Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Hình $31$ cho biết cách vẽ tia phân giác của góc $xOy$ bằng thước hai lề :

- Áp một lề của thước vào cạnh $Ox$, kẻ đường thẳng $a$ theo lề kia.

- Làm tương tự với cạnh $Oy$, ta kẻ được đường thẳng $b$.

- Gọi $M$ là giao điểm của $a$ và $b$, ta có $OM$ là tia phân giác của góc $xOy$.

Hãy chứng minh tia $OM$ được vẽ như vậy đúng là tia phân giác của góc $xOy.$

(gợi ý: Dựa vào bài tập $12$ chứng minh các khoảng cách từ $M$ đến $Ox$ và đến $Oy$ bằng nhau (do cùng bằng khoảng cách hai lề của chiếc thước) rồi áp dụng định lí 2).

Hướng dẫn giải

Gọi $A, B$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $Ox, Oy$ $\Rightarrow$ $MA, MB$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $Ox, Oy.$ 

Theo cách vẽ bằng thước hai lề và từ bài tập $12$ ta suy ra: $MA = MB$ (cùng bằng khoảng cách hai lề của thước) hay điểm $M$ cách đều hai cạnh của góc $xOy.$

Áp dụng định lí $2$ suy ra $M$ thuộc phân giác của $\widehat{xOy}$ hay $OM$ là phân giác của $\widehat{xOy}$.

Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài  ${B_1}$ và ${C_1}$ (h. 32) nằm trên tia phân giác của góc $A.$

Hướng dẫn giải

Gọi $M$ là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài $B_1$ và $C_1$ của $∆ABC.$

Kẻ $MI  ⊥ AB; MH  ⊥ BC; MK  ⊥ AC$  ($H ∈ BC, I ∈ AB, K ∈ AC$) 

Vì $M$ nằm trên tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh $B$ nên $MH = MI$ (Theo định lí 1)

Vì $M$ nằm trên tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh $C$ nên $MH = MK$ (Theo định lí 1)

$\Rightarrow  MI = MK$ (vì cùng bằng $MH$).

$\Rightarrow$ $M$ thuộc phân giác của góc $\widehat{BAC}$ (Theo định lí 2) 

Cho hai đường thẳng $xx’, yy’$ cắt nhau tại $O$ (h. 33).

a) Chứng minh rằng hai tia phân giác $Ot, Ot’$ của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Chứng minh rằng: Nếu $M$ thuộc đường thẳng $Ot$ hoặc thuộc đường thẳng $Ot’$ thì $M$ cách đều hai đường thẳng $xx’$ và $yy’.$

c) Chứng minh rằng: Nếu $M$ cách đều hai đường thẳng $xx’, yy’$ thì $M$ thuộc đường thẳng $Ot$ hoặc thuộc đường thẳng $Ot’$.

d) Khi $M ≡ O$ thì khoảng cách từ $M$ đến $xx’$ và $yy’$ bằng bao nhiêu ?

e) Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau $xx’, yy’.$

Hướng dẫn giải

Câu a:

Vì $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ 

nên $\widehat{yOt} = \widehat{xOt} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy}$

$Ot'$ là tia phân giác của $\widehat{xOy'}$

nên $\widehat{xOt'} = \widehat{y'Ot'} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy'}$

$\Rightarrow\widehat{xOt} + \widehat{xOt'} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy} + \dfrac{1}{2}\widehat{xOy'}$$\,=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{xOy}+ \widehat{xOy'}\right)$

Mà $\widehat{xOy}$ + $\widehat{xOy'}=  180^o$  ($2$ góc kề bù)

$\Rightarrow$  $\widehat{xOt}$ + $\widehat{xOt'}= \dfrac{1}{2}.{180^o} = {90^o}$

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông.

Câu b:

Nếu $M$ thuộc $Ot$ hoặc $Ot'$ thì $M$ cách đều hai đường thẳng $xx'$ và $yy'.$

Thật vậy, giả sử $M \in  Ot.$

Do $Ot$ là phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $M$ cách đều $Ox, Oy$ (Theo định lí 1)

$\Rightarrow$ $M$ cách đều $xx',yy'$

Nếu $M \in  Ot'$

Do $Ot'$ là phân giác của $\widehat{xOy'}$ nên $M$ cách đều $Ox, Oy'$ (Theo định lí 1)

$\Rightarrow$ $M$ cách đều $xx',yy'$ 

$\Rightarrow$ $M$ thuộc $Ot$ hoặc $Ot'$ thì $M$ cách đều hai đường thẳng $xx'$ và $yy'.$

Câu c:

Nếu $M$ cách đều hai đường thẳng $xx', yy'$ và $M$ luôn nằm trong một góc trong bốn góc $\widehat{xOy}$, $\widehat{xOy'}$, $\widehat{x'Oy'}$,  $\widehat{x'Oy}$ thì $M$ phải thuộc phân giác của góc ấy tức $M$ phải thuộc đường thẳng $Ot$ hoặc đường thẳng $Ot'$.

