Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 6: Lũy thừa của một số hữu tỉ (tiếp theo)

Trong vở bài tập của bạn Dũng có bài làm sau

b) \((0,75)^{3}:(0,75)=(0,75)^{2}\)

c) \((0,2)^{10}:(0,2)^{5}=(0,2)^{2}\)

d) \({\left[ {{{\left( { - \dfrac{1}{7}} \right)}^2}} \right]^4} = {\left( { - \dfrac{1}{7}} \right)^6}\)

e) \(\dfrac{50^{3}}{125} = \dfrac{50^{3}}{5^{3}} ={\left( {\dfrac{{50}}{5}} \right)^3}= 10^{3}= 1000\)

f) \(\dfrac{{{8^{10}}}}{{{4^8}}} = {\left( {\dfrac{8}{4}} \right)^{10 - 8}} = {2^2}\)

Hãy kiểm tra lại các đáp số và sửa lại chỗ sai ( nếu có)

Phương pháp giải

Sử dụng

\(\begin{array}{l}
{x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\\
{x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\left( {x \ne 0,m \ge n} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Các câu đúng: b, e 

Các câu sai: a, c, d, f.

Ta sửa lại như sau

Câu a: \((-5)^{2}.(-5)^{3}=(-5)^{2+3} =(-5)^{5}\)

Câu c: \((0,2)^{10}:(0,2)^{5}=(0,2)^{10-5}=(0,2)^{5}\)

Câu d: \({\left[ {{{\left( { - \dfrac{1}{7}} \right)}^2}} \right]^4} = {\left( { - \dfrac{1}{7}} \right)^{2.4}} = {\left( { - \dfrac{1}{7}} \right)^8}\)

Câu f: \(\dfrac{{{8^{10}}}}{{{4^8}}} = \dfrac{{{8^2}{{.8}^8}}}{{{4^8}}} = {8^2}.{\left( {\dfrac{8}{4}} \right)^8} = {\left( {{2^3}} \right)^2}{.2^8}\)

\(= {2^{3.2}}{.2^8} = {2^6}{.2^8} = {2^{6 + 8}} = {2^{14}}\)

Ta thừa nhận tính chất sau đây: Với \(a \ne 0,a \ne  \pm 1\) nếu \(a^{m}=a^{n}\) thì \(m = n.\)  Dựa vào tính chất này, hãy tìm các số tự nhiên \(m\) và \(n\), biết

\(\begin{gathered}
a)\,\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^m} = \frac{1}{{32}} \hfill \\
b)\,\,\,\frac{{343}}{{125}} = {\left( {\frac{7}{5}} \right)^n} \hfill \\
\end{gathered} \)

Phương pháp giải

Áp dụng công thức:\({\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\,\,\left( {y \ne 0} \right)\)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& a)\,\,{\left( {{1 \over 2}} \right)^m} = {1 \over {32}} \Rightarrow {\left( {{1 \over 2}} \right)^m} = {1 \over {{2^5}}} \cr
& \Rightarrow {\left( {{1 \over 2}} \right)^m} = {\left( {{1 \over 2}} \right)^5} \Rightarrow m = 5 \cr
& b)\,\,\,{{343} \over {125}} = {\left( {{7 \over 5}} \right)^n} \Rightarrow {{{7^3}} \over {{5^3}}} = {\left( {{7 \over 5}} \right)^n} \cr
& \Rightarrow {\left( {{7 \over 5}} \right)^3} = {\left( {{7 \over 5}} \right)^n} \Rightarrow n = 3 \cr} \)

Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ                          

a) \(10^{8}.2^{8}\)

b) \(10^{8}:2^{8}\)

c) \(25^{4}.2^{8}\)

d) \(15^{8}.9^{4}\)

e) \(27^{2}:25^{3}\)

Phương pháp giải

Chú ý các công thức sau

\(\begin{array}{l}
{\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}\\
{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\,\,\left( {y \ne 0} \right)
\end{array}\)

\((x^m)^n=x^{m.n}\)

Hướng dẫn giải

a) \(10^{8}.2^{8}=(10.2)^{8}=20^{8}\)

b) \(10^{8}:2^{8} = (10:2)^{8}=5^{8}\)

c) \(25^{4}.2^{8} = (5^{2})^{4}.2^{8}=5^{2.4}.2^{8}\)\(=5^{8}.2^{8}=(5.2)^8=10^{8}\)

d) \(15^{8}.9^{4} = 15^{8}.(3^{2})^{4}=15^{8}.3^{2.4}\)\(=15^{8}.3^{8}=(15.3)^{8}=45^{8}\)

e) \(27^{2}:25^{3} = (3^{3})^{2} : (5^{2})^{3} = 3^{3.2} : 5^{2.3}\)\(= 3^{6} : 5^{6}= {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^6}\) 

Tìm giá trị của biểu thức sau

a) \(\dfrac{4^{2}.4^{3}}{2^{10}}\)  

b) \(\dfrac{(0,6)^{5}}{(0,2)^{6}}\)

c) \(\dfrac{2^{7}. 9^{3}}{6^{5}.8^{2}}\)

d) \(\dfrac{6^{3} + 3.6^{2}+ 3^{3}}{-13}\)

