Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 8: Tính chất đường trung trực của tam giác

Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân.

Hướng dẫn giải

Ta đưa về bài toán: Cho tam giác ABC có AH vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cạnh BC. Chứng minh: Tam giác ABC cân tại A.

Tam giác $ABC$ có $AH$ là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực nên suy ra 

$AH ⊥ BC$ và $HB = HC$.

Xét $\Delta HAB$ và $\Delta HAC$ có:

$HB = HC$ (Chứng minh trên)

$\widehat{H_{1}}=\widehat{H_{2}} = 90^o$

$AH$ là cạnh chung

Vậy $∆HAB = ∆HAC$ (c.g.c)

$\Rightarrow AB = AC$ (Hai cạnh tương ứng)

Vậy $∆ABC$ cân tại $A$ (điều phải chứng minh).

Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng. Phải chọn vị trí của giếng ở  đâu để các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau?

Hướng dẫn giải

Gọi vị trí ba ngôi nhà lần lượt là $A, B, C$ vị trí giếng cần đào là $O$.

Vì điểm $O$ cách đều ba điểm $A, B, C$ nên $O$ là giao của ba đường trung trực của $AB, BC, CA$.

Tuy nhiên để xác định $O$ ta chỉ cần xác định hai trong ba đường trung trực rồi tìm giao điểm vì ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm (Theo định lí ba đường trung trực của tam giác).

Vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau:

a) $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ đều nhọn

b) $\widehat{A} = {90^0}$

c) $\widehat{A} > {90^0}$

Hướng dẫn giải

- Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Để vẽ đường tròn ngoại tiếp ta cần xác định tâm của đường tròn đó.

- Tâm của đường tròn là giao điểm của hai đường trung trực (cũng là giao điểm của ba trung trực cần tìm)

- Để vẽ đường tròn ta làm theo các bước sau:

• Vẽ đường trung trực $d$ của cạnh $BC$.
• Vẽ dường trung trực $d'$ của cạnh $AB$.
• $d$ cắt $d'$ tại $I$ là tâm của đường tròn cần vẽ.
• Vẽ đường tròn tâm $I$ bán kính $IA$ ta được đường tròn cần dựng.

Nhận xét:

- Nếu tam giác có ba góc đều nhọn thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trong tam giác.

- Nếu tam giác có góc vuông thì tâm đường tròn nằm trên cạnh huyền (tâm là trung điểm của cạnh huyền)

- Nếu tam giác có góc tù thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác.

Cho hình $51$:

Chứng minh ba điểm $B, C, D$ thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh $\widehat{ADB}+ \widehat{ADC} = {180^0}$

Hướng dẫn giải

Nối $BD, AD$ và $CD$.

Từ hình vẽ ta có:

$DK$ là đường trung trực của $AC$ suy ra:  $AD = CD$ (theo định lí)    (1)

$DI$ là đường trung trực của $AB$ suy ra:  $BD = AD$ (theo định lí)      (2)

Từ (1) và (2) ta có: $BD = AD = CD$

Xét $ΔADK$ và $ΔCDK$ có:

$AD = CD$ (chứng minh trên)

$DK$ chung

$AK = KC$ (giả thiết)

Vậy $ΔADK = ΔCDK$ (c.c.c)

$\Rightarrow$ $\widehat{ADK}= \widehat{CDK}$ (hai góc tương ứng)

hay $DK$ là tia phân giác của $\widehat{ADC}$

$\Rightarrow$ $\widehat{ADK}= \dfrac{1}{2}\widehat{ADC}$

Xét $∆ADI$ và $∆BDI$ có:

$DI$ chung

$AD=BD$ (chứng minh trên)

$AI=BI$ (giả thiết)

Vậy $∆ADI = ∆BDI$ (c.c.c)

$\Rightarrow$ $\widehat{ADI}= \widehat{BDI}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow$ $DI$ là tia phân giác của $\widehat{ADB}$

$\Rightarrow$ $\widehat{ADI} = \dfrac{1}{2}\widehat{ADB}$

Vì $AC // DI$ ( cùng vuông góc với $AB$) mà $DK ⊥ AC$ 

$\Rightarrow DK ⊥ DI$

hay $\widehat{ADK}$ + $\widehat{ADI} = {90^0}$

Do đó  $\dfrac{1}{2}\widehat{ADC} + \dfrac{1}{2} \widehat{ADB} = {90^0}$

$\Rightarrow\widehat{ADC} + \widehat{ADB}= {180^0}$

Vậy $B, D, C$ thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Sử dụng bài $55$ để chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó.

Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Giả sử $∆ABC$ vuông góc tại $A$. Vẽ hai đường thẳng $d_1,d_2$ lần lượt là các đường trung trực  của hai cạnh góc vuông $AB, AC$ cắt nhau tại $M.$ Ta chứng minh $M$ là trung điểm của $BC.$

Ta có $M$ là giao điểm hai đường trung trực ${d_1},{d_2}$ của $AB, AC$ (theo cách vẽ)

Theo kết quả của bài $55$ suy ra $B, M, C$ thẳng hàng.

Ta có:

$MA = MB$ (vì $M$ thuộc đường trung trực của $AB$)

$MA = MC$ (vì $M$ thuộc đường trung trực của $AC$)

$\Rightarrow MB = MC=MA$

Do $B, M, C$ thẳng hàng và $M$ cách đều $B;C$ nên $M$ là trung điểm của $BC.$

Câu b:

$M$ là trung điểm $BC$  $\Rightarrow MB = \dfrac{1}{2} BC$.

Mà $AM = MB$ nên $MA =\dfrac{1}{2} BC$.

Vậy độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông của một tam giác vuông bằng một nửa độ dài cạnh huyền. 

Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này.

Hướng dẫn giải

Để xác định được bán kính ta cần xác định được tâm của đường tròn chứa chi tiết máy này. Ta xác định tâm như sau:

- Lấy $3$ điểm $A, B, C$ bất kì trên đường viền. Ba điểm này tạo thành tam giác $ABC$. Tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác này chính là tâm và bán kính của đường viền.

- Vẽ trung trực của $2$ cạnh $AB, BC$, chúng cắt nhau tại $O$. Từ tính chất đường trung trực suy ra $OA = OB = OC$.

Do đó $O$ chính là tâm đường tròn đi qua ba điểm $A,B,C$. Khi đó $OA$ hoặc $OB$ hoặc $OC$ chính là bán kính cần xác định.