Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Điền vào chỗ trống (...) trong các phát biểu sau

a) Hai đường thẳng vuông góc với nhau là hai đường thẳng ...

b) Hai đường thẳng \(a\) và \(a'\) vuông góc với nhau được ký hiệu là ...

c) Cho trước một điểm \(A\) và đường thẳng \(d\) ...đường thẳng \(d'\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\).

Phương pháp giải

• Định nghĩa: Hai đường thẳng \(xx'\) và \(yy'\) cắt nhau. Nếu trong các góc tạo thành có một góc vuông thì hai đường thẳng đó gọi là hai đường thẳng vuông góc và kí hiệu \(xx'\perp yy'\).
• Tính chất: Có một và chỉ một đường thẳng \(a'\) đi qua điểm \(O\) cho trước và vuông góc với đường thẳng \(a\) cho trước.

Hướng dẫn giải

Câu a: Hai đường thẳng vuông góc với nhau là hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc vuông.

Câu b: Hai đường thẳng \(a\) và \(a'\) vuông góc với nhau được kí hiệu là \(a\perp a'\).

Câu c: Cho trước một điểm \(A\) và đường thẳng \(d\). Có một và chỉ một đường thẳng \(d'\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\).

Trong hai câu sau, câu nào đúng? câu nào sai? Hãy bác bỏ câu sai bằng một hình vẽ.

a) Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau

b) Hai đường thẳng cắt nhau thì vuông góc

Phương pháp giải

Hai đường thẳng \(xx'\) và \(yy'\) cắt nhau. Nếu trong các góc tạo thành có một góc vuông thì hai đường thẳng đó gọi là hai đường thẳng vuông góc và kí hiệu \(xx'\perp yy'\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Đúng (theo định nghĩa)

Câu b: Sai. Ví dụ hình vẽ sau hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(O\) nhưng \(a\) không vuông góc với \(b.\)

Vẽ một đoạn thẳng \(AB\) trên giấy trong hoặc giấy mỏng. Hãy gấp tờ giấy để nếp gấp trùng với đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Phương pháp giải

• Vẽ đoạn thẳng \(AB\) trên giấy. 
• Gấp giấy theo hướng dẫn. 
• Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy

Hướng dẫn giải

Gấp tờ giấy sao cho điểm \(A\) trùng với điểm \(B.\) Khi đó nếp gấp sẽ trùng với đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Cho đoạn thẳng \(CD\) dài \(3\,cm.\) Hãy vẽ đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Phương pháp giải

• Vẽ đoạn thẳng \(CD\) dài \(3\,cm.\)
• Lấy \(I\) là trung điểm của \(CD.\) 
• Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng \(CD.\) 

Hướng dẫn giải

Cách vẽ

• Dùng thước có chia khoảng, vẽ đoạn thẳng CD=3cm. Vẽ trung điểm I của CD bằng cách lấy I sao cho CI=1,5cm.

• Dùng êke vẽ đường thẳng d vuông góc với CD tại I ( Xem cách vẽ phần tóm tắt lý thuyết).

Đường thẳng d chính là đường trung trực của đoạn thẳng CD. 

Vẽ đường thẳng xy và điểm O thuộc đường thẳng đó trên giấy trong (như hình a). Gấp giấy như hình b. Trải phẳng tờ giấy rồi tô xanh nếp gấp zt (hình c). Hãy nêu những kết luận rút ra từ các hoạt động trên.

Phương pháp giải

Quan sát hình và đưa ra nhận xét.

Hướng dẫn giải

Kết luận rút ra từ các hoạt động trên: Nếp gấp \(zt\) vuông góc với đường thẳng \(xy\) tại \(O.\) Có bốn góc vuông là \(\widehat{xOz},\widehat{yOz},\widehat{yOt},\widehat{tOx}.\)

Vẽ đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) cho trước chỉ bằng êke

Phương pháp giải

Hai đường thẳng \(xx'\) và \(yy'\) cắt nhau.

