Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 8: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Tìm hai số \(x\) và \(y\), biết \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5}\) và \(x + y = 16\)

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c }}{{b + d }}\)

Hướng dẫn giải

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{x+y}{3+5} = \dfrac{16}{8} = 2\) (Vì theo đề bài cho: \(x+y=16\))

Do đó

\(\dfrac{x}{3} = 2  \Rightarrow  x = 2.3 = 6\)

\(\dfrac{y}{5} = 2 \Rightarrow  y = 2.5 = 10\) 

Vậy \(x=6; y =10\).

Tìm hai số \(x\) và \(y\), biết \(x: 2 = y: (-5)\) và \(x - y = -7\)

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - c }}{{b - d }}\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(x: 2 = y: (-5)\) tức là:  \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{-5}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{-5} =\dfrac{x-y}{2-(-5)} = \dfrac{-7}{7} = -1\)

Do đó

\(\dfrac{x}{2} = -1 \Rightarrow  x = (-1).2 = -2\)

\(\dfrac{y}{-5} = -1 \Rightarrow  y=( -1).(-5) = 5\)

Vậy \(x = -2\) và \(y = 5\)

Tìm diện tích của một hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của nó bằng \(\dfrac{2}{5}\) và chu vi bằng \(28m\)

Phương pháp giải

Áp dụng

• Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} =\dfrac{{a + c }}{{b + d}}\)
• Công thức tính chu vi, diện tích hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x (m)\) là chiều rộng, \(y (m)\) là chiều dài ( \(x, y >0\))

Tỉ số giữa hai cạnh là \(\dfrac{2}{5}\) nên suy ra \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{5}\) hay \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5}\)

Chu vi của hình chữ nhật bằng \(28\) nên: \(2.(x+y)=28 \Rightarrow x+y=14\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có

\(\dfrac{x}{2} =\dfrac{y}{5} = \dfrac{x+y}{2+5} = \dfrac{14}{7} = 2\)

Do đó: \(\dfrac{x}{2}= 2 \Rightarrow x = 2.2 = 4\) (thỏa mãn)

\(\dfrac{y}{5}=2 \Rightarrow y= 2.5= 10\) (thỏa mãn)

Vậy diện tích hình chữ nhật là: \(S = 10.4 = 40\;(m^2)\)

Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số \(2; 4; 5.\) Tính số viên của mỗi bạn, biết rằng ba bạn có tất cả \(44\) viên bi.

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x, y, z\) lần lượt là số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng. \((x,y,z \in\mathbb {N^*};x,y,z < 44)\)

Vì ba bạn có tất cả 44 viên bi nên \(x + y + z = 44\)

Lại có, số bi của Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2, 4, 5, nên ta có: 

\(\dfrac{x}{2}= \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{2}= \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\) = \(\dfrac{x+y+z}{2+4+5} = \dfrac{44}{11} = 4\)

Do đó

\(\dfrac{x}{2}= 4\Rightarrow  x =4.2=8\) (thỏa mãn)

\(\dfrac{y}{4}= 4 \Rightarrow  y = 4.4 = 16\) (thỏa mãn)

\(\dfrac{z}{5} = 4 \Rightarrow  z = 4.5= 20\) (thỏa mãn)

Vậy số viên bi của Minh, Hùng, Dũng theo thứ tự là \(8, 16, 20\) viên bi. 

Hai lớp 7A và 7B đi lao động trồng cây. Biết rằng tỉ số giữa cây trồng được của lớp 7A và lớp 7B là \(0,8\) và lớp 7B trồng nhiều hơn lớp 7A là \(20\) cây. Tính số cây mỗi lớp đã trồng?

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c }}{{b + d }} = \dfrac{{a - c }}{{b - d }}\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x, y\) lần lượt là số cây trồng được của lớp 7A, 7B. \((x,y \in \mathbb {N^*};\,\,y > 20)\)

Theo đề bài tỉ số giữa cây trồng được của lớp 7A và lớp 7B là \(0,8\) nên ta có:

\(\dfrac{x}{y}= 0,8=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\)

\( \Rightarrow  \dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5}\)

Lớp 7B trồng nhiều hơn lớp 7A là \(20\) cây nên ta có:

\(y - x = 20\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{ y-x}}{{5-4}}=\dfrac{y-x}{1} = \dfrac{20}{1}=20\) 

Do đó

\(\dfrac{x}{4} = 20 \Rightarrow  x = 20.4 = 80\) (thỏa mãn)

\(\dfrac{y}{5} = 20 \Rightarrow  y = 20.5 = 100\) (thỏa mãn)

Vậy số cây của lớp 7A là \(80\), của lớp 7B là \(100\).

Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên  

\(\eqalign{
& a)\,\,2,04:{\rm{ }}\left( { - 3,12} \right) \cr
& b)\,\,\left( { - 1{1 \over 2}} \right):1,25 \cr
& c)\,\,4:5{3 \over 4} \cr
& d)\,\,10{3 \over 7}:5{3 \over {14}} \cr} \)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân, chia số hữu tỉ.

\(\begin{array}{l}
\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{{AC}}{{BD}}\\
\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C} = \dfrac{{AD}}{{BC}}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& a)\,\,2,04:{\rm{ }}\left( { - 3,12} \right) = {{204} \over {100}}:{{ - 312} \over {100}} \cr
& = {{204} \over {100}}.{{100} \over { - 312}} = {{204} \over { - 312}} = {{ - 17} \over {26}} \cr
& b)\,\,\left( { - 1{1 \over 2}} \right):1,25 = {{ - 3} \over 2}:{{125} \over {100}} \cr
& = {{ - 3} \over 2}.{{100} \over {125}} = {{ - 3} \over 2}.{4 \over 5} = {{ - 6} \over 5} \cr
& c)\,\,4:5{3 \over 4} = 4:{{23} \over 4} = 4.{4 \over {23}} = {{16} \over {23}} \cr
& d)\,\,10{3 \over 7}:5{3 \over {14}} = {{73} \over 7}:{{73} \over {14}} \cr&= {{73} \over 7}.{{14} \over {73}} = 2 \cr} \)

Tìm \(x\) trong các tỉ lệ thức sau

\(\eqalign{
& a)\,\,\left( {{1 \over 3}x} \right):{2 \over 3} = 1{3 \over 4}:{2 \over 5} \cr
& b)\,\,4,5:0,3{\rm{ }} = {\rm{ }}2.25:\left( {0,1.x} \right) \cr
& c)\,\,8:\left( {{1 \over 4}.x} \right) = 2:0,02 \cr
& d)\,\,3:2{1 \over 4} = {3 \over 4}:(6.x) \cr} \)

Phương pháp giải

Áp dụng

- Tính chất tỉ lệ thức

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc\)

- Quy tắc nhân, chia số hữu tỉ

\(\begin{array}{l}
\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{{AC}}{{BD}}\\
\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C} = \dfrac{{AD}}{{BC}}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
& \left( {{1 \over 3}x} \right):{2 \over 3} = 1{3 \over 4}:{2 \over 5} \cr
& {x \over 3}:{2 \over 3} = {7 \over 4}:{2 \over 5} \cr
& {x \over 3}.{3 \over 2} = {7 \over 4}.{5 \over 2} \cr
& {x \over 2} = {{35} \over 8} \cr
&x = {{35.2} \over 8} \cr
& x = {{35} \over 4} \cr} \)

Câu b

\(\begin{array}{l}
4,5:0,3 = 2,25:\left( {0,1.x} \right)\\
15 = 2,25:\left( {0,1.x} \right)\\
0,1.x = 2,25:15\\
0,1x = 0,15\\\;\;\;x=0,15:0,1\\
x = 1,5
\end{array}\)

Câu c

\(\eqalign{
& 8:\left( {{1 \over 4}.x} \right) = 2:0,02 \cr
&8:\left( {{1 \over 4}.x} \right) = 100 \cr
& {1 \over 4}x = 8:100 \cr
& {1 \over 4}x = 0,08 \cr
& x = 0,08:{1 \over 4} \cr
&x = 0,08.4 \cr
& x = 0,32 \cr} \)

Câu d

\(\begin{array}{l}
\,3:2\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}:\left( {6.x} \right)\\
3:\dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{4}:\left( {6.x} \right)\\
3.\dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{4}:\left( {6.x} \right)\\
\dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{4}:\left( {6.x} \right)\\
6.x = \dfrac{3}{4}:\dfrac{4}{3}\\
6.x = \dfrac{3}{4}.\dfrac{3}{4}\\
6.x = \dfrac{9}{{16}}\\
x = \dfrac{9}{{16}}:6\\
x = \dfrac{9}{{16}}.\dfrac{1}{6}\\
x = \dfrac{3}{{32}}
\end{array}\)

