Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Hình \(31\) cho biết cách vẽ tia phân giác của góc \(xOy\) bằng thước hai lề :

- Áp một lề của thước vào cạnh \(Ox\), kẻ đường thẳng \(a\) theo lề kia.

- Làm tương tự với cạnh \(Oy\), ta kẻ được đường thẳng \(b\).

- Gọi \(M\) là giao điểm của \(a\) và \(b\), ta có \(OM\) là tia phân giác của góc \(xOy\).

Hãy chứng minh tia \(OM\) được vẽ như vậy đúng là tia phân giác của góc \(xOy.\)

(gợi ý: Dựa vào bài tập \(12\) chứng minh các khoảng cách từ \(M\) đến \(Ox\) và đến \(Oy\) bằng nhau (do cùng bằng khoảng cách hai lề của chiếc thước) rồi áp dụng định lí 2).

Hướng dẫn giải

Gọi \(A, B\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(Ox, Oy\) \( \Rightarrow\) \(MA, MB\) lần lượt là khoảng cách từ \(M\) đến \(Ox, Oy.\) 

Theo cách vẽ bằng thước hai lề và từ bài tập \(12\) ta suy ra: \(MA = MB\) (cùng bằng khoảng cách hai lề của thước) hay điểm \(M\) cách đều hai cạnh của góc \(xOy.\)

Áp dụng định lí \(2\) suy ra \(M\) thuộc phân giác của \(\widehat{xOy}\) hay \(OM\) là phân giác của \(\widehat{xOy}\).

Cho tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài  \({B_1}\) và \({C_1}\) (h. 32) nằm trên tia phân giác của góc \(A.\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(M\) là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài \(B_1\) và \(C_1\) của \(∆ABC.\)

Kẻ \(MI  ⊥ AB; MH  ⊥ BC; MK  ⊥ AC\)  (\( H ∈ BC, I ∈ AB, K ∈ AC\)) 

Vì \(M\) nằm trên tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh \(B\) nên \(MH = MI\) (Theo định lí 1)

Vì \(M\) nằm trên tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh \(C\) nên \(MH = MK\) (Theo định lí 1)

\( \Rightarrow  MI = MK\) (vì cùng bằng \(MH\)).

\( \Rightarrow\) \(M\) thuộc phân giác của góc \(\widehat{BAC}\) (Theo định lí 2) 

Cho hai đường thẳng \(xx’, yy’\) cắt nhau tại \(O\) (h. 33).

a) Chứng minh rằng hai tia phân giác \(Ot, Ot’\) của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Chứng minh rằng: Nếu \(M\) thuộc đường thẳng \( Ot\) hoặc thuộc đường thẳng \(Ot’\) thì \(M\) cách đều hai đường thẳng \(xx’\) và \( yy’.\)

c) Chứng minh rằng: Nếu \(M\) cách đều hai đường thẳng \(xx’, yy’\) thì \(M\) thuộc đường thẳng \(Ot\) hoặc thuộc đường thẳng \(Ot’\).

d) Khi \(M ≡ O\) thì khoảng cách từ \(M\) đến \(xx’\) và \(yy’\) bằng bao nhiêu ?

e) Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau \(xx’, yy’.\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

Vì \(Ot\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\) 

nên \(\widehat{yOt} = \widehat{xOt} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy}\)

\(Ot'\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy'}\)

nên \(\widehat{xOt'} = \widehat{y'Ot'} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy'}\)

\( \Rightarrow\widehat{xOt} + \widehat{xOt'} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy} + \dfrac{1}{2}\widehat{xOy'}\)\(\,=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{xOy}+ \widehat{xOy'}\right)\)

Mà \(\widehat{xOy}\) + \(\widehat{xOy'}=  180^o\)  (\(2\) góc kề bù)

\( \Rightarrow\)  \(\widehat{xOt}\) + \(\widehat{xOt'}= \dfrac{1}{2}.{180^o} = {90^o}\)

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông.

Câu b:

Nếu \(M\) thuộc \(Ot\) hoặc \(Ot'\) thì \(M\) cách đều hai đường thẳng \(xx'\) và \(yy'.\)

Thật vậy, giả sử \(M \in  Ot.\)

Do \(Ot\) là phân giác của \(\widehat{xOy}\) nên \(M\) cách đều \(Ox, Oy\) (Theo định lí 1)

\( \Rightarrow\) \(M\) cách đều \(xx',yy'\)

Nếu \(M \in  Ot'\)

Do \(Ot'\) là phân giác của \(\widehat{xOy'}\) nên \(M\) cách đều \(Ox, Oy'\) (Theo định lí 1)

\( \Rightarrow\) \(M\) cách đều \(xx',yy'\) 

\( \Rightarrow\) \(M\) thuộc \(Ot\) hoặc \(Ot'\) thì \(M\) cách đều hai đường thẳng \(xx'\) và \(yy'.\)

Câu c:

Nếu \(M\) cách đều hai đường thẳng \(xx', yy'\) và \(M\) luôn nằm trong một góc trong bốn góc \(\widehat{xOy}\), \(\widehat{xOy'}\), \(\widehat{x'Oy'}\),  \(\widehat{x'Oy}\) thì \(M\) phải thuộc phân giác của góc ấy tức \(M\) phải thuộc đường thẳng \(Ot\) hoặc đường thẳng \(Ot'\).

