Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 2: Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Hai đại lượng \(x\) và \(y\) có tỉ lệ thuận với nhau hay không, nếu:

a)

b)

Phương pháp giải

Để kiểm tra hai đại lượng \(x\) và \(y\) có tỉ lệ thuận không ta làm như sau:

Xét các tỉ số: \(\dfrac{{{x_1}}}{{{y_1}}};\dfrac{{{x_2}}}{{{y_2}}};\dfrac{{{x_3}}}{{{y_3}}};...\)

- Nếu \(\dfrac{{{x_1}}}{{{y_1}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{{y_2}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{{y_3}}}=...\) thì \(x\) tỉ lên thuận với \(y\)

- Nếu \(\dfrac{{{x_1}}}{{{y_1}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{{y_2}}} = ... \ne \dfrac{{{x_n}}}{{{y_n}}}=...\) thì \(x\) và \(y\) không tỉ lệ thuận với nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: 

\(\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{{18}} = \dfrac{3}{{27}} = \dfrac{4}{{36}} = \dfrac{5}{{45}}\)

\(\Rightarrow y=9x\)

Vậy \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Câu b: Ta có 

 \(\dfrac{1}{{12}} = \dfrac{2}{{24}} = \dfrac{5}{{60}} = \dfrac{6}{{72}} \ne \dfrac{9}{{90}}\)

Nên hai đại lượng \(x\) và \(y\)  không tỉ lệ thuận với nhau. 

Thay cho việc đo chiều dài các cuộn dây thép người ta thường cân chúng. Cho biết mỗi mét dây nặng \(25\) gam.

a) Giả sử \(x\) mét dây nặng \(y\) gam. Hãy biểu diễn \(y\) theo \(x\).

b) Cuộn dây dài bao nhiêu mét biết rằng nó nặng \(4,5 kg\)?

Phương pháp giải

Hai đại lượng tỷ lệ thuận \(x\) và \(y\) liên hệ với nhau bởi công thức \(y = kx\),(với \(k\) là một hằng số khác \(0\)), thì ta nói \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(k.\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì khối lượng của cuộn dây thép tỉ lệ thuận với chiều dài nên \(y = kx\) \((k\ne0)\).

Theo đề bài mỗi mét dây nặng \(25\) gam nên \(x=1\) thì \(y = 25\)

Thay \(x=1\) và \(y = 25\) vào công thức \(y = kx\) ta được \(25 = k.1\) hay \(k = 25\).

Vậy \(y = 25x\)

Câu b: Vì \(y = 25x\) nên khi \(y = 4,5kg = 4500g\) thì \(x =y:25= 4500: 25 = 180.\)

Vậy cuộn dây dài \(180m\).

Hạnh và Vân định làm mứt dẻo từ \(2,5 kg\) dâu. Theo công thức, cứ \(2 kg\) dâu thì cần \(3 kg\) đường. Hạnh bảo cần \(3,75kg\), còn vân bảo cần \(3,25kg\). Theo em ai đúng, vì sao?

Phương pháp giải

Hai đại lượng tỷ lệ thuận \(x\) và \(y\) liên hệ với nhau bởi công thức \(y = kx\), (với \(k\) là một hằng số khác \(0\)), thì ta nói \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(k.\)

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng dâu và khối lượng đường lần lượt là \(y\) (kg) và \(x\) (kg).

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có: \(y=kx\) \((k\ne0)\)

Theo điều kiện đề bài \(y = 2\) thì \(x = 3\), thay vào công thức ta được \(2 = k.3\) nên \(k =  \dfrac{2}{3}\)

Do đó \( y =  \dfrac{2}{3}x\Rightarrow x = \dfrac{3}{2}y\)
Khi \(y = 2,5\) thì \(x =  \dfrac{3}{2}y =  \dfrac{3}{2}.2,5 = 3,75\)
Vậy khi làm \(2,5\) kg dâu thì cần \(3,75\) kg đường, tức là Hạnh nói đúng.

Học sinh của ba lớp \(7\) cần phải trồng và chăm sóc  \(24\) cây xanh. Lớp \(7A\) có \(32\) học sinh, lớp \(7B\) có \(28\) học sinh, lớp \(7C\) có \(36\) học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh, biết rằng số cây xanh tỉ lệ với số học sinh?

Phương pháp giải

- Số cây xanh và số học sinh là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\)

Hướng dẫn giải

Gọi số cây trồng của các lớp \(7A, 7B, 7C\) lần lượt là \(x, y, z\)  (\(x,y,z \in \mathbb N^*; x,y,z<24\)).

