Giải bài tập SGK Toán 7 Ôn tập Chương 4: Biểu thức đại số

1. Giải bài 57 trang 49 SGK Toán 7

Viết một biểu thức đại số của hai biến \(x, y\) thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Biểu thức đó là đơn thức.

b) Biểu thức đó là đa thức mà không phải là đơn thức.

Phương pháp giải

- Dựa vào định nghĩa:

• Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến. 
• Đa thức là một tổng của những đơn thức. 

Chú ý: Mỗi đơn thức là một đa thức nhưng một đa thức chưa chắc đã là đơn thức.

Hướng dẫn giải

Câu a: Biểu thức đại số của hai biến \(x; y\) là đơn thức: \(2{x^2}{y^3}\)

Câu b: Biểu thức đại số của hai biến \(x; y\) là đa thức mà không phải đơn thức: \(2x + 5y\).

2. Giải bài 58 trang 49 SGK Toán 7

Tính giá trị mỗi biểu thức sau tại \(x = 1; y = -1\) và \(z =- 2\).

a) \(2xy(5{x^2}y + 3x-z)\)

b) \(x{y^2} + {y^2}{z^3} + {z^3}{x^4}\).

Phương pháp giải

Thay giá trị tương ứng của \(x\), \(y\) và \(z\) vào biểu thức rồi tính giá trị của biểu thức đó. 

Hướng dẫn giải

Câu a: 

Thay \(x = 1; y = -1; z = -2\) vào biểu thức ta được:

\(\eqalign{
& 2xy(5{x^2}y + 3x - z) \cr 
& = 2.1.\left( { - 1} \right).[{5.1^2}.\left( { - 1} \right) + 3.1 - \left( { - 2} \right)] \cr 
& = - 2.\left( { - 5 + 3 + 2} \right) \cr 
& = - 2.0 = 0 \cr} \)

Vậy đa thức có giá trị bằng \(0\) tại \(x = 1, y =-1, z = -2\)

Câu b:

Thay \(x = 1; y = -1; z = -2\) vào biểu thức ta được:

\(\eqalign{
& x{y^2} + {y^2}{z^3} + {z^3}{x^4} \cr 
& = 1.{\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + {\left( { - 2} \right)^3}{.1^4} \cr 
& = 1 + \left( { - 8} \right) + \left( { - 8} \right) = - 15 \cr} \)

Vậy đa thức có giá trị bằng \(-15\) tại \(x = 1, y = -1, z = -2\).

3. Giải bài 59 trang 49 SGK Toán 7

Phương pháp giải

4. Giải bài 60 trang 49 SGK Toán 7

Có hai vòi nước: vòi thứ nhất chảy vào bể \(A\), vòi thứ hai chảy vào bể \(B\). Bể \(A\) đã có sẵn \(100\) lít nước. Bể \(B\) chưa có nước. Mỗi phút vòi thứ nhất chảy được \(30\) lít, vòi thứ hai chảy được \(40\) lít.

a) Tính lượng nước có trong mỗi bể sau thời gian \(1, 2, 3, 4, 10\) phút rồi điền kết quả vào bảng sau (giả thiết bể đủ lớn để chứa nước): 

b) Viết biểu thức đại số biểu thị số lít nước trong mỗi bể sau thời gian \(x\) phút.

Phương pháp giải

- Để tính được số nước ở bể A: ta tính số nước mà vòi A chảy được vào bể sau số phút tương ứng rồi cộng với \(100\).

- Để tính được số nước ở bể B: ta tính số nước mà vòi B chảy được vào bể sau số phút tương ứng.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Sau \(1\) phút bể \(A\) có \(100 + 30 = 130\) (lít), bể B có \(40\) (lít)

\( \Rightarrow \) Cả \(2\) bể có \(130+40=170\) (lít)

Sau \(2\) phút bể \(A\) có \(100 + 2.30 = 160\) (lít), bể B có \(40.2 = 80\) (lít)

\( \Rightarrow \) Cả \(2\) bể có \(160+80=240\) (lít)

Sau \(3\) phút bể \(A\) có \(100 + 3.30 = 190\) (lít), bể \(B\) có \(40.3 = 120\) (lít)

\( \Rightarrow \) Cả \(2\) bể có \(190+120=310\) (lít)

Sau \(4\) phút bể \(A\) có \(100 + 4.30 = 220\) (lít), bể \(B\) có \(40.4 = 160\) (lít)

\( \Rightarrow \) Cả \(2\) bể có \(220+160=380\) (lít)

Sau \(10\) phút bể \(A\) có \(100 + 10.30 = 400\) (lít), bể \(B\) có \(40.10 = 400\) (lít)

\( \Rightarrow \) Cả \(2\) bể có \(400+400=800\) (lít)

Kết quả được điền vào bảng sau: 

Câu b:

Số lít nước trong bể \(A\) sau thời gian \(x\) phút là \(100 +30x\) (lít)

Số lít nước trong bể \(B\) sau thời gian \(x\) phút \(40x\) (lít).

5. Giải bài 61 trang 50 SGK Toán 7

Tính tích các đơn thức sau rồi tìm hệ số và bậc của tích tìm được.

a) \(\dfrac{1}{4}x{y^3}\) và \(- 2{x^2}y{z^2}\)

b) \( - 2{x^2}yz\) và \( - 3x{y^3}z\)

Phương pháp giải

- Áp dụng qui tắc nhân đơn thức với đơn thức.

