Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 6: Tam giác cân

a) Dùng thước có chia xentimét và compa vẽ tam giác cân \(ABC\) cân tại \(B\) có cạnh đáy bằng \(3cm\), cạnh bên bằng \(4cm.\)

b) Dùng thước có chia xentimét và compa vẽ tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(3 cm.\)

Hướng dẫn giải:

a)

- Vẽ đoạn thẳng \(AC = 3cm\)

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AC\) vẽ cung tròn tâm \(A\) bán kính \(4 cm\) và cung tròn tâm \(C\) có bán kính \(4 cm.\)

- Hai cung tròn trên cắt nhau tại \(B.\)

- Vẽ các đoạn \(AB, BC\) ta được tam giác \(ABC\) cần dựng.

b) Vẽ đoạn thẳng \(AC = 3cm\)

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AC\) vẽ cung tròn tâm \(A\) bán kính \(3cm\) và cung tròn tâm \(C\) bán kính \(3cm\).

- Hai cung tròn trên cắt nhau tại \(B\).

- Vẽ các đoạn thẳng \(AB, BC\) ta được tam giác \(ABC\) cần dựng.

Trong các hình \(116, 117, 118\) tam giác nào là tam giác cân, tam giác nào là tam giác đều? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh tam giác cân: Ta chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau.

Chứng minh tam giác đều: Ta chứng minh tam giác có ba cạnh bằng nhau, hoặc ba góc bằng nhau, hoặc tam giác cân có một góc bằng \(60^o\)

Hướng dẫn giải:

Hình 116

Ta có: \(∆ABD\) cân tại \(A\) vì có \(AB=AD.\)

\(∆ACE\) cân tại \(A\) vì \(AC=AE\) (do \(AB=AD,BC=DE\) nên \(AB+BC=AD+DE\) hay \(AC= AE\)).

Hình 117

Xét tam giác \(GHI\) ta có: \(\widehat{G}+\widehat{H}+ \widehat{I}= {180^o}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\Rightarrow \widehat{G} = {180^o}- (\widehat{H}+ \widehat{I})\)\(\, = {180^0} - ({70^0} + {40^0}) = {70^0}\)

 Do đó \(∆GHI\) cân tại \(I\) vì \(\widehat{G} = \widehat{H}= {70^0}\)

Hình 118

\(∆OMK\) là tam giác cân tại \(M\) vì \(OM= MK\)

\(∆ONP\) là tam giác cân tại \(N\) vì \(ON=NP\)

\(∆OMN\) là tam giác đều vì \(OM = MN = ON\) 

Do đó: \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{N_1}} = {60^0}\)   (1)

\(\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} = {180^0}\) (hai góc kề bù)    (2)

\(\widehat {{N_1}} + \widehat {{N_2}} = {180^0}\) (hai góc kề bù)     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{N_2}}\)

Xét \(∆OMK\) và \(∆ONP\) có:

+) \(OM = ON\) (giả thiết)

+) \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{N_2}}\) (chứng minh trên)

+) \(MK = NP\) (giả thiết) 

\(\Rightarrow ∆OMK = ∆ONP\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat {MKO} = \widehat {NPO}\) (hai góc tương ứng)

Vậy \(∆OKP\) là tam giác cân tại \(O.\) 

Cắt một tấm bìa hình tam giác cân. Hãy gấp tấm bìa đó sao cho hai cạnh bên trùng nhau để kiểm tra rằng hai góc ở đáy bằng nhau.

Phương pháp giải:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Các bước tiến hành: 

- Cắt tấm bìa hình tam giác cân.

- Gấp tấm bìa sao cho hai cạnh bên trùng nhau.

- Quan sát phần cạnh đáy sau khi gấp lại trùng nhau.

Vậy hai góc ở đáy của hai tam giác cân bằng nhau.

a) Tính các góc ở đáy của một tam giác cân biết góc ở đỉnh là \({40^0}\)

b) Tính góc ở đỉnh của một tam giác cân biết góc ở đáy bằng \({40^0}\).

