Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 8: Cộng, trừ đa thức một biến

1. Giải bài 44 trang 45 SGK Toán 7

Phương pháp giải

2. Giải bài 45 trang 45 SGK Toán 7

Cho đa thức \(P(x) = {x^4} - 3{x^2} + \dfrac{1}{2} - x\).

Tìm các đa thức \(Q(x), R(x)\), sao cho:

a) \(P(x) + Q(x) = {x^5} - 2{x^2} + 1\)

b) \(P(x) – R(x) = {x^3}\)

Phương pháp giải

Câu a:

\(Q(x)\) là số hạng chưa biết. Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.

Câu b:

\(R(x)\) là số trừ. Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Ta có: \(P(x) = {x^4} - 3{x^2} + \dfrac{1}{2} - x\)

Vì \(P(x) + Q(x) = {x^5} - 2{x^2} + 1\) nên

Vậy \(Q(x)=x^5-x^4+x^2+x+\dfrac{1}{2}\) 

Câu b:

Ta có: \(P(x) = {x^4} - 3{x^2} + \dfrac{1}{2} - x\)

Vì \(P(x) – R(x) = {x^3}\) nên \(R\left( x \right) = P\left( x \right) - {x^3}\)

Do đó: 

\(\eqalign{
& R(x) = {x^4} - 3{x^2} + {1 \over 2} - x - {x^3} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^4} - {x^3} - 3{x^2} - x + {1 \over 2} \cr} \)

3. Giải bài 46 trang 45 SGK Toán 7

Viết đa thức \(P\left( x \right) = 5{x^3}-4{x^2} + 7x - 2\) dưới dạng:

a) Tổng của hai đa thức một biến.

b) Hiệu của hai đa thức một biến.

Bạn Vinh nêu nhận xét: "Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc \(4\)". Đúng hay sai ? Vì sao ?

Phương pháp giải

Câu a:

Để cộng, trừ hai đa thức một biến, ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1. Thực hiện theo cách cộng, trừ đa thức đã học ở Bài 6.

Cách 2. Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến, rồi đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột).

Câu b:

Để cộng, trừ hai đa thức một biến, ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1. Thực hiện theo cách cộng, trừ đa thức đã học ở Bài 6.

Cách 2. Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến, rồi đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột).

Hướng dẫn giải

Câu a:

Có nhiều cách viết, ví dụ: 

Cách 1: Nhóm các hạng tử của đa thức \(P(x)\) thành 2 đa thức khác nhau.

Chẳng hạn: \(P(x) = 5{x^3}-4{x^2} + 7x - 2 \)\(\,= (5{x^3}-4{x^2}) + \left( {7x - 2} \right)\)

Vậy \(P(x)\) là tổng của hai đa thức một biến là: \(5x^3 – 4x^2\) và \(7x – 2\)

Cách 2: Viết các hạng tử của đa thức \(P(x)\) thành tổng hay hiệu của hai đơn thức. Sau đó nhóm thành 2 đa thức khác nhau.

Chẳng hạn: Viết \(5x^3 = 4x^3 + x^3;\)

\( – 4x^2 = – 6x^2 + 2x^2\) 

Nên: \(P(x) = 5x^3 – 4x^2 +7x – 2 \)

\(= 4x^3 + x^3 – 6x^2 + 2x^2 +7x – 2\) 

\(P(x) = (4x^3 – 6x^2 + 7x) \)\(+ (x^3 + 2x^2 – 2)\) 

Vậy \(P(x)\) là tổng của hai đa thức một biến là: \(4x^3 – 6x^2 + 7x\) và \(x^3 + 2x^2 – 2.\)

Câu b:

Hiệu của hai đa thức một biến.

\(P(x)=5{x^3}-4{x^2} + 7x - 2\)

\(\, = (5{x^3} + 7x) - (4{x^2} + 2)\)

Hay \(P(x)\) là hiệu của hai đa thức một biến là: \(5x^3 + 7x \) và \(4x^2 + 2\)

Cách khác: \(P(x) = 5x^3 – 4x^2 +7x – 2 \)

\(= (5x^3 – 4x^2) – (-7x + 2)\)

Hay \(P(x)\) là hiệu của hai đa thức một biến là: \(5x^3 – 4x^2\) và \(-7x + 2\)

Chú ý: Đáp số ở câu a; b không duy nhất, các bạn có thể tìm thêm đa thức khác.

