Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 6: Từ vuông góc đến song song

Căn cứ vào hình 29 hãy điền vào chỗ trống(...)

a) Nếu a ⊥ c và b ⊥ c thì ....

b) Nếu a // b và c ⊥ b thì ....

Phương pháp giải

Áp dụng quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng:

• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
• Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Hướng dẫn giải

Câu a: Nếu $a ⊥ c$ và $b ⊥ c$ thì $a // b$

Câu b: Nếu $a // b$ và $c ⊥ b$ thì $c ⊥ a$

Căn cứ vào hình 30 hãy điền vào chỗ trống(...):

Nếu a//b và a// c thì ...

Phương pháp giải

• Áp dụng tính chất của ba đường thẳng song song:
• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng cùng song song với nhau.

Hướng dẫn giải

Nếu $a// b$ và $a //c$ thì $b // c$

a) Vẽ $c ⊥ a$

b) Vẽ $b ⊥ c$. Hỏi $a$ có song song với $b$ không? Vì sao?

c) Phát biểu tính chất bằng lời

Phương pháp giải

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a: Vẽ $c ⊥ a$ (hình vẽ) 

Câu b: Vẽ $b ⊥ c$ (hình vẽ)

Ta có: $a$ song song với $b$ vì $c$ cắt $a$ và $b$ mà trong các góc tạo thành có 1 cặp góc đồng vị bằng nhau và bằng $90^0$.

Câu c: Phát biểu tính chất bằng lời: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

a) Vẽ $c ⊥ a$

b) Vẽ $b // a$. Hỏi $c$ có vuông góc với $b$ không? Vì sao?

c) Phát biểu tính chất bằng lời

Phương pháp giải

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Hướng dẫn giải

Câu a: Vẽ $c ⊥ a$

Câu b: Vẽ $b // a$ 

Ta có $a // b$ nên $c$ cắt $a$ tại $A$ thì $c$ cũng cắt $b$ tại $B.$

Vì $a\bot c$ nên $\widehat {{A_1}}=90^0$

Lại có $a//b$ $\Rightarrow \widehat {{B_1}}=\widehat {{A_1}} = {90^0}$ (hai góc so le trong bằng nhau).

Vậy $c ⊥ b$ (do $\widehat {{B_1}}=90^0)$

Câu c: Phát biểu tính chất bằng lời: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia

a) Vẽ $a//b$

b) Vẽ $c//a$. Hỏi $c$ có song song với $b$ không? Vì sao?

c) Phát biểu tính chất đó bằng lời.

Phương pháp giải

• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
• Tiên đề Ơclit: Đi qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Hướng dẫn giải

Câu a: Vẽ $a // b$

Câu b: Vẽ $c //a$

Giả sử $b$ không song song với $c$ thì $b$ cắt $c$ tại một điểm $O$ nào đó. Khi đó qua $O$ ta có thể vẽ được hai đường thẳng $b$ và $c$ cùng song song với $a$. Điều đó trái với tiên đề Ơclit về đường thẳng song song.

Vậy $b // c.$

Câu c: Phát biểu tính chất sau bằng lời

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

a) Vẽ $d' // d$ và $d'' // d$ ($d''$ và $d'$ là phân biệt)

b) Suy ra $d' // d''$ bằng cách trả lời các câu hỏi sau

- Nếu $d'$ cắt $d''$ tại $M$ thì $M$ có thể nằm trên $d$ không? Vì sao?

- Qua điểm $M$ nằm ngoài $d$, vừa có $d'// d$, vừa có $d'' // d$ thì có trái với tiên đề Ơclit không? Vì sao?

- Nếu $d'$ và $d''$ không cắt nhau (vì trái với tiên đề Ơclit) thì chúng phải như thế nào?

Phương pháp giải

Tiên đề Ơclit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải

Câu a: Vẽ $d' // d; d'' // d$ 

Câu b: Suy ra $d' // d''$, vì

Nếu $d'$ cắt $d''$ tại điểm $M$ thì $M$ không nằm trên $d$ vì $d // d'$ và $d // d''$.

Qua điểm $M$ nằm ngoài $d$, ta vẽ được hai đường thẳng $d'$ và $d''$ phân biệt cùng song song với $d.$ Điều này trái với tiên đề Ơclit về đường thẳng song song.

Nên $d'$ và $d''$ không thể cắt nhau. Vậy $d' // d''.$

Xem hình 31

a) Vì sao a// b?

b) Tính số đo góc C.

Phương pháp giải

• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
• Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc trong cùng phía bù nhau. 

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có $a\bot AB$ và $b\bot AB$ (tức $a$ và $b$ cùng vuông góc với $AB$) nên $a // b$

Câu b: Vì $a//b$ nên ta có

$\widehat C + \widehat D = {180^0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat C = {180^0} - \widehat D =180^o-120^o= {60^0}$

Ở hình 32, biết a//b, =  900

 = 1300

Tính $\widehat{B}$ , $\widehat{D}$

Phương pháp giải

Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc đồng vị bằng nhau, cặp góc trong cùng phía bù nhau. 

Hướng dẫn giải

Ta có $a // b$

$\Rightarrow \widehat B = \widehat {{A_1}}$ (Hai góc đồng vị)

Vậy $\widehat B = {90^0}$ 

Ta lại có $\widehat C + \widehat D = {180^0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra: $\widehat D = {180^0} - \widehat C =180^o - 130^o = {50^0}$

Hãy lấy một tờ giấy, gấp ba lần theo hình 33. Trải tờ giấy. Quan sát xem các nếp gấp là hình ảnh của một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song không?

Phương pháp giải

Thực hành và quan sát

Hướng dẫn giải

Xem hình và quan sát khi trải tờ giấy ra ta thấy các nếp gấp là hình ảnh của một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song.