Phương pháp giải

Áp dụng các công thức sau

\(\begin{array}{l}
{\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}\\
{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\,\,\left( {y \ne 0} \right)
\end{array}\)

\({\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{n.m}}\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \(\dfrac{4^{2}.4^{3}}{2^{10}}= \dfrac{4^{2+3}}{2^{2.5}}\)\(= \dfrac{4^{5}}{(2^{2})^{5}}=\dfrac{4^{5}}{4^{5}}= 1\)

Câu b: \(\dfrac{(0,6)^{5}}{(0,2)^{6}} = \dfrac{(0,2.3)^{5}}{(0,2)^{5+1}} = \dfrac{(0,2)^{5}.3^{5}}{(0,2)^{5}.0,2} \)

\(= \dfrac{3^{5}}{0,2} = \dfrac{243}{0,2}= 1215\)

Câu c: \(\dfrac{{{2^7}{{.9}^3}}}{{{6^5}{{.8}^2}}} = \dfrac{{{2^7}.{{\left( {{3^2}} \right)}^3}}}{{{{\left( {2.3} \right)}^5}.{{\left( {{2^3}} \right)}^2}}}\)\(= \dfrac{{{2^7}{{.3}^{2.3}}}}{{{2^5}{{.3}^5}{{.2}^{3.2}}}} = \dfrac{{{2^7}{{.3}^6}}}{{{2^5}{{.3}^5}{{.2}^6}}} \)

\(= \dfrac{{{2^7}{{.3}^6}}}{{{2^{11}}{{.3}^5}}} = \dfrac{3}{{{2^4}}} = \dfrac{3}{{16}}\)

(Áp dụng công thức: \({\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{n.m}};\,\,{\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}\))

Câu d

\(\eqalign{
& \,\,{{{6^3} + {{3.6}^2} + {3^3}} \over { - 13}}\cr& = {{{{\left( {2.3} \right)}^3} + 3.{{\left( {2.3} \right)}^2} + {3^3}} \over { - 13}} \cr
& = {{{2^3}{{.3}^3} + {3^3}{{.2}^2} + {3^3}} \over { - 13}} \cr&= {{{3^3}.({2^3} + {2^2} + 1)} \over { - 13}} \cr
& = {{{3^3}.13} \over { - 13}} = {{{3^3}} \over { - 1}} = - 27 \cr} \)

a) Viết các số \(2^{27}\) và \(3^{18}\) dưới dạng các lũy thừa có số mũ là \(9\)   

b) Trong hai số \(2^{27}\) và \(3^{18}\), số nào lớn hơn?

Phương pháp giải

Áp dụng công thức : \({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: \(2^{27}=(2^{3})^{9}=8^{9}\)

\(3^{18}=(3^{2})^{9}=9^{9}\) 

Câu b: Vì \(8 < 9\) nên \(8^{9}<9^{9}\)

Vậy theo câu a, ta được   \(2^{27} < 3^{18}\)

Cho \(x ∈\mathbb Q\), và \(x ≠ 0.\) Viết \({x^{10}}\) dưới dạng

a) Tích của hai lũy thừa trong đó có một thừa số là \({x^{7}}\)

b) Lũy thừa của \({x^{2}}\)

c) Thương của hai lũy thừa trong đó số bị chia là \({x^{12}}\)

Phương pháp giải

Ta áp dụng các công thức sau

\(\begin{array}{l}
{\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\\
{x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\\
{x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\left( {x \ne 0,m \ge n} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \({x^{10}} ={x^{7+3}}= {x^7}.{x^3}\)

Câu b: \({x^{10}} ={x^{2.5}}= {({x^2})^5}\)

Câu c: \({x^{10}} ={x^{12-2}}= {x^{12}}:{x^2}\)

a) \({\left( {\dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\) 

b)  \({\left( {\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6}} \right)^2}\)

c) \(\dfrac{{{5^4}{{.20}^4}}}{{{{25}^5}{{.4}^5}}}\)

d) \({\left( {\dfrac{{ - 10}}{3}} \right)^5}.{\left( {\dfrac{{ - 6}}{5}} \right)^4}\)

Phương pháp giải

Ta sử dụng các công thức sau

\({\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}\)

\({x^n} = \underbrace {x.x.x...x}_{n\,\,\,thừa\,\,số}\left( {x \in Q,n \in N,n > 1} \right)\)

\({\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\,\,\left( {y \ne 0} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \({\left( {\dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{6}{{14}} + \dfrac{7}{{14}}} \right)^2} \)\(\,= {\left( {\dfrac{{13}}{{14}}} \right)^2}= \dfrac{{169}}{{196}}\)     

Câu b: \({\left( {\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{9}{{12}} - \dfrac{{10}}{{12}}} \right)^2}\)\(\, = {\left( {\dfrac{{ - 1}}{{12}}} \right)^2} = \dfrac{1}{{144}}\)

