Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Gọi $M$ là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, cho đoạn thẳng $MA$ có độ dài $5\,cm$. Hỏi độ dài $MB$ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Điểm $M$ thuộc đường trung trực của $AB$

$\Rightarrow MA = MB$ (định lí thuận)

Mà $MA = 5\,cm$ nên $MB = 5\,cm.$

Chứng minh đường thẳng $PQ$ được vẽ như hình $43$ đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Hướng dẫn giải

Theo cách vẽ thì hai cung tròn tâm $M$ và $N$ có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại $P,Q$ 

Do đó $PM = PN$ và $QM = QN$

$\Rightarrow P, Q$ cách đều hai mút $M, N$ của đoạn thẳng $MN.$

Áp dụng định lí $2$ suy ra $P, Q$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $MN$ hay đường thẳng $PQ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MN$ (điều phải chứng minh).

Cho ba tam giác cân $ABC, DBC, EBC$ có chung đáy $BC$. Chứng minh ba điểm $A, D, E$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Vì $∆ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$ (định nghĩa tam giác cân)

$\Rightarrow$ $A$ thuộc đường trung trực của $BC$ (theo định lí $2$)

Vì $∆DBC$ cân tại $D$ nên $DB = DC$

$\Rightarrow$ $D$ thuộc đường trung trực của $BC$ (theo định lí $2$)

Vì $∆EBC$ cân tại $E$ nên $EB = EC$

$\Rightarrow$ $E$ thuộc đường trung trực của $BC$ (theo định lí $2$)

Do đó $A, D, E$ thuộc đường trung trực của $BC.$

Vậy $A, D, E$ thẳng hàng.

Cho hai điểm $M, N$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Chứng minh $∆AMN  = ∆BMN.$

Hướng dẫn giải

Vì $M$ thuộc đường trung trực của $AB$ nên $MA = MB$ (Theo định lí $1$)

$N$ thuộc đường trung trực của $AB$ nên $NA = NB$ (Theo định lí $1$)

Xét $∆AMN$ và $∆BMN$ ta có:

$MA = MB$ (chứng minh trên)

$NA = NB$ (chứng minh trên)

$MN$ chung

Vậy $∆AMN  = ∆BMN$ (c.c.c) (điều phải chứng minh).

Hai điểm $M$ và $N$ cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $xy.$  Lấy điểm $L$ đối xứng với $M$ qua $xy.$ Gọi $I$ là một điểm của $xy.$ Hãy so sánh $IM + IN$ với $LN.$

Hướng dẫn giải

Vì L và M đối xứng qua đường thẳng xy nên xy là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với ML.

Nên đường thẳng xy là trung trực của ML.

I ∈ xy ⇒ IM = IL (theo định lý 1).

Nên IM + IN = IL + IN

- TH1: Nếu I, L, N thẳng hàng

⇒ IL + IN = LN (vì N và L nằm khác phía so với đường thẳng xy và I nằm trên xy).

⇒ IM + IN = LN

- TH2: Nếu I không là giao điểm của LN và xy thì ba điểm I, L, N không thẳng hàng

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào Δ INL ta được: IL + IN > LN

mà IM = IL (cmt)

⇒ IL + IN > LN (bất đẳng thức tam giác)

⇒ IM + IN > LN

Vậy với mọi vị trí của I trên xy thì IM + IN ≥ LN

Hai nhà máy được xây dựng bên bờ một con sông tại hai địa điểm $A$ và $B$ ở hình dưới. Hãy tìm cạnh bờ sông một địa điểm $C$ để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất?

Gọi đường thẳng xy là bờ sông cần xây trạm bơm.

⇒ Bài toán đưa về: Hai điểm A, B cố định cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy. Tìm vị trí điểm C nằm trên đường xy sao cho CA + CB nhỏ nhất.

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng xy.

Theo như chứng minh ở bài 48 ta có: CA + CB = CA’ + CB ≥ A’B (A’B cố định).

⇒ CA + CB đạt ngắn nhất bằng A’B.

Dấu “=” xảy ra khi CA’+CB = A’B, tức là A’; B; C thẳng hàng hay C là giao điểm của A’B và xy.

Vậy điểm đặt trạm bơm là giao điểm của đường thẳng xy với đường thẳng A’B, trong đó A’ là điểm đối xứng với A qua xy.

Một con đường quốc lộ cách không xa hai điểm dân cư (h. $45$). Hãy tìm bên đường đó một địa điểm để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế này cách đều hai điểm dân cư.

Hướng dẫn giải

Gọi A và B là hai điểm dân cư; C là điểm đặt trạm y tế; m là đường quốc lộ

Vì C cách đều AB nên C thuộc đường trung trực của AB

mà C ∈ d nên C là giao điểm của d và đường trung trực (d) của AB.

Gọi 2 điểm dân cư là hai điểm A, B. Để xây dựng trạm y tế ở bên đường cách đều hai điểm dân cư thì trạm y tế đó phải là giao điểm giữa con đường và đường trung trực của AB.

Cho đường thẳng $d$ và điểm $P$ không nằm trên $d$. Hình 46 minh họa cho cách dựng: đường thẳng đi qua điểm $P$ và vuông góc với đường thẳng $d$ bằng thước và compa như sau:

(1) Vẽ đường tròn tâm $P$ với bán kính thích hợp sao cho nó có cắt $d$ tại hai điểm $A$ và $B$

(2) Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm $A$ và $B$ sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là $C\; ( C ≠ P )$.

(3) Vẽ đường thẳng $PC$

Em hãy chứng minh đường thẳng $PC$ vuông góc với $d$.

Đố: Tìm thêm một cách dựng nữa (bằng thước và compa)

Hướng dẫn giải

Câu a:

$A, B$ nằm trên cung tròn có tâm $P$ nên $PA = PB.$

Do đó P nằm trên đường trung trực của AB (Theo định lí $2$) 

$C$ là giao điểm của $2$ cung có bán kính bằng nhau có tâm tại $A$ và tại $B$ nên $CA = CB.$

Do đó C nằm trên đường trung trực của AB (Theo định lí $2$)

$\Rightarrow$ $P; C$ đều nằm trên đường trung trực của AB.  

$\Rightarrow$ Đường thẳng $CP$ là đường trung trực của $AB$ 

Do đó: $PC ⊥ d$

Câu b:

Một cách vẽ khác

- Lấy hai điểm $A, B$ bất kì trên $d.$

- Vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $AP$, cung tròn tâm $B$ bán kính $BP$. Hai cung tròn cắt nhau tại $C$ ($C$ khác $P$).

- Vẽ đường thẳng $PC$. Khi đó $PC$ là đường đi qua $P$ và vuông góc với $d.$

Chứng minh:

$PA = CA$ (vì $P,C$ cùng thuộc cung tròn tâm $A$ bán kính $PA$)

$⇒ A$ thuộc đường trung trực của $PC$ (Theo định lí 2) 

$PB = CB$ (vì $P, C$ cùng thuộc cung tròn tâm $B$ bán kính $PB$)

$⇒ B$ thuộc đường trung trực của $PC$ (Theo định lí 2)

$⇒ AB$ là đường trung trực của $PC$

$⇒ PC ⏊ AB$ hay $PC ⏊ d.$