Tìm ba số \(x, y , z\), biết rằng: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3};\dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\) và \(x + y - z= 10\)

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a \pm c \pm e}}{{b \pm d \pm f}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\begin{array}{l}
\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} \Rightarrow \dfrac{x}{2}.\dfrac{1}{4} = \dfrac{y}{3}.\dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{x}{8} = \dfrac{y}{{12}}\\
\dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} \Rightarrow \dfrac{y}{4}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{z}{5}.\dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{15}}\\ \Rightarrow\dfrac{x}{8} = \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{15}}
\end{array}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{x}{8} = \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{15}} = \dfrac{{x + y - z}}{{8 + 12 - 15}} = \dfrac{{10}}{5} = 2\)

Ta có

\(\begin{array}{l}
\dfrac{x}{8} = 2 \Rightarrow x = 8.2 = 16\\
\dfrac{y}{{12}} = 2 \Rightarrow y = 12.2 = 24\\
\dfrac{z}{{15}} = 2 \Rightarrow z = 15.2 = 30
\end{array}\)

Vậy \(x=16,y=24,z=30.\)

Tìm hai số \(x\) và \(y\), biết rằng: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5}\) và \(x.y = 10\)

Phương pháp giải

Áp dụng

\(\eqalign{
& {a \over b} = {c \over d} = k\,\,(k\ne 0) \cr
& \Rightarrow a = kb;\,\,c = kd \cr} \)

Hướng dẫn giải

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5}=k\) (với \(k\ne 0\)) 

Do đó \(x = 2k; y = 5k\)  (1) 

Theo đề bài \(xy = 10\)  (2)

Thay (1) và (2) ta được: \( 2k.5k = 10 \Rightarrow 10{k^2} = 10 \)

\(\Rightarrow {k^2} = 1 \Rightarrow k =  1\) hoặc \(k=-1\) 

Với \(k = 1\) ta được \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = 1 \Rightarrow x = 2;y = 5\)

Với \(k = -1\) ta được \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} =  - 1 \Rightarrow x =  - 2;y =  - 5\)

Vậy \(x = 2 ; y = 5\) hoặc \(x = -2; y = -5.\)

Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\,\,(a\, - b \ne 0,\,c\, - d \ne 0)\) ta có thể suy ra tỉ lệ thức \(\dfrac{{a + b}}{{a - b}} = \dfrac{{c + d}}{{c - d}}\)

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{a + b}}{{c + d}} = \dfrac{{a - b}}{{c - d}}\)  

Áp dụng: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:  \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)  suy ra \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{a + b}}{{c + d}} = \dfrac{{a - b}}{{c - d}}\)       

Vì \(\dfrac{{a + b}}{{c + d}} = \dfrac{{a - b}}{{c - d}}\) nên \(\dfrac{{a + b}}{{a - b}} = \dfrac{{c + d}}{{c - d}}\)

Số học sinh bốn khối \(6,7,8,9\) tỉ lệ với các số \(9, 8, 7, 6\). Biết rằng số học sinh khối \(9\) ít hơn số học sinh khối \(7\) là \(70\) học sinh. Tính số học sinh mỗi khối?

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - c }}{{b - d }}\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x, y, z, t\) lần lượt là số học sinh các khối \(6, 7, 8, 9\),  \((x,y,z,t \in {\mathbb N^*})\)

Theo đề bài số học sinh bốn khối \(6,7,8,9\) tỉ lệ với các số \(9, 8, 7, 6\) nên ta có: \(\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{6}\)

Số học sinh khối \(9\) ít hơn số học sinh khối \(7\) là \(70\) học sinh nên ta có: \(y - t = 70\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{6} = \dfrac{{y - t}}{{8 - 6}}\)\(\, = \dfrac{{70}}{2} = 35\)

Do đó

\(x = 9.35 = 315\)

\(y = 8.35 = 280\)

\(z = 7.35 = 245\)

\(t = 6.35 = 210\)

Vậy số học sinh các khối \(6, 7, 8, 9\) lần lượt là \(315;280;245;210\) học sinh.