Câu c: \(\dfrac{{{5^4}{{.20}^4}}}{{{{25}^5}{{.4}^5}}} = \dfrac{{{{\left( {5.20} \right)}^4}}}{{{{\left( {25.4} \right)}^5}}} = \dfrac{{{{100}^4}}}{{{{100}^5}}} = \dfrac{1}{{100}}\)

Câu d

\(\begin{array}{l}
{\left( {\dfrac{{ - 10}}{3}} \right)^5}.{\left( {\dfrac{{ - 6}}{5}} \right)^4}\\
= \left( {\dfrac{{ - 10}}{3}} \right).{\left( {\dfrac{{ - 10}}{3}} \right)^4}.{\left( {\dfrac{{ - 6}}{5}} \right)^4}\\
= \dfrac{{ - 10}}{3}.{\left[ {\left( {\dfrac{{ - 10}}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - 6}}{5}} \right)} \right]^4}\\
= \dfrac{{ - 10}}{3}.{\left[ {\dfrac{{ - 10.\left( { - 6} \right)}}{{3.5}}} \right]^4}\\
= \dfrac{{ - 10}}{3}.{\left( {\dfrac{{60}}{{15}}} \right)^4}\\
= \dfrac{{ - 10}}{3}{.4^4}\\
= \dfrac{{ - 10}}{3}.256 = \dfrac{{ - 2560}}{3}
\end{array}\)

Tính

a) \(\left( {1 + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}} \right).{\left( {\dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{4}} \right)^2}\)

b) \(2:{\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}} \right)^3}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc

- Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ.

- Lũy thừa của một số hữu tỉ.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l}
\left( {1 + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}} \right).{\left( {\dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{4}} \right)^2} \\= \left( {\dfrac{{12}}{{12}} + \dfrac{8}{{12}} - \dfrac{3}{{12}}} \right).{\left( {\dfrac{{16}}{{20}} - \dfrac{{15}}{{20}}} \right)^2}\\
 = \dfrac{{17}}{{12}}.{\left( {\dfrac{1}{{20}}} \right)^2} =\dfrac{{17}}{{12}}.\dfrac{{{1^2}}}{{{{20}^2}}}\\ = \dfrac{{17}}{{12}}.\dfrac{1}{{400}} = \dfrac{{17}}{{4800}}
\end{array}\)

Câu b

\(2:{\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}} \right)^3} = 2:{\left( {\dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6}} \right)^3}\)

\(= 2:{\left( { - \dfrac{1}{6}} \right)^3} = 2:\left( { - \dfrac{1}{{216}}} \right) \)

\(=  2.(-216) =  - 432\)

Tìm số tự nhiên \(n\), biết

a) \(\dfrac{{16}}{{{2^n}}} = 2\)

b) \(\dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{{81}} =  - 27\)

c) \({8^n}:{2^n} = 4\)

Phương pháp giải

Áp dụng công thức

\({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\)   (\( x ∈\mathbb Q, m,n ∈\mathbb N\))

\({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\)   (\(x ≠ 0, m ≥ n\))

\({x^n} = {x^m} \Rightarrow n = m\) (với \(x\ne 0, x\ne \pm 1\))

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{16}}{{{2^n}}} = 2\\
\dfrac{{{2^4}}}{{{2^n}}} = 2\\
{2^{4 - n}} = 2\\{2^{4 - n}}=2^1\\
 \Rightarrow4 - n = 1\\\;\;\;\;n=4-1\\
\;\;\;\;n = 3
\end{array}\) 

Câu b

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{{81}} =  - 27\\
\dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^4}}} = {\left( { - 3} \right)^3}\\
{\left( { - 3} \right)^{n - 4}} = {\left( { - 3} \right)^3}\\
 \Rightarrow n - 4 = 3\\\;\;\;\;n=4+3\\
\;\;\;\;n = 7
\end{array}\) 

Câu c

 \(\begin{array}{l}
{8^n}:{2^n} = 4\\{(8:2)^n} = 4\\
{4^n} = 4\\{4^n} = 4^1\\
 \Rightarrow n = 1
\end{array}\)

Đố: Biết rằng \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {10^2} = 385\),

đố em tính nhanh được tổng \(S = {2^2} + {4^2} + {6^2} + ... + {20^2}.\)

Phương pháp giải

Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa.                                

\((x.y)^{n}=x^{n}.y^{n}\)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& S = {2^2} + {4^2} + {6^2} + ... + {20^2} \cr
& S = {\left( {2.1} \right)^2} + {\left( {2.2} \right)^2} + {\left( {2.3} \right)^2} + ... + {\left( {2.10} \right)^2} \cr
& S = {2^2}{.1^2} + {2^2}{.2^2} + {2^2}{.3^2} + ... + {2^2}{.10^2} \cr
& S = {2^2}.\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {{10}^2}} \right) \cr
& S = {2^2}.385 = 4.385 = 1540 \cr} \)