Theo đề bài ba lớp \(7\) cần phải trồng và chăm sóc  \(24\) cây xanh nên ta có \(x + y + z = 24\)  

Số cây xanh tỉ lệ với số học sinh nên ta có: \( \dfrac{x}{32}= \dfrac{y}{28}= \dfrac{z}{36}\).

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\( \dfrac{x}{32}= \dfrac{y}{28}= \dfrac{z}{36}= \dfrac{x + y + z}{32 + 28 + 36} = \dfrac{24}{96} = \dfrac{1}{4}\)

Do đó: \(x =  \dfrac{1}{4}.32 = 8\) (thỏa mãn)

\(y =  \dfrac{1}{4}.28 = 7\) (thỏa mãn)

\(z =  \dfrac{1}{4}.36 = 9\) (thỏa mãn).

Vậy số cây trồng của các lớp \(7A, 7B, 7C\) lần lượt theo thứ tự là \(8; 7;9\) cây.

Đồng bạch là một loại hợp kim của niken, kẽm , đồng, khối lượng của chúng lần lượt tỉ lệ với \(3; 4\) và \(13.\) Hỏi cần bao nhiêu kilôgam niken, kẽm, đồng để sản xuất \(150\) kg đồng bạch?

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x; y; z\) (kg) lần lượt là khối lượng niken, kẽm và đồng để sản xuất \(150\) kg đồng bạch \((x; y; z >0).\)

Khối lượng đồng bạch là \(150\) kg nên \(x + y + z = 150\)

Theo đề bài cho khối lượng của mỗi loại tỉ lệ với \(3;4\) và \(13\) nên ta có:

\( \dfrac{x}{3}= \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{13}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\( \dfrac{x}{3}= \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{13} = \dfrac{x + y + z}{3 + 4 + 13} = \dfrac{150}{20} = 7,5\)

\( \Rightarrow \) \(x = 7,5.3 = 22,5\) (thỏa mãn)

\(    y = 7,5.4 = 30\) (thỏa mãn)

\( z = 7,5.13 = 97,5\) (thỏa mãn)

Vậy khối lượng của niken, kẽm, đồng để sản xuất \(150\) kg đồng bạch lần lượt là \(22,5\) kg, \(30\) kg, \(97,5\) kg

6. Giải bài 10 trang 56 SGK Toán 7

Biết các cạnh của một tam giác tỉ lệ với \(2; 3; 4\) và chu vi của nó là \(45\) cm. Tính các cạnh của tam giác đó.

Phương pháp giải

- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\)

- Chu vi tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh của tam giác.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài các cạnh của tam giác lần lượt là \(x; y; z\) (cm) (\(x; y; z >0\))

Theo đề bài, các cạnh \(x;y;z\) lần lượt tỉ lệ với \(2; 3; 4\) nên ta có:

\( \dfrac{x}{2}= \dfrac{y}{3}= \dfrac{z}{4}\) 

Chu vi của tam giác bằng \(45\) nên \(x + y + z = 45\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\( \dfrac{x}{2}= \dfrac{y}{3}= \dfrac{z}{4} = \dfrac{x + y + z}{2 + 3 + 4 } = \dfrac{45}{9} = 5\)

Suy ra: \(x = 5.2 = 10\) (thỏa mãn)

\(y = 5.3 = 15\) (thỏa mãn)

\(z = 5.4 = 20\) (thỏa mãn)

Vậy các cạnh của tam giác là \(10\) cm, \(15\) cm, \(20\) cm.

Đố em tính được trên một chiếc đồng hồ khi kim giờ quay được một vòng thì kim phút, kim giây quay được bao nhiêu vòng?

Phương pháp giải

\(1\) giờ \(= 60\) phút \(= 3600\) giây.

Kim giờ quay \(1\) vòng mặt đồng hồ là hết \(12\) giờ.

Hướng dẫn giải

Ta biết rằng \(1\) giờ \(= 60\) phút \(= 3600\) giây.

Do đó khi kim giờ đi được \(1\) giờ (tức là quay được \(\dfrac{1}{12}\) vòng) thì kim phút đi được \(1\) vòng và kim giây quay được \(60\) vòng trên mặt đồng hồ.

Vậy trên mặt chiếc đồng hồ khi kim giờ quay được \(1\) vòng (tức đi được \(12\) giờ) thì kim phút quay được \(1.12 = 12\) (vòng) và kim giây quay được \(60.12 = 720\) (vòng)