Phương pháp giải:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

a)

Giả sử \(ABC\) là tam giác cân đã cho và góc ở đỉnh \(\widehat{A}={40^0}\) 

Khi đó ta có: \(\widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(\Delta ABC\) ta có:

\(\eqalign{
& \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o} \cr
& \Rightarrow \widehat A + \widehat B + \widehat B = {180^o} \cr
& \Rightarrow \widehat A + 2\widehat B = {180^o} \cr
& \Rightarrow 2\widehat B = {180^o} - \widehat A \cr
& \Rightarrow \widehat B = {{{{180}^o} - \widehat A} \over 2} = {{{{180}^o} - {{40}^o}} \over 2} = {70^o} \cr} \)

Vậy số đo của các góc ở đáy của một tam giác cân đó là \(70^o\).

b) 

Giả sử \(ABC\) là tam giác cân đã cho và có hai góc đáy \(\widehat B = \widehat C={40^0}\). 

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(\Delta ABC\) ta có:

\(\eqalign{
& \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o} \cr
& \Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) \cr
& \Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {{{40}^o} + {{40}^o}} \right) = {100^o} \cr} \)

Vậy số đo góc ở đỉnh của một tam giác cân đó là \(100^o\).

5. Giải bài 50 trang 127 SGK Toán 7

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Lấy điểm \(D\) thuộc cạnh \(AC\), điểm \(E\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AD = AE.\)

a) So sánh \(\widehat{ABD}\) và \(\widehat{ACE}\).

b ) Gọi \(I\) là giao điểm \(BD\) và \(CE.\) Tam giác \(IBC\) là tam giác gì? Vì sao?

Phương pháp giải:

- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

- Tính chất: Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.

- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

a) Xét \(∆ABD\) và \(∆ACE\) có:

+) \(AB = AC\) (vì \(∆ABC\) cân tại \(A\))

+) \(\widehat{A}\) chung

+) \(AD = AE\) (giả thiết)

\(\Rightarrow  ∆ABD=∆ACE\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (hai góc tương ứng).

Hay \(\widehat{B_{1}} =\widehat{C_{1}}\).

b) Ta có \(\widehat{B} = \widehat{C}\)  (vì \(∆ABC\) cân tại \(A\))

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\)

Mà \(\widehat{B_{1}} = \widehat{C_{1}}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat{B_{2}} = \widehat{C_{2}}\).

Vậy \(∆IBC\) cân tại \(I.\)

Cho góc \(xOy\) có số đo \(120^0\), điểm \(A\) thuộc tia phân giác của góc đó. Kẻ \(AB\) vuông góc với \(Ox\) (\(B\) thuộc \(Ox\)), kẻ \(AC\) vuông góc với \(Oy\) (\(C\) thuộc \(Oy\)). Tam giác \(ABC\) là tam giác gì ? Vì sao?

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền, góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

- Tam giác cân có một góc bằng \(60^o\) thì tam giác đó là tam giác đều.

- Định lí tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^o\).

Hướng dẫn giải:

Tam giác \(ACO\) vuông tại \(C\). 

Tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\)

Xét hai tam giác vuông \(ACO\) và \(ABO\) có:

+) \(\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}\) (Vì \(OA\) là tia phân giác góc \(xOy\))

+) \(AO\) chung

\( \Rightarrow ∆ACO=∆ABO\) (cạnh huyền-góc nhọn)

\(\Rightarrow AC=AB\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng)

Ta có \(\widehat {{O_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat {xOy} = \dfrac{1}{2}{.120^0} = {60^0}\) (vì \(OA\) là tia phân giác góc \(xOy\))

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào \(\Delta OBA\) ta có:

\(\eqalign{
& \widehat {{O_1}} + \widehat B + \widehat {{A_1}} = {180^0} \cr
& \Rightarrow \widehat {{A_1}} = {180^0} - \widehat {{O_1}} - \widehat B \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {180^0} - {60^0} - {90^0} = {30^0} \cr} \)

Do đó: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = {30^0}\)

Hay \(\widehat {BAC} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} \)\(=30^0+30^0= {60^0}\)

Vậy \(∆ABC\) có \(AC=AB\) nên \(∆ABC\) cân tại \(A\).

Tam giác cân \(∆ABC\) có \(\widehat {BAC}= {60^0}\) nên \(∆ABC\) là tam giác đều.