- Bậc của đơn thức là tổng số mũ của các biến trong đơn thức đó.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Tích của \(\dfrac{1}{4}x{y^3}\) và \(- 2{x^2}y{z^2}\) là:

\(\dfrac{1}{4}x{y^3}.\left( { - 2{x^2}y{z^2}} \right)\)\(\, = \left[ {\dfrac{1}{4}.\left( { - 2} \right)} \right].\left( {x.{x^2}} \right).\left( {{y^3}.y} \right).{z^2} \)\(\,= \dfrac{{ - 1}}{2}{x^3}{y^4}{z^2}\)

Đơn thức tích có hệ số là \(\dfrac{{ - 1}}{2}\) ; có bậc là \(3+4+2=9\).

Câu b:

Tích của \( - 2{x^2}yz\) và \( - 3x{y^3}z\) là:

\( - 2{x^2}yz.\left( { - 3x{y^3}z} \right) \)

\(\,= \left[ {\left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)} \right].\left( {{x^2}.x} \right)\left( {y.{y^3}} \right)\left( {z.z} \right)\)

\(\, = 6{x^3}{y^4}{z^2}\)

Đơn thức tích có hệ số là \(6\); có bậc \(3+4+2=9\).

6. Giải bài 62 trang 50 SGK Toán 7

Cho hai đa thức:

\(P\left( x \right) = {x^5} - 3{x^2} + 7{x^4} - 9{x^3} + {x^2} \)\(- \dfrac{1}{4}x\)

\(Q\left( x \right) = 5{x^4} - {x^5} + {x^2} - 2{x^3} + 3{x^2}\)\( - \dfrac{1}{4}\)

a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tính \(P(x) + Q(x)\) và \(P(x) - Q(x)\).

c) Chứng tỏ rằng \(x = 0\) là nghiệm của đa thức \(P(x)\) nhưng không phải là nghiệm của đa thức \(Q(x)\).

Phương pháp giải

- Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến. 

- Áp dụng qui tắc cộng, trừ đa thức một biến.

- Muốn kiểm tra một số \(a\) có phải là nghiệm của đa thức \(f(x)\) không ta làm như sau:

- Tính \(f(a)=?\) ( giá trị của \(f(x)\) tại \(x = a\))

• Nếu \(f(a)= 0 \) \(\Rightarrow\) \( a\) là nghiệm của \(f(x)\)
• Nếu \(f(a)≠0\) \( \Rightarrow \) \(a\) không phải là nghiệm của \(f(x)\).

Hướng dẫn giải

Câu a:

Ta có: 

\(P\left( x \right) = {x^5} - 3{x^2} + 7{x^4} - 9{x^3} + {x^2} \)\(- \dfrac{1}{4}x\)

\( = {x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} + \left( { - 3{x^2} + {x^2}} \right) \)\(\,- \dfrac{1}{4}x\)

\( = {x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - \dfrac{1}{4}x\)

\(Q\left( x \right) = 5{x^4} - {x^5} + {x^2} - 2{x^3} + 3{x^2}\)\( - \dfrac{1}{4}\)

\( =  - {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + \left( {{x^2} + 3{x^2}} \right) - \dfrac{1}{4}\)

\( =  - {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - \dfrac{1}{4}\)

Câu b:

Câu c:

Ta có: 

\( P(x)= {x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - \dfrac{1}{4}x\)

Nên \(P\left( 0 \right) = {0^5} + {7.0^4} - {9.0^3} - {2.0^2} - \dfrac{1}{4}.0\)\(\,=0\)

\( \Rightarrow x = 0\)  là nghiệm của \(P(x)\).

Ta có: \( Q(x) =  - {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - \dfrac{1}{4}\)

Nên \(Q\left( 0 \right) =  - {0^5} + {5.0^4} - {2.0^3} + {4.0^2} - \dfrac{1}{4}\)\( =  - \dfrac{1}{4} \ne 0\)

\( \Rightarrow x = 0\) không phải là nghiệm của \(Q(x)\).

7. Giải bài 63 trang 50 SGK Toán 7

Cho đa thức: \(M(x) = 5{{\rm{x}}^3} + 2{{\rm{x}}^4} - {x^2} + 3{{\rm{x}}^2} - {x^3}\)\( - {x^4} + 1 - 4{{\rm{x}}^3}\)

a) Sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tính \(M(1)\) và \(M(-1)\)

c) Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm.

Phương pháp giải

- Thu gọn đa thức \(M(x)\) sau đó sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

- Thay giá trị tương ứng của \(x\) vào đa thức sau khi đã rút gọn rồi tính giá trị của đa thức đó.

- Đa thức không có nghiệm khi và chỉ khi đa thức đó luôn khác \(0\) với mọi \(x\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Rút gọn:

\(M(x) = 5x^3 + 2x^4 – x^2 + 3x^2 – x^3 – x^4 + 1 – 4x^3\)

\(= (2x^4 – x^4) + (5x^3 – x^3 – 4x^3) + (– x^2 + 3x^2) + 1\)

\(= x^4 + 0 + 2x^2 + 1\)

\(= x^4 + 2x^2 + 1.\)

Sắp xếp các hạng tử của đa thức \(M(x)\) theo lũy thừa giảm của biến:

\(M(x)={x^4} + 2{x^2} + 1\)

Câu b:

Ta có: \(M(x)={x^4} + 2{x^2} + 1\) 

Nên: 

\(M\left( 1 \right) = {1^4} + {2.1^2} + 1 = 4\)

\(M\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^4} + 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 1 = 4\)

Câu c:

Ta có: \(M\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} + 1\)

Vì \({x^4} \ge 0\) với mọi \(x\, \in\mathbb R\)

và \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x\, \in\mathbb R\)
\(\;\Rightarrow {x^4} + 2{x^2} + 1 \ge 1> 0\) với mọi \(x\, \in\mathbb R\)

\(\Rightarrow M\left( x \right)\) không có nghiệm. 

8. Giải bài 64 trang 50 SGK Toán 7

Phương pháp giải

9. Giải bài 65 trang 51 SGK Toán 7

Phương pháp giải