Thật vậy:

• M cách đều hai đường thẳng $xx’$ và $yy’$ nên theo định lý 2 ta có:
• Nếu M thuộc miền trong góc $xOy ⇒ M$ thuộc tia $Ot.$
• Nếu M thuộc miền trong góc $xOy’ ⇒ M$ thuộc tia $Ot’.$
• Nếu M thuộc miền trong góc $y’Ox’ ⇒ M$ thuộc tia đối của tia $Ot.$
• Nếu M thuộc miền trong góc $x’Oy ⇒ M$ thuộc tia đối của tia $Ot’ .$

Câu d:

Khi $M ≡ O$ thì khoảng cách từ $M$ đến $xx', yy'$ bằng $0$. 

Câu e:

Từ các câu trên ta có nhận xét: Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau $xx', yy'$ thuộc hai đường thẳng vuông góc nhau lần lượt là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó.

Cho góc $xOy$ khác góc bẹt. Trên tia $Ox$ lấy hai điểm $A$ và $B$, trên tia $Oy$ lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $OA = OC, OB = OD.$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC.$ Chứng minh rằng:

a) $BC = AD$

b) $IA = IC, IB = ID$

c) Tia $OI$ là tia phân giác của góc $xOy$.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Xét $∆AOD$ và  $∆COB$ có: 

$OA = OC$ (giả thiết)

$OD = OB$ (giả thiết)

$\widehat{xOy}$ là góc chung

Vậy $∆AOD =  ∆COB$ (c.g.c)

Suy ra $AD = BC$ (hai cạnh tương ứng) (điều phải chứng minh).

Câu b:

Vì $∆AOD =  ∆COB$ (câu a) nên $\widehat{D} = \widehat{B}$ và $\widehat{C_1} = \widehat{A_1}$

Ta có: $OA + AB = OB$ $\Rightarrow AB = OB - OA = OD - OC = CD$

Hay $AB=CD$ 

Ta có:  $\widehat{A_1} + \widehat{A_2} = 180^o$ ($2$ góc kề bù) 

$\Rightarrow$ $\widehat{A_2} = 180^o - \widehat{A_1} = 180^o - \widehat{C_1} =  \widehat{C_2}$

Xét $∆AIB$ và  $∆CID$ ta có:

$AB = CD$ (chứng minh trên)

$\widehat{B} = \widehat{D}$ (chứng minh trên)

$\widehat{A_2} = \widehat{C_2}$ (chứng minh trên)

Vậy $∆AIB = ∆CID$ (g.c.g)

$\Rightarrow IC = IA$ và $ID = IB$ (hai cạnh tương ứng)

Câu c:

Xét $∆OAI$ và $∆OCI$ ta có:

$OA = OC$ (giả thiết)

$\widehat{A_1} = \widehat{C_1}$ (chứng minh trên)

$IA = IC$ (chứng minh trên)

Vậy $∆OAI =  ∆OCI$ (c.g.c)

$\Rightarrow\widehat{AOI} = \widehat{COI}$

$\Rightarrow$ $OI$ là phân giác của $\widehat{xOy}$.

Có mảnh sắt phẳng hình dạng một góc (h. 34) và một chiếc thước có chia khoảng. Làm thế nào để vẽ được tia phân giác của góc này?

Gợi ý: Áp dụng bài tập $34.$

Hướng dẫn giải

- Gọi $O$ là giao điểm của hai đường thẳng. (Áp dụng bài 34 ta coi mảnh sắt có hình dạng như góc $xOy$)

- Trên cạnh thứ nhất lấy hai điểm phân biệt $A, B$; trên cạnh thứ hai lấy hai điểm $C, D$ sao cho $OA = OC$ và $OB = OD$.

- Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Đường thẳng $OI$ chính là tia phân giác của góc này.

- Chứng minh tương tự như bài 34 SGK toán 7 

Xét $∆AOD$ và  $∆COB$ có:

$OA = OC$ (giả thiết)

$OD = OB$ (giả thiết)

$\widehat{xOy}$ là góc chung

Vậy $∆AOD =  ∆COB$ (c.g.c)

 Vì $∆AOD =  ∆COB$ nên $\widehat{D} = \widehat{B}$ và $\widehat{C_1} = \widehat{A_1}$

Ta có: $OA + AB = OB$ $\Rightarrow$ $AB = OB - OA = OD - OC = CD.$

Ta có:  $\widehat{A_1} + \widehat{A_2} = 180^o$ ($2$ góc kề bù)

$\Rightarrow$ $\widehat{A_2} = 180^o - \widehat{A_1} = 180^o - \widehat{C_1} =  \widehat{C_2}$ 

Xét $∆AIB$ và  $∆CID$ ta có:

$AB = CD$ (chứng minh trên)

$\widehat{B} = \widehat{D}$ (chứng minh trên)

$\widehat{A_2} = \widehat{C_2}$ (chứng minh trên)

Vậy $∆AIB = ∆CID$ (g.c.g)

$\Rightarrow IC = IA$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $∆OAI$ và $∆OCI$ ta có:

$OA = OC$ (giả thiết)

$\widehat{A_1} = \widehat{C_1}$ (chứng minh trên)

$IA = IC$ (chứng minh trên)

Vậy $∆OAI =  ∆OCI$ (c.g.c)

$\Rightarrow\widehat{AOI} = \widehat{COI}$

$\Rightarrow$ $OI$ là phân giác của $\widehat{xOy}$.