Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 3: Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác cạnh - cạnh - cạnh

Vẽ tam giác $MNP$, biết $MN=2,5 cm, NP=3cm, PM= 5cm$

Phương pháp giải:

Dựng tam giác $ABC$ biết $AB=c;BC=a;AC=b$

- Vẽ đoạn $BC= a$

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $BC$ vẽ cung tròn tâm $B$ bán kính $c$ và cung tròn tâm $C$ bán kính $b$.

- Hai cung tròn cắt nhau tại $A$.

- Vẽ các đoạn $AB,AC$, ta được tam giác $ABC$.

Hướng dẫn giải:

- Vẽ đoạn $MN= 2,5cm$

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $MN$ vẽ cung tròn tâm $M$ bán kính $5cm$ và cung tròn tâm $N$ bán kính $3cm$.

- Hai cung tròn cắt nhau tại $P$.

- Vẽ các đoạn $MP, NP$, ta được tam giác $MNP$.

Vẽ tam giác biết độ dài mỗi cạnh là $3$ cm. Sau đó đo góc của tam  giác.

Phương pháp giải:

Dựng tam giác $ABC$ biết $AB=c;BC=a;AC=b$

- Vẽ đoạn $BC= a$

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $BC$ vẽ cung tròn tâm $B$ bán kính $c$ và cung tròn tâm $C$ bán kính $b$.

- Hai cung tròn cắt nhau tại $A$.

- Vẽ các đoạn $AB,AC$, ta được tam giác $ABC$.

Hướng dẫn giải:

- Vẽ đoạn thẳng $AB=3\,cm$

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $AB$ vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $3\,cm$ và cung tròn tâm $B$ bán kính $3\,cm$

- Hai cung tròn cắt nhau tại $C$.

- Vẽ các đoạn thẳng $AC, BC$; ta được tam giác $ABC$ 

- Đo mỗi góc của tam giác $ABC$ ta được:

$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}= 60^0$

Trên mỗi hình sau có tam giác nào bằng nhau? Vì sao? 

Phương pháp giải:

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì  hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Hình 68.

Xét $∆ABC$ và $∆ABD$ có:

 +) $AB$ cạnh chung

 +) $AC= AD$ (gt)

 +) $BC=BD$ (gt)

$\Rightarrow  ∆ABC= ∆ABD$ (c.c.c)

Hình 69. 

Xét $∆MNQ$ và $∆QPM$ có: 

+) $MN = QP$ (gt)

+) $NQ = PM$ (gt)

+) $MQ$ cạnh chung

$\Rightarrow ∆MNQ = ∆QPM$ (c.c.c)

Hình 70.

Xét $∆EHI$ và $∆IKE$ có: 

+) $EH = IK$ (gt)

+) $HI = KE$ (gt)

+) $EI$ cạnh chung

$\Rightarrow  ∆EHI = ∆IKE$ (c.c.c)

Xét $∆EHK$ và $∆IKH$ có:

+) $EH = IK$ (gt)

+) $EK = IH$ (gt)

+) $HK$ cạnh chung

$\Rightarrow ∆EHK = ∆IKH$ (c.c.c)

(Chú ý: gt là giả thiết)  

Xét bài toán: "$\Delta AMB$ và $\Delta ANB$ có $MA=MB, NA=NB$ (h.71). Chứng minh rằng $\widehat{AMN}=\widehat{BMN}$."

1) Hãy ghi giả thiết và kết luận của bài toán.

2) Hãy sắp xếp bốn câu sau đây một cách hợp lý để giải bài toán trên :

a) Do đó  $\Delta AMN=\Delta BMN (c.c.c)$

b)

$MN$ cạnh chung

$MA=MB$ ( giả thiết)

$NA= NB$ ( giả thiết)

c) Suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{BMN}$ (2 góc tương ứng)

d) $\Delta AMN$ và $\Delta BMN$ có: 

Hình 71

Phương pháp giải:

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì  hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

1) 

2) Sắp xếp theo thứ tự: d, b, a, c. 

d) $\Delta AMN$ và $\Delta BMN$ có: 

b)

$MN$ cạnh chung

$MA=MB$ ( giả thiết)

$NA= NB$ ( giả thiết)

a) Do đó  $\Delta AMN=\Delta BMN (c.c.c)$ 

c) Suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{BMN}$ (2 góc tương ứng)

Cho hình 72. Chứng minh rằng:

a) $∆ADE = ∆BDE$.

b) $\widehat{DAE}=\widehat{DBE}$. 

