Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 8: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

1. Giải bài 63 trang 136 SGK Toán 7

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ ( $H$ thuộc $BC$). Chứng minh rằng:

a) $HB = HC$;

b) $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$

Phương pháp giải:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ 

Tam giác $ACH$ vuông tai $H$

Xét hai tam giác vuông $ABH$ và $ACH$ có: 

+) $AB = AC$ ( vì tam giác $ABC$ cân tại $A$)

+) $AH$ cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ABH = \Delta ACH$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\Rightarrow HB=HC$ (hai cạnh tương ứng).

Câu b: $\Delta ABH = \Delta ACH$  (chứng minh câu a)

$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (hai góc tương ứng)

2. Giải bài 64 trang 136 SGK Toán 7

Các tam giác vuông $ABC$ và $DEF$ có $\widehat{A}=\widehat{D}= 90^o$, $AC=DF.$ Hãy bổ sung thêm một điều kiện bằng nhau để $\Delta ABC=\Delta DEF$.

Phương pháp giải:

Sử dụng lí thuyết các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

Hướng dẫn giải:

Xem hình vẽ 

* Trường hợp 1: $\Delta ABC=\Delta DEF$ theo trường hợp hai cạnh góc vuông.

Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $DEF$ có:

+) $AC=DF$ (giả thiết)

Bổ sung thêm điều kiện $AB=DE$ thì $\Delta ABC= \Delta DEF$ (hai cạnh góc vuông).

* Trường hợp 2: $\Delta ABC=\Delta DEF$ theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn kề.

Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $DEF$ có:

+) $AC=DF$ (giả thiết) 

Bổ sung thêm điều kiện $\widehat{C}=\widehat{F}$ thì $\Delta ABC= \Delta DEF$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).

* Trường hợp 3: $\Delta ABC=\Delta DEF$ theo trường hợp cạnh huyền cạnh góc vuông.

Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $DEF$ có:

+) $AC=DF$ (giả thiết)

Bổ sung thêm điều kiện $BC=EF$ thì $\Delta ABC= \Delta DEF$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

3. Giải bài 65 trang 137 SGK Toán 7

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ ($\widehat{A}$< $90^o$). Vẽ $BH \perp A C$ ($H$ thuộc $AC$), $CK\perp AB$  ($K$ thuộc $AB$)

a) Chứng minh rằng $AH = AK.$

b) Gọi $I$ là giao điểm của $BH$ và $CK$. Chứng minh rằng tia $AI$ là tia phân giác của góc $A.$

Phương pháp giải:

- Nếu canh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Câu a: $\Delta ABH$ vuông tại $H$;  $\Delta ACK$ vuông tại $K$.

Xét hai tam giác vuông $ABH$ và $ACK$ có:

+) $AB = AC$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$) 

+) $\widehat A$ chung

$\Rightarrow \Delta ABH = \Delta ACK$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$\Rightarrow AH = AK$ (hai cạnh tương ứng).

Câu b: $\Delta AIK$ vuông tại $K$; $\Delta AIH$ vuông tại $H$.

Xét hai tam giác vuông $AIK$ và $AIH$ có:

+) $AK = AH$ (chứng minh trên)

+) $AI$ cạnh chung

$\Rightarrow  \Delta AIK = \Delta AIH$ (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{IAK}=\widehat{IAH}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $AI$ là tia phân giác của góc $A$.

4. Giải bài 66 trang 137 SGK Toán 7

Tìm các tam giác bằng nhau trên hình 148.

Phương pháp giải:

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác (cạnh cạnh cạnh) và các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

Hướng dẫn giải:

* Xét $\Delta AMD$ vuông tại $D$ và $\Delta AME$ vuông tại $E,$ ta có:

+) $AM$ cạnh chung

+) $\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}}$

$\Rightarrow \Delta AMD=\Delta AME$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow MD=ME$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow AD = AE$  (1) (hai cạnh tương ứng).

*  Xét $\Delta MDB$ vuông tại $D$ và $\Delta MEC$ vuông tại $E,$ ta có:

+)  $BM=CM$ (giả thiết) 

+) $MD=ME$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow  \Delta MDB= \Delta MEC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD = CE$  (2) (hai cạnh tương ứng).   

Ta có: $AB=AD+BD$      (3)

          $AC=AE+CE$       (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: $AB=AC$

* Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có:

+) $AM$ cạnh chung

+) $AB=AC$ (chứng minh trên)

+) $BM=CM$ (giả thiết)

$\Rightarrow \Delta AMB =  \Delta AMC$ (c.c.c)