Thật vậy:

• M cách đều hai đường thẳng \(xx’\) và \(yy’ \) nên theo định lý 2 ta có:
• Nếu M thuộc miền trong góc \(xOy ⇒ M\) thuộc tia \(Ot.\)
• Nếu M thuộc miền trong góc \(xOy’ ⇒ M\) thuộc tia \(Ot’.\)
• Nếu M thuộc miền trong góc \(y’Ox’ ⇒ M\) thuộc tia đối của tia \(Ot.\)
• Nếu M thuộc miền trong góc \(x’Oy ⇒ M\) thuộc tia đối của tia \(Ot’ .\)

Câu d:

Khi \(M ≡ O\) thì khoảng cách từ \(M\) đến \(xx', yy'\) bằng \(0\). 

Câu e:

Từ các câu trên ta có nhận xét: Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau \(xx', yy'\) thuộc hai đường thẳng vuông góc nhau lần lượt là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó.

Cho góc \(xOy\) khác góc bẹt. Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\), trên tia \(Oy\) lấy hai điểm \(C\) và \(D\) sao cho \(OA = OC, OB = OD.\) Gọi \(I\) là giao điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC.\) Chứng minh rằng:

a) \(BC = AD\)

b) \(IA = IC, IB = ID\)

c) Tia \(OI\) là tia phân giác của góc \(xOy\).

Hướng dẫn giải

Câu a:

Xét \( ∆AOD\) và  \(∆COB\) có: 

\(OA = OC\) (giả thiết)

\(OD = OB\) (giả thiết)

\(\widehat{xOy}\) là góc chung

Vậy \(∆AOD =  ∆COB\) (c.g.c)

Suy ra \(AD = BC\) (hai cạnh tương ứng) (điều phải chứng minh).

Câu b:

Vì \(∆AOD =  ∆COB\) (câu a) nên \(\widehat{D} = \widehat{B}\) và \(\widehat{C_1} = \widehat{A_1}\)

Ta có: \(OA + AB = OB\) \(\Rightarrow AB = OB - OA = OD - OC = CD\)

Hay \(AB=CD\) 

Ta có:  \(\widehat{A_1} + \widehat{A_2} = 180^o\) (\(2\) góc kề bù) 

\(\Rightarrow\) \(\widehat{A_2} = 180^o - \widehat{A_1} = 180^o - \widehat{C_1} =  \widehat{C_2}\)

Xét \(∆AIB\) và  \(∆CID\) ta có:

\(AB = CD\) (chứng minh trên)

\(\widehat{B} = \widehat{D}\) (chứng minh trên)

\(\widehat{A_2} = \widehat{C_2}\) (chứng minh trên)

Vậy \(∆AIB = ∆CID\) (g.c.g)

\(\Rightarrow IC = IA\) và \(ID = IB\) (hai cạnh tương ứng)

Câu c:

Xét \(∆OAI\) và \( ∆OCI\) ta có:

\(OA = OC\) (giả thiết)

\(\widehat{A_1} = \widehat{C_1}\) (chứng minh trên)

\(IA = IC\) (chứng minh trên)

Vậy \( ∆OAI =  ∆OCI\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{AOI} = \widehat{COI}\)

\(\Rightarrow\) \(OI\) là phân giác của \(\widehat{xOy}\).

Có mảnh sắt phẳng hình dạng một góc (h. 34) và một chiếc thước có chia khoảng. Làm thế nào để vẽ được tia phân giác của góc này?

Gợi ý: Áp dụng bài tập \(34.\)

Hướng dẫn giải

- Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường thẳng. (Áp dụng bài 34 ta coi mảnh sắt có hình dạng như góc \(xOy\))

- Trên cạnh thứ nhất lấy hai điểm phân biệt \(A, B\); trên cạnh thứ hai lấy hai điểm \(C, D\) sao cho \(OA = OC\) và \(OB = OD\).

- Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Đường thẳng \(OI\) chính là tia phân giác của góc này.

- Chứng minh tương tự như bài 34 SGK toán 7 

Xét \( ∆AOD\) và  \(∆COB\) có:

\(OA = OC\) (giả thiết)

\(OD = OB\) (giả thiết)

\(\widehat{xOy}\) là góc chung

Vậy \(∆AOD =  ∆COB\) (c.g.c)

 Vì \(∆AOD =  ∆COB\) nên \(\widehat{D} = \widehat{B}\) và \(\widehat{C_1} = \widehat{A_1}\)

Ta có: \(OA + AB = OB\) \(\Rightarrow\) \(AB = OB - OA = OD - OC = CD.\)

Ta có:  \(\widehat{A_1} + \widehat{A_2} = 180^o\) (\(2\) góc kề bù)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{A_2} = 180^o - \widehat{A_1} = 180^o - \widehat{C_1} =  \widehat{C_2}\) 

Xét \(∆AIB\) và  \(∆CID\) ta có:

\(AB = CD\) (chứng minh trên)

\(\widehat{B} = \widehat{D}\) (chứng minh trên)

\(\widehat{A_2} = \widehat{C_2}\) (chứng minh trên)

Vậy \(∆AIB = ∆CID\) (g.c.g)

\(\Rightarrow IC = IA\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(∆OAI\) và \( ∆OCI\) ta có:

\(OA = OC\) (giả thiết)

\(\widehat{A_1} = \widehat{C_1}\) (chứng minh trên)

\(IA = IC\) (chứng minh trên)

Vậy \( ∆OAI =  ∆OCI\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{AOI} = \widehat{COI}\)

\(\Rightarrow\) \(OI\) là phân giác của \(\widehat{xOy}\).