Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 6: Cộng, trừ đa thức

1. Giải bài 29 trang 40 SGK Toán 7

Tính:

a) $(x + y) + (x - y)$

b) $(x + y) - (x - y)$

Phương pháp giải

• Bước 1: Thực hiện bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc.
• Bước 2: Nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau.
• Bước 3: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Hướng dẫn giải

Câu a:

$(x + y) + (x - y)$

$\,= x + y + x - y$

$\,=(x + x) + (y - y) = 2x$

Câu b:

$(x + y) - (x - y)$

$\,= x + y - x + y$

$\,= (x - x) + (y + y) = 2y$ 

2. Giải bài 30 trang 40 SGK Toán 7

Phương pháp giải

3. Giải bài 31 trang 40 SGK Toán 7

Phương pháp giải

4. Giải bài 32 trang 40 SGK Toán 7

Phương pháp giải

5. Giải bài 33 trang 40 SGK Toán 7

Tính tổng của hai đa thức: 

a) $M = {x^2}y + 0,5x{y^3}-7,5{x^3}{y^2} + {x^3}$ và  $N = 3x{y^3}-{x^2}y + 5,5{x^3}{y^2}$

b) $P = {x^5} + xy{\rm{ }} + {\rm{ }}0,3{y^2}-{\rm{ }}{x^2}{y^3}-2$ và $Q = {x^2}{y^3} + 5 - 1,3{y^2}$

Phương pháp giải

Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta làm các bước sau:

• Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
• Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc)
• Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng
• Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Hướng dẫn giải

Câu a:

$M + N = (x^2y + 0,5xy^3 – 7,5x^3y^2 + x^3) + (3xy^3 – x^2y + 5,5x^3y^2)$

$= x^2y + 0,5xy^3 – 7,5x^3y^2 + x^3+ 3xy^3 – x^2y + 5,5x^3y^2$

$= (– 7,5x^3y^2 + 5,5x^3y^2) + (x^2y – x^2y ) + (0,5xy^3 + 3xy^3)+ x^3$

$= –2x^3y^2 + 0 + 3,5xy^3 + x^3$

$= –2x^3y^2 + 3,5xy^3 + x^3.$

Vậy đa thức $- 2{x^3}{y^{2}} + 3,5x{y^3} + {x^3}$ là tổng của hai đa thức $M$ và $N$

Câu b:

$P + Q = (x^5 + xy + 0,3y^2 – x^2y^3 – 2) + (x^2y^3 + 5 – 1,3y^2)$

$= x^5 + xy + 0,3y^2 – x^2y^3 – 2 + x^2y^3 + 5 – 1,3y^2$

$= x^5 +(– x^2y^3 + x^2y^3)+ (0,3y^2 – 1,3y^2)+ xy +(– 2 + 5)$

$= x^5 + 0 – y^2 + xy + 3.$

$= x5 – y2 + xy + 3.$

Vậy đa thức ${x^5} - {y^{2}} + xy + 3$ là tổng của hai đa thức $P$ và $Q$.

6. Giải bài 34 trang 40 SGK Toán 7

Tính tổng của các đa thức:

a) $P = {x^2}y +x{y^2}-5{x^2}{y^2} + {x^3}$ và $Q=3x{y^2}-{x^2}y+{x^2}{y^2}$

b) $M = {x^3} + xy + {y^2}-{x^2}{y^{2}}-2$ và $N = {x^2}{y^2} + 5-{y^2}$

Phương pháp giải

Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta làm các bước sau:

• Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
• Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc)
• Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng
• Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Hướng dẫn giải

Câu a:

$P + Q = (x^2y + xy^2 – 5x^2y^2 + x^3) + (3xy^2 – x^2y + x^2y^2)$

$= x^2y + xy^2 – 5x^2y^2 + x^3 + 3xy^2 – x^2y + x^2y^2$

$= x^3 +(– 5x^2y^2 + x^2y^2)+ (x^2y – x^2y) + (xy^2+ 3xy^2)$

$= x^3 – 4x^2y^2 + 0 + 4xy^2$

$= x^3 – 4x^2y^2 + 4xy^2$

Vậy đa thức ${x^3}-{\rm{ }}4{x^2}{y^2} + {\rm{ }}4x{y^2}$ là tổng của hai đa thức $P$ và $Q$.

Câu b:

$M + N = (x^3 + xy + y^2 – x^2y^2 – 2) + (x^2y^2 + 5 – y^2)$

$= x^3 + xy + y^2 – x^2y^2 – 2 + x^2y^2 + 5 – y^2$

$= x^3 + (– x^2y^2 + x^2y^2) + (y^2 – y^2) + xy + (– 2 + 5)$

$= x^3 + 0 + 0 + xy + 3$

$= x^3 + xy + 3.$

Vậy đa thức ${x^3} +xy +3$ là tổng của hai đa thức $M$ và $N$.

