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của nó bằng $\dfrac{2}{5}$ và chu vi bằng $28m$

Phương pháp giải

Áp dụng

• Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} =\dfrac{{a + c }}{{b + d}}$
• Công thức tính chu vi, diện tích hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Gọi $x (m)$ là chiều rộng, $y (m)$ là chiều dài ( $x, y >0$)

Tỉ số giữa hai cạnh là $\dfrac{2}{5}$ nên suy ra $\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{5}$ hay $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5}$

Chu vi của hình chữ nhật bằng $28$ nên: $2.(x+y)=28 \Rightarrow x+y=14$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có

$\dfrac{x}{2} =\dfrac{y}{5} = \dfrac{x+y}{2+5} = \dfrac{14}{7} = 2$

Do đó: $\dfrac{x}{2}= 2 \Rightarrow x = 2.2 = 4$ (thỏa mãn)

$\dfrac{y}{5}=2 \Rightarrow y= 2.5= 10$ (thỏa mãn)

Vậy diện tích hình chữ nhật là: $S = 10.4 = 40\;(m^2)$

Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số $2; 4; 5.$ Tính số viên của mỗi bạn, biết rằng ba bạn có tất cả $44$ viên bi.

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}}$

Hướng dẫn giải

Gọi $x, y, z$ lần lượt là số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng. $(x,y,z \in\mathbb {N^*};x,y,z < 44)$

Vì ba bạn có tất cả 44 viên bi nên $x + y + z = 44$

Lại có, số bi của Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2, 4, 5, nên ta có: 

$\dfrac{x}{2}= \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{2}= \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}$ = $\dfrac{x+y+z}{2+4+5} = \dfrac{44}{11} = 4$

Do đó

$\dfrac{x}{2}= 4\Rightarrow  x =4.2=8$ (thỏa mãn)

$\dfrac{y}{4}= 4 \Rightarrow  y = 4.4 = 16$ (thỏa mãn)

$\dfrac{z}{5} = 4 \Rightarrow  z = 4.5= 20$ (thỏa mãn)

Vậy số viên bi của Minh, Hùng, Dũng theo thứ tự là $8, 16, 20$ viên bi. 

Hai lớp 7A và 7B đi lao động trồng cây. Biết rằng tỉ số giữa cây trồng được của lớp 7A và lớp 7B là $0,8$ và lớp 7B trồng nhiều hơn lớp 7A là $20$ cây. Tính số cây mỗi lớp đã trồng?

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c }}{{b + d }} = \dfrac{{a - c }}{{b - d }}$

Hướng dẫn giải

Gọi $x, y$ lần lượt là số cây trồng được của lớp 7A, 7B. $(x,y \in \mathbb {N^*};\,\,y > 20)$

Theo đề bài tỉ số giữa cây trồng được của lớp 7A và lớp 7B là $0,8$ nên ta có:

$\dfrac{x}{y}= 0,8=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$

$\Rightarrow  \dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5}$

Lớp 7B trồng nhiều hơn lớp 7A là $20$ cây nên ta có:

$y - x = 20$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{ y-x}}{{5-4}}=\dfrac{y-x}{1} = \dfrac{20}{1}=20$ 

Do đó

$\dfrac{x}{4} = 20 \Rightarrow  x = 20.4 = 80$ (thỏa mãn)

$\dfrac{y}{5} = 20 \Rightarrow  y = 20.5 = 100$ (thỏa mãn)

Vậy số cây của lớp 7A là $80$, của lớp 7B là $100$.

Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên  

$\eqalign{ & a)\,\,2,04:{\rm{ }}\left( { - 3,12} \right) \cr & b)\,\,\left( { - 1{1 \over 2}} \right):1,25 \cr & c)\,\,4:5{3 \over 4} \cr & d)\,\,10{3 \over 7}:5{3 \over {14}} \cr}$

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân, chia số hữu tỉ.

