Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 2: Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ thuận với nhau hay không, nếu:

a)

b)

Phương pháp giải

Để kiểm tra hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ thuận không ta làm như sau:

Xét các tỉ số: $\dfrac{{{x_1}}}{{{y_1}}};\dfrac{{{x_2}}}{{{y_2}}};\dfrac{{{x_3}}}{{{y_3}}};...$

- Nếu $\dfrac{{{x_1}}}{{{y_1}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{{y_2}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{{y_3}}}=...$ thì $x$ tỉ lên thuận với $y$

- Nếu $\dfrac{{{x_1}}}{{{y_1}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{{y_2}}} = ... \ne \dfrac{{{x_n}}}{{{y_n}}}=...$ thì $x$ và $y$ không tỉ lệ thuận với nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: 

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{{18}} = \dfrac{3}{{27}} = \dfrac{4}{{36}} = \dfrac{5}{{45}}$

$\Rightarrow y=9x$

Vậy $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Câu b: Ta có 

 $\dfrac{1}{{12}} = \dfrac{2}{{24}} = \dfrac{5}{{60}} = \dfrac{6}{{72}} \ne \dfrac{9}{{90}}$

Nên hai đại lượng $x$ và $y$  không tỉ lệ thuận với nhau. 

Thay cho việc đo chiều dài các cuộn dây thép người ta thường cân chúng. Cho biết mỗi mét dây nặng $25$ gam.

a) Giả sử $x$ mét dây nặng $y$ gam. Hãy biểu diễn $y$ theo $x$.

b) Cuộn dây dài bao nhiêu mét biết rằng nó nặng $4,5 kg$?

Phương pháp giải

Hai đại lượng tỷ lệ thuận $x$ và $y$ liên hệ với nhau bởi công thức $y = kx$,(với $k$ là một hằng số khác $0$), thì ta nói $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k.$

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì khối lượng của cuộn dây thép tỉ lệ thuận với chiều dài nên $y = kx$ $(k\ne0)$.

Theo đề bài mỗi mét dây nặng $25$ gam nên $x=1$ thì $y = 25$

Thay $x=1$ và $y = 25$ vào công thức $y = kx$ ta được $25 = k.1$ hay $k = 25$.

Vậy $y = 25x$

Câu b: Vì $y = 25x$ nên khi $y = 4,5kg = 4500g$ thì $x =y:25= 4500: 25 = 180.$

Vậy cuộn dây dài $180m$.

Hạnh và Vân định làm mứt dẻo từ $2,5 kg$ dâu. Theo công thức, cứ $2 kg$ dâu thì cần $3 kg$ đường. Hạnh bảo cần $3,75kg$, còn vân bảo cần $3,25kg$. Theo em ai đúng, vì sao?

Phương pháp giải

Hai đại lượng tỷ lệ thuận $x$ và $y$ liên hệ với nhau bởi công thức $y = kx$, (với $k$ là một hằng số khác $0$), thì ta nói $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k.$

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng dâu và khối lượng đường lần lượt là $y$ (kg) và $x$ (kg).

Vì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có: $y=kx$ $(k\ne0)$

Theo điều kiện đề bài $y = 2$ thì $x = 3$, thay vào công thức ta được $2 = k.3$ nên $k =  \dfrac{2}{3}$

Do đó $y =  \dfrac{2}{3}x\Rightarrow x = \dfrac{3}{2}y$
Khi $y = 2,5$ thì $x =  \dfrac{3}{2}y =  \dfrac{3}{2}.2,5 = 3,75$
Vậy khi làm $2,5$ kg dâu thì cần $3,75$ kg đường, tức là Hạnh nói đúng.

Học sinh của ba lớp $7$ cần phải trồng và chăm sóc  $24$ cây xanh. Lớp $7A$ có $32$ học sinh, lớp $7B$ có $28$ học sinh, lớp $7C$ có $36$ học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh, biết rằng số cây xanh tỉ lệ với số học sinh?

Phương pháp giải

- Số cây xanh và số học sinh là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}}$

Hướng dẫn giải

Gọi số cây trồng của các lớp $7A, 7B, 7C$ lần lượt là $x, y, z$  ($x,y,z \in \mathbb N^*; x,y,z<24$).