7. Giải bài 35 trang 40 SGK Toán 7

Cho hai đa thức:

$M= {x^2}-2xy + {y^2}$;                           

$N = {y^2} + 2xy + {x^2} + 1$.

a) Tính $M + N$

b) Tính $M - N$

Phương pháp giải

Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta làm các bước sau:

• Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
• Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc)
• Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng
• Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Hướng dẫn giải

Câu a:

$M + N = (x^2 – 2xy + y^2)+ (y^2 + 2xy + x^2 + 1)$

$= x^2 – 2xy + y^2 + y^2 + 2xy + x^2 + 1$

$= (x^2+ x^2) + (y^2 + y^2) + (– 2xy+ 2xy) + 1$

$= 2x^2 + 2y^2 + 0 + 1$

$= 2x2 + 2y2 +1$

Câu b:

$M – N = (x^2 – 2xy + y^2)– (y^2 +2xy +x^2 + 1)$

$= x^2 – 2xy + y^2 – y^2 – 2xy – x^2 – 1$

$= (x^2– x^2) + (y^2 – y^2) + (– 2xy – 2xy) – 1$

$= 0 + 0 – 4xy – 1$

$= – 4xy – 1.$

8. Giải bài 36 trang 41 SGK Toán 7

Tính giá trị của mỗi đa thức sau:

a) ${x^{2}} + 2xy-3{x^3} + 2{y^3} + 3{x^3}-{y^3}$ tại $x = 5$ và $y = 4$

b) $xy - {x^2}{y^2} +{x^4}{y^4}-{x^6}{y^6} + {x^8}{y^8}$ tại $x = -1$ và $y = -1$

Phương pháp giải

• Bước 1: Thu gọn đa thức đã cho bằng cách thu gọn các hạng tử đồng dạng.
• Bước 2: Thay giá trị của $x$ và $y$ vào đa thức sau khi thu gọn rồi tính giá trị.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Đặt $A = {x^2} + 2xy - 3{x^3} + 2{y^3} + 3{x^3} - {y^3}$

Trước hết ta thu gọn đa thức $A$

$\eqalign{ & A = {x^2} + 2xy - 3{x^3} + 2{y^3} + 3{x^3} - {y^3} \cr  & \,\,\,\,\,\, = {x^2} + 2xy + \left( { - 3{x^3} + 3{x^3}} \right) + \left( {2{y^3} - {y^3}} \right) \cr  & \,\,\,\,\, = {x^2} + 2xy + {y^3} \cr}$

Thay $x = 5; y = 4$ vào đa thức $A={x^2} + 2xy + {y^3}$ ta được:

${5^2} + 2.5.4 + {4^3} = 25 + 40 + 64 = 129$.

Vậy giá trị của đa thức $A$ tại $x = 5$ và $y = 4$ là $129$.

Câu b:

Đặt $M=xy - {x^2}{y^2} +{x^4}{y^4}-{x^6}{y^6} + {x^8}{y^8}$

Thay $x = -1; y = -1$ vào đa thức $M$ ta được:

$\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) - {\left( { - 1} \right)^2}.{\left( { - 1} \right)^2}$$\,+ {\left( { - 1} \right)^4}.{\left( { - 1} \right)^{4}} - {\left( { - 1} \right)^6}.{\rm{ }}{\left( { - 1} \right)^6}$$\,+ {\left( { - 1} \right)^8}.{\left( { - 1} \right)^8}$ 

$= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$.

Vậy giá trị của đa thức $M$ tại $x = -1$ và $y = -1$ là $1$.

Cách khác: 

$M=xy - {x^2}{y^2} +{x^4}{y^4}-{x^6}{y^6} + {x^8}{y^8}$

$M=xy-(xy)^2+(xy)^4-(xy)^6+(xy)^8$

Với $x=-1;y=-1$ thì $xy=(-1).(-1)=1$ nên $M=1-1^2+1^4-1^6+1^8$$=1-1+1-1+1=1$

9. Giải bài 37 trang 41 SGK Toán 7

Phương pháp giải

10. Giải bài 38 trang 41 SGK Toán 7

Cho các đa thức:

$A = {x^2}-2y + xy + 1$

$B = {x^2} + y - {x^2}{y^2} - 1$.

Tìm đa thức $C$ sao cho:

a) $C = A + B$

b) $C + A = B$

Phương pháp giải

Câu a:

Đa thức $C$ là tổng của hai đa thức $A$ và $B$.

Câu b:

$C$ có vai trò là số hạng chưa biết. Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.

Tức là đa thức $C$ là hiệu của hai đa thức $B$ và $A$. 

Hướng dẫn giải

Câu a:

$C = A + B = (x^2 – 2y + xy + 1) + (x^2 + y – x^2y^2 – 1)$

$C = x^2 – 2y + xy + 1 + x^2 + y – x^2y^2 – 1$

$C = (x^2+ x^2) + (– 2y + y) + xy – x^2y^2 + (1 – 1)$

$C = 2x^2 – y + xy – x^2y^2 + 0$

$C = 2x^2 – y + xy – x^2y^2$

Câu b:

$C + A = B ⟹ C = B – A$

$C = (x^2 + y – x^2y^2 – 1) – (x^2 – 2y + xy + 1)$

$C = x^2 + y – x^2y^2 – 1 – x^2 + 2y – xy – 1$

$C = (x^2– x^2) + (y + 2y) – x^2y^2 – xy + ( - 1 – 1)$

$C = 0 + 3y – x^2y^2 – xy – 2$

$C = 3y – x^2y^2 – xy – 2$