$\begin{array}{l} \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{{AC}}{{BD}}\\ \dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C} = \dfrac{{AD}}{{BC}} \end{array}$

Hướng dẫn giải

$\eqalign{ & a)\,\,2,04:{\rm{ }}\left( { - 3,12} \right) = {{204} \over {100}}:{{ - 312} \over {100}} \cr & = {{204} \over {100}}.{{100} \over { - 312}} = {{204} \over { - 312}} = {{ - 17} \over {26}} \cr & b)\,\,\left( { - 1{1 \over 2}} \right):1,25 = {{ - 3} \over 2}:{{125} \over {100}} \cr & = {{ - 3} \over 2}.{{100} \over {125}} = {{ - 3} \over 2}.{4 \over 5} = {{ - 6} \over 5} \cr & c)\,\,4:5{3 \over 4} = 4:{{23} \over 4} = 4.{4 \over {23}} = {{16} \over {23}} \cr & d)\,\,10{3 \over 7}:5{3 \over {14}} = {{73} \over 7}:{{73} \over {14}} \cr&= {{73} \over 7}.{{14} \over {73}} = 2 \cr}$

Tìm $x$ trong các tỉ lệ thức sau

$\eqalign{ & a)\,\,\left( {{1 \over 3}x} \right):{2 \over 3} = 1{3 \over 4}:{2 \over 5} \cr & b)\,\,4,5:0,3{\rm{ }} = {\rm{ }}2.25:\left( {0,1.x} \right) \cr & c)\,\,8:\left( {{1 \over 4}.x} \right) = 2:0,02 \cr & d)\,\,3:2{1 \over 4} = {3 \over 4}:(6.x) \cr}$

Phương pháp giải

Áp dụng

- Tính chất tỉ lệ thức

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc$

- Quy tắc nhân, chia số hữu tỉ

$\begin{array}{l} \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{{AC}}{{BD}}\\ \dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C} = \dfrac{{AD}}{{BC}} \end{array}$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\eqalign{ & \left( {{1 \over 3}x} \right):{2 \over 3} = 1{3 \over 4}:{2 \over 5} \cr & {x \over 3}:{2 \over 3} = {7 \over 4}:{2 \over 5} \cr & {x \over 3}.{3 \over 2} = {7 \over 4}.{5 \over 2} \cr & {x \over 2} = {{35} \over 8} \cr &x = {{35.2} \over 8} \cr & x = {{35} \over 4} \cr}$

Câu b

$\begin{array}{l} 4,5:0,3 = 2,25:\left( {0,1.x} \right)\\ 15 = 2,25:\left( {0,1.x} \right)\\ 0,1.x = 2,25:15\\ 0,1x = 0,15\\\;\;\;x=0,15:0,1\\ x = 1,5 \end{array}$

Câu c

$\eqalign{ & 8:\left( {{1 \over 4}.x} \right) = 2:0,02 \cr &8:\left( {{1 \over 4}.x} \right) = 100 \cr & {1 \over 4}x = 8:100 \cr & {1 \over 4}x = 0,08 \cr & x = 0,08:{1 \over 4} \cr &x = 0,08.4 \cr & x = 0,32 \cr}$

Câu d

$\begin{array}{l} \,3:2\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}:\left( {6.x} \right)\\ 3:\dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{4}:\left( {6.x} \right)\\ 3.\dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{4}:\left( {6.x} \right)\\ \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{4}:\left( {6.x} \right)\\ 6.x = \dfrac{3}{4}:\dfrac{4}{3}\\ 6.x = \dfrac{3}{4}.\dfrac{3}{4}\\ 6.x = \dfrac{9}{{16}}\\ x = \dfrac{9}{{16}}:6\\ x = \dfrac{9}{{16}}.\dfrac{1}{6}\\ x = \dfrac{3}{{32}} \end{array}$