Bạn Vinh nói đúng: Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc \(4\) chẳng hạn như:

\(P(x)=5{x^3}-4{x^2} + 7x - 2 \)\(\,= (2{x^4} + 5{x^3} + 7x)  \)\(\,+(-2{x^4}-4{x^2} - 2)\).

Vậy \(P(x)\) là tổng của hai đa thức bậc 4 là: \(2x^4 + 5x^3 + 7x\) và \(–2x^4 – 4x^2 – 2\)

(Phần này có vô số cách viết, miễn sao tổng hai hệ số của \(x^4\) là bằng \(0\)) 

4. Giải bài 47 trang 45 SGK Toán 7

Phương pháp giải

5. Giải bài 48 trang 46 SGK Toán 7

Phương pháp giải

6. Giải bài 49 trang 46 SGK Toán 7

Phương pháp giải

7. Giải bài 50 trang 46 SGK Toán 7

Cho các đa thức:

\(N = 15{y^3} + 5{y^2} - {y^5} - 5{y^2} - 4{y^3} \)\(\,- 2y\)

\(M = {y^2} + {y^3} - 3y + 1 - {y^2} + {y^5} -{y^3} \)\(\,+ 7{y^5}\).

a) Thu gọn các đa thức trên.

b) Tính \(N + M\) và \(N - M\).

Phương pháp giải

Câu a:

- Thu gọn các đa thức bằng cách nhóm các hạng tử đồng dạng lại rồi thu gọn chúng.

Câu b:

- Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta làm các bước sau:

• Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
• Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc)
• Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng
• Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Hướng dẫn giải

Thu gọn các đa thức: 

Câu a:

\(N = 15y^3 + 5y^2 – y^5 – 5y^2 – 4y^3 – 2y\)

\(= –y^5 + (15y^3 – 4y^3) + (5y^2 – 5y^2) – 2y\)

\(= –y^5 + 11y^3 + 0 – 2y\)

\(= – y^5 + 11y^3 – 2y.\)

Và \(M = y^2 + y^3 – 3y + 1 – y^2 + y^5 – y^3 + 7y^5\)

\(= (y^5 + 7y^5) + (y^3 – y^3) + (y^2 – y^2) – 3y + 1\)

\(= 8y^5 + 0 + 0 – 3y + 1.\)

\(= 8y^5 – 3y + 1.\)

Câu b:

8. Giải bài 51 trang 46 SGK Toán 7

Cho hai đa thức:

\(P\left( x \right) = 3{x^2} - 5 + {x^4} - 3{x^3} - {x^6} - 2{x^2} \)\(\,- {x^3}\); 

\(Q\left( x \right) = {x^3} + 2{x^5} - {x^4} + {x^2} - 2{x^3}\)\(\, + x - 1\)

a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến.

b) Tính \(P(x) + Q(x)\) và \(P(x) - Q(x)\).

Phương pháp giải

Câu a:

- Thu gọn các đa thức đã cho rồi sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến.

Câu b:

- Để cộng hoặc trừ hai đa thức, ta có thể đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột).

Hướng dẫn giải

Câu a:

\(P(x) = 3x^2 – 5 + x^4 – 3x^3 – x^6 – 2x^2 – x^3\)

\(= – x^6 + x^4 + (– 3x^3 – x^3) + (3x^2 – 2x^2) – 5\)

\(= – x^6 + x^4 – 4x^3 + x^2 – 5.\)

\(= – 5+ x^2 – 4x^3 + x^4 – x^6\)

Và \(Q(x) = x^3 + 2x^5 – x^4 + x^2 – 2x^3 + x –1\)

\(= 2x^5 – x^4 + (x^3 – 2x^3) + x^2 + x –1\)

\(= 2x^5 – x^4 – x^3 + x^2 + x –1.\)

\(= –1+ x + x^2 – x^3 – x^4 + 2x^5\)

Câu b:

Vậy: \(P(x) + Q(x) = – 6 + x + 2x^2 – 5x^3 + 2x^5 – x^6\)

\(P(x) – Q(x) = – 4 – x – 3x^3 + 2x^4 - 2x^5 – x^6 \) 

9. Giải bài 52 trang 46 SGK Toán 7

Phương pháp giải

10. Giải bài 53 trang 46 SGK Toán 7

Phương pháp giải