Nếu trong các góc tạo thành có một góc vuông thì hai đường thẳng đó gọi là hai đường thẳng vuông góc và kí hiệu \(xx'\perp yy'\).

Hướng dẫn giải

Thứ tự vẽ đường thẳng \(d'\) và \(d'\perp d\) như sau

Vẽ đường thẳng \(d\), lấy điểm \(A\) nằm ngoài đường thẳng \(d\).

Đặt êke sao cho một mép góc vuông của êke đi qua điểm \(A\), mép góc vuông kia của êke nằm trên đường thẳng \(d.\)

Kẻ đoạn thẳng theo mép góc vuông của êke đi qua điểm \(A.\)

Dùng êke kéo dài đoạn thẳng trên về hai phía thành đường thẳng \(d'\) vuông góc với \(d.\)

Xem hình vẽ sau đây

Dùng êke hãy kiểm tra xem hai đường thẳng a và a' ở hình vẽ (a, b, c) có vuông góc với nhau hay không?

Phương pháp giải

Dùng êke để kiểm tra rồi nhận xét.

Hướng dẫn giải

Dùng êke kiểm tra ta được

Câu a: \(a\) không vuông góc với \(a'\)

Câu b: \(a\perp a'\)

Câu c: \(a\perp a'\)

Vẽ hình theo cách diễn đạt bằng lời sau

Vẽ góc \(xOy\) có số đo bằng \(45^{\circ}\). Lấy điểm \(A\) bất kì nằm  trong góc \(xOy.\) Vẽ qua \(A\) đường thẳng \(d_{1}\) vuông góc với tia \(Ox\) tại \(B.\) Vẽ qua \(A\) đường thẳng \(d_{2}\) vuông góc với tia \(Oy\) tại \(C.\)

Phương pháp giải

Thực hiện vẽ hình lần lượt theo các bước yêu cầu của bài toán.

Hướng dẫn giải

Sau khi vẽ ta được hình sau đây

Vẽ lại hình bên và nói rõ trình tự vẽ hình

Chú ý: Có thể vẽ hình theo nhiều trình tự khác nhau.

Phương pháp giải

Cách dựng góc biết số đo, đường vuông góc .

Hướng dẫn giải

Có thể vẽ hình đã cho theo nhiều trình tự khác nhau.

Ví dụ

Trình tự 1

- Vẽ đường thẳng \(d_{2}\) bất kì.

- Vẽ đường thẳng \(d_{1}\) cắt \(d_{2}\) tại \(O\) và tạo \(\widehat {{d_1}O{d_2}}=60^{\circ}\).

- Vẽ điểm \(A\) tùy ý nằm trong \(\widehat{d_{1}Od_{2}}\).

- Vẽ đoạn thẳng \(AB\) vuông góc \(d_{1}\) tại \(B.\)

- Vẽ đoạn thẳng \(BC\) vuông góc với \(d_{2}\) tại \(C.\)

Trình tự 2

- Vẽ hai đường thẳng \(d_{1},d_{2}\) cắt nhau tại \(O\) và tạo \(\widehat {{d_1}O{d_2}}=60^{\circ}\).

- Lấy điểm \(B\) tùy ý nằm trên tia \(Od_{1}\).

- Vẽ đoạn thẳng \(BC\) vuông góc với tia \(Od_{2}\) tại \(C\), điểm \(C\) nằm trên tia \(Od_{2}\).

- Vẽ đoạn thẳng \(BA\) vuông góc với tia \(Od_{1}\) tại \(B\), điểm \(A\) nằm trong góc \(\widehat{d_{1}Od_{2}}\).

Vẽ đoạn thẳng \(AB\) dài \(2\,cm\) và đoạn thẳng \(BC\) dài \(3\,cm\) rồi vẽ đường trung trực của mỗi đoạn thẳng ấy.

(Vẽ hình trong hai trường hợp: ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng, ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng)

Phương pháp giải

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Hướng dẫn giải

Sau khi vẽ ta được các hình sau

.