Tìm ba số $x, y , z$, biết rằng: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3};\dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}$ và $x + y - z= 10$

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a \pm c \pm e}}{{b \pm d \pm f}}$

Hướng dẫn giải

Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} \Rightarrow \dfrac{x}{2}.\dfrac{1}{4} = \dfrac{y}{3}.\dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{x}{8} = \dfrac{y}{{12}}\\ \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} \Rightarrow \dfrac{y}{4}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{z}{5}.\dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{15}}\\ \Rightarrow\dfrac{x}{8} = \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{15}} \end{array}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{x}{8} = \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{15}} = \dfrac{{x + y - z}}{{8 + 12 - 15}} = \dfrac{{10}}{5} = 2$

Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{x}{8} = 2 \Rightarrow x = 8.2 = 16\\ \dfrac{y}{{12}} = 2 \Rightarrow y = 12.2 = 24\\ \dfrac{z}{{15}} = 2 \Rightarrow z = 15.2 = 30 \end{array}$

Vậy $x=16,y=24,z=30.$

Tìm hai số $x$ và $y$, biết rằng: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5}$ và $x.y = 10$

Phương pháp giải

Áp dụng

$\eqalign{ & {a \over b} = {c \over d} = k\,\,(k\ne 0) \cr & \Rightarrow a = kb;\,\,c = kd \cr}$

Hướng dẫn giải

Đặt $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5}=k$ (với $k\ne 0$) 

Do đó $x = 2k; y = 5k$  (1) 

Theo đề bài $xy = 10$  (2)

Thay (1) và (2) ta được: $2k.5k = 10 \Rightarrow 10{k^2} = 10$

$\Rightarrow {k^2} = 1 \Rightarrow k =  1$ hoặc $k=-1$ 

Với $k = 1$ ta được $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = 1 \Rightarrow x = 2;y = 5$

Với $k = -1$ ta được $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} =  - 1 \Rightarrow x =  - 2;y =  - 5$

Vậy $x = 2 ; y = 5$ hoặc $x = -2; y = -5.$

Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\,\,(a\, - b \ne 0,\,c\, - d \ne 0)$ ta có thể suy ra tỉ lệ thức $\dfrac{{a + b}}{{a - b}} = \dfrac{{c + d}}{{c - d}}$

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{a + b}}{{c + d}} = \dfrac{{a - b}}{{c - d}}$  

Áp dụng: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$

Hướng dẫn giải

Ta có:  $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$  suy ra $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{a + b}}{{c + d}} = \dfrac{{a - b}}{{c - d}}$       

Vì $\dfrac{{a + b}}{{c + d}} = \dfrac{{a - b}}{{c - d}}$ nên $\dfrac{{a + b}}{{a - b}} = \dfrac{{c + d}}{{c - d}}$

Số học sinh bốn khối $6,7,8,9$ tỉ lệ với các số $9, 8, 7, 6$. Biết rằng số học sinh khối $9$ ít hơn số học sinh khối $7$ là $70$ học sinh. Tính số học sinh mỗi khối?

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - c }}{{b - d }}$

Hướng dẫn giải

Gọi $x, y, z, t$ lần lượt là số học sinh các khối $6, 7, 8, 9$,  $(x,y,z,t \in {\mathbb N^*})$

Theo đề bài số học sinh bốn khối $6,7,8,9$ tỉ lệ với các số $9, 8, 7, 6$ nên ta có: $\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{6}$

Số học sinh khối $9$ ít hơn số học sinh khối $7$ là $70$ học sinh nên ta có: $y - t = 70$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{6} = \dfrac{{y - t}}{{8 - 6}}$$\, = \dfrac{{70}}{2} = 35$

Do đó

$x = 9.35 = 315$

$y = 8.35 = 280$

$z = 7.35 = 245$

$t = 6.35 = 210$

Vậy số học sinh các khối $6, 7, 8, 9$ lần lượt là $315;280;245;210$ học sinh.