Theo đề bài ba lớp $7$ cần phải trồng và chăm sóc  $24$ cây xanh nên ta có $x + y + z = 24$  

Số cây xanh tỉ lệ với số học sinh nên ta có: $\dfrac{x}{32}= \dfrac{y}{28}= \dfrac{z}{36}$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{32}= \dfrac{y}{28}= \dfrac{z}{36}= \dfrac{x + y + z}{32 + 28 + 36} = \dfrac{24}{96} = \dfrac{1}{4}$

Do đó: $x =  \dfrac{1}{4}.32 = 8$ (thỏa mãn)

$y =  \dfrac{1}{4}.28 = 7$ (thỏa mãn)

$z =  \dfrac{1}{4}.36 = 9$ (thỏa mãn).

Vậy số cây trồng của các lớp $7A, 7B, 7C$ lần lượt theo thứ tự là $8; 7;9$ cây.

Đồng bạch là một loại hợp kim của niken, kẽm , đồng, khối lượng của chúng lần lượt tỉ lệ với $3; 4$ và $13.$ Hỏi cần bao nhiêu kilôgam niken, kẽm, đồng để sản xuất $150$ kg đồng bạch?

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}}$

Hướng dẫn giải

Gọi $x; y; z$ (kg) lần lượt là khối lượng niken, kẽm và đồng để sản xuất $150$ kg đồng bạch $(x; y; z >0).$

Khối lượng đồng bạch là $150$ kg nên $x + y + z = 150$

Theo đề bài cho khối lượng của mỗi loại tỉ lệ với $3;4$ và $13$ nên ta có:

$\dfrac{x}{3}= \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{13}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{3}= \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{13} = \dfrac{x + y + z}{3 + 4 + 13} = \dfrac{150}{20} = 7,5$

$\Rightarrow$ $x = 7,5.3 = 22,5$ (thỏa mãn)

$y = 7,5.4 = 30$ (thỏa mãn)

$z = 7,5.13 = 97,5$ (thỏa mãn)

Vậy khối lượng của niken, kẽm, đồng để sản xuất $150$ kg đồng bạch lần lượt là $22,5$ kg, $30$ kg, $97,5$ kg

6. Giải bài 10 trang 56 SGK Toán 7

Biết các cạnh của một tam giác tỉ lệ với $2; 3; 4$ và chu vi của nó là $45$ cm. Tính các cạnh của tam giác đó.

Phương pháp giải

- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}}$

- Chu vi tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh của tam giác.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài các cạnh của tam giác lần lượt là $x; y; z$ (cm) ($x; y; z >0$)

Theo đề bài, các cạnh $x;y;z$ lần lượt tỉ lệ với $2; 3; 4$ nên ta có:

$\dfrac{x}{2}= \dfrac{y}{3}= \dfrac{z}{4}$ 

Chu vi của tam giác bằng $45$ nên $x + y + z = 45$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{2}= \dfrac{y}{3}= \dfrac{z}{4} = \dfrac{x + y + z}{2 + 3 + 4 } = \dfrac{45}{9} = 5$

Suy ra: $x = 5.2 = 10$ (thỏa mãn)

$y = 5.3 = 15$ (thỏa mãn)

$z = 5.4 = 20$ (thỏa mãn)

Vậy các cạnh của tam giác là $10$ cm, $15$ cm, $20$ cm.

Đố em tính được trên một chiếc đồng hồ khi kim giờ quay được một vòng thì kim phút, kim giây quay được bao nhiêu vòng?

Phương pháp giải

$1$ giờ $= 60$ phút $= 3600$ giây.

Kim giờ quay $1$ vòng mặt đồng hồ là hết $12$ giờ.

Hướng dẫn giải

Ta biết rằng $1$ giờ $= 60$ phút $= 3600$ giây.

Do đó khi kim giờ đi được $1$ giờ (tức là quay được $\dfrac{1}{12}$ vòng) thì kim phút đi được $1$ vòng và kim giây quay được $60$ vòng trên mặt đồng hồ.

Vậy trên mặt chiếc đồng hồ khi kim giờ quay được $1$ vòng (tức đi được $12$ giờ) thì kim phút quay được $1.12 = 12$ (vòng) và kim giây quay được $60.12 = 720$ (vòng)