Hình 72

Phương pháp giải:

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Xem hình vẽ: 

Câu a: Xét $∆ADE$ và $∆BDE$ có:

+) $DE$ cạnh chung

+) $AD=BD$ (giả thiết)

+) $AE=BE$ (giả thiết)

Vậy $∆ADE=∆BDE$ (c.c.c)

Câu b: Từ $∆ADE=∆BDE$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{DAE}=\widehat{DBE}$ (hai góc tương ứng). 

Cho góc $xOy$ (h.73), Vẽ cung tròn tâm $O$, cung tròn này cắt $Ox, Oy$  theo thứ tự ở $A,B$ (1). Vẽ các cung tròn tâm $A$ và tâm $B$ có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau ở điểm $C$ nằm trong góc $xOy$ ((2) (3)). Nối $O$ với $C$ (4). Chứng minh $OC$ là tia phân giác của góc $xOy$.

Phương pháp giải:

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì  hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Vì $A,B$ cùng thuộc cung tròn tâm $O$ nên $OA=OB$ (cùng bằng bán kính của cung tròn)

Vì $C$ thuộc cung tròn tâm $A$ và thuộc cung tròn tâm $B$ mà 2 cung tròn này cùng bán kính nên $AC=BC$ 

Nối $BC, AC$.

Xét $∆OBC$ và $∆OAC$ có:

+) $OB=OA$ (chứng minh trên)

+) $BC=AC$ (chứng minh trên)

+) $OC$  cạnh chung

$\Rightarrow ∆OBC = ∆OAC(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=\widehat{AOC}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $OC$ là tia phân giác của góc $xOy$.

Cho tam giác $ABC$. Dùng thước và compa, vẽ các tia phân giác của các góc $A,B,C.$

Phương pháp giải:

Áp dụng kết quả của bài 20 trang 115 SGK Toán 7 Tập 1.

Hướng dẫn giải:

Cách vẽ phân giác của góc A (Dựa trên kết quả bài 20).

Vẽ cung tròn tâm A cung này cắt tia AB ,AC theo thứ tự ở M,N

Vẽ các cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau ở điểm I.

Nối AI, ta được AI là tia phân giác của góc A.

- Tương tự cho cách vẽ tia phân giác của góc B, C

Cho góc $xOy$ và tia $Am$ (h.74a)

Vẽ cung trong tâm $O$ bán kính $r$, cung tròn này cắt $Ox,Oy$ theo thứ tự ở $B,C$

Vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $r$, cung này cắt kia $Am$ ở $D$ (h.74b).

Vẽ cung tròn tâm $D$ có bán kính bằng $BC$, cung tròn này cắt cung tròn tâm $A$ bán kính $r$ ở $E$ (h. 74c). 

Chứng minh rằng: $\widehat{DAE}=\widehat{xOy}.$ 

Phương pháp giải:

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì  hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu $(O;r)$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $r$. 

Vì $B, C$ thuộc $(O; r)$ nên $OB = OC = r.$

$D$ thuộc $(A;r)$ nên $AD = r.$

$E$ thuộc $(D; BC)$ và $(A;r)$ nên $AE = r, DE = BC.$

Xét $\Delta DAE$ và $\Delta BOC$ có: 

$AD=OB(=r)$

$DE=BC$ (chứng minh trên)

$AE=OC(=r)$

Suy ra $∆ DAE= ∆ BOC\;(c.c.c)$

Suy ra  $\widehat{DAE}=\widehat{BOC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{BOC}=\widehat{xOy}.$

 Do đó: $\widehat{DAE}=\widehat{xOy}$ (điều phải chứng minh).

Cho đoạn thẳng $AB$ dài $4cm$ Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $2cm$ và đường tròn tâm $B$ bán kính $3cm$, chúng cắt nhau ở $C$ và $D$, chứng minh rằng $AB$ là tia phân giác của góc $CAD$

Phương pháp giải:

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Vì $C$ là giao của đường tròn tâm $A$ và đường tròn tâm $B$ nên $AC=2cm,BC=3cm$ 

Vì $D$ là giao của đường tròn tâm $A$ và đường tròn tâm $B$ nên $AD=2cm,BD=3cm$

Do đó $AC=AD,BC=BD$ 

Xét $∆BAC$ và $∆ BAD$ có:

$AC=AD$ (chứng minh trên)

$BC=BD$ (chứng minh trên)

$AB$ cạnh chung.

Suy ra $∆ BAC= ∆ BAD(c.c.c)$

Suy ra $\widehat{BAC}$ = $\widehat{BAD}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $AB$ là tia phân giác của góc $CAD$.