Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 9: Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Giải thích vì sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn rồi viết chúng dưới dạng đó

\(\dfrac{3}{8}; \dfrac{-7}{5} ; \dfrac{13}{20}; \dfrac{-13}{125}\)

Phương pháp giải

• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác \(2\) và \(5\) thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tốc khác \(2\) và \(5\) thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Hướng dẫn giải

\(8 = 2^{3}\) nên \(8\) không có ước nguyên tố khác \(2\) và \(5\).

\(5=5\), không có ước nguyên tố khác \(2\) và \(5\).

\( 20 = 2^{2}. 5\) nên \(20\) không có ước nguyên tố khác \(2\) và \(5\).

\(125 = 5^{3}\) nên \(125\) không có ước nguyên tố khác \(2\) và \(5\).

Vậy tất cả các mẫu số đều dương và không có ước nguyên tố nào khác \(2\) và \(5\) nên chúng được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Ta được

\(\dfrac{3}{8}= 0,375\);  

\( \dfrac{-7}{5}= -1,4\);  

\(\dfrac{13}{20}= 0,65\);

\(\dfrac{-13}{125}=-0, 104\)

Giải thích vì sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn rồi viết chúng dưới dạng đó

\(\dfrac{1}{6}; \dfrac{-5}{11}; \dfrac{4}{9}; \dfrac{-7}{18}\)

Phương pháp giải

• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác \(2\) và \(5\) thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tốc khác \(2\) và \(5\) thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Hướng dẫn giải

Các phân số đã cho có mẫu dương và các mẫu đó lần lượt là \( 6=2.3;\; 11=11;\; 9=3^2;\; 18 = 2.3^{2}\)

Do đó \(6;11;9;18\) đều có chứa ước nguyên tố khác \(2\) và \(5\) nên các phân số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ta được

\(\dfrac{1}{6} = 0,1(6) ; \dfrac{-5}{11}= -0, (45);\)

\(\dfrac{4}{9} = 0,(4) ;\) \( \dfrac{-7}{18} = -0,3(8)\)

Cho \(A = \dfrac{3}{2. \square}\)

Hãy điền vào dấu hỏi chấm một số nguyên tố có một chữ số để \(A\) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Có thể điền mấy số như vậy?

Phương pháp giải

• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác \(2\) và \(5\) thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tốc khác \(2\) và \(5\) thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Hướng dẫn giải

Các số nguyên tố có một chữ số là: \(2; 3; 5; 7\)

Điền vào ô vuông ta được \(\dfrac{3}{2.2}=\dfrac{3}{4}; \dfrac{3}{2.3}= \dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2.5}=\dfrac{3}{10};\)\(\; \dfrac{3}{2.7}\)

Phân số \(\dfrac{3}{2.7}\) có mẫu là \(2.7\) có chứa ước nguyên tố là \(7\) khác \(2\) và \(5,\) do đó \(\dfrac{3}{2.7}\) viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Xét các mẫu của các phân số còn lại

\(4=2.2\) chỉ có ước nguyên tố là \(2\)

\(2=2\) chỉ có ước nguyên tố là \(2\)

\(10=2.5\) có ước nguyên tố là \(2\) và \(5\)

Do đó các phân số \(\dfrac{3}{2.2}; \dfrac{3}{2.3}; \dfrac{3}{2.5}\) được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn.

\(\left( {\dfrac{3}{{2.2}} = 0,75;\dfrac{3}{{2.3}} = \dfrac{1}{2} = 0,5;\dfrac{3}{{2.5}} = \dfrac{3}{{10}} = 0,3} \right)\)

Vậy có thể điền ba số: \(2, 3, 5\) thỏa mãn đề bài. 

a) Trong các phân số sau đây, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Giải thích.

\(\dfrac{5}{8};\dfrac{{ - 3}}{{20}};\dfrac{4}{{11}};\dfrac{{15}}{{22}};\dfrac{{ - 7}}{{12}};\dfrac{{14}}{{35}}\)

b) Viết các phân số trên dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn (viết gọn với chu kì trong dấu ngoặc).

Phương pháp giải

• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác \(2\) và \(5\) thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tốc khác \(2\) và \(5\) thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Hướng dẫn giải

Câu a: Các phân số \(\dfrac{5}{8};\dfrac{{ - 3}}{{20}};\dfrac{4}{{11}};\dfrac{{15}}{{22}};\dfrac{{ - 7}}{{12}};\dfrac{{14}}{{35}}\) được viết dưới dạng tối giản là:

\(\dfrac{5}{8};\dfrac{{ - 3}}{{20}};\dfrac{4}{{11}};\dfrac{{15}}{{22}};\dfrac{{ - 7}}{{12}};\dfrac{{14}}{{35}} = \dfrac{2}{5}.\)

Lần lượt xét các mẫu

\(8 = 2^3\);                    \(20 = 2^2.5\)               \(11=11\)

\(22 = 2.11\)              \(12 = 2^2.3\)               \(5 = 5\)

Các mẫu không có ước nguyên tố nào khác \(2\) và \(5\) là \(8; 20; 5\) nên các phân số \(\dfrac{5}{8};\dfrac{{ - 3}}{{20}};\dfrac{{14}}{{35}} = \dfrac{2}{5}\) được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Các mẫu có chứa ước nguyên tố khác \(2\) và \(5\) là \(11, 22, 12\) nên các phân số \(\dfrac{4}{{11}};\dfrac{{15}}{{22}};\dfrac{{ - 7}}{{12}}\) được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Câu b: Ta có 

\(\eqalign{
& {5 \over 8} = 0,625 \cr 
& {{ - 3} \over {20}} = - 0,15 \cr 
& {{14} \over {35}} = {2 \over 5} = 0,4 \cr} \)

\(\eqalign{
& {4 \over {11}} = 0,\left( {36} \right) \cr
& {{15} \over {22}} = 0,6\left( {81} \right) \cr
& {{ - 7} \over {12}} = - 0,58\left( 3 \right) \cr} \)

Dùng dấu ngoặc để chỉ rõ chu kì trong thương (viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn) của các phép chia sau

a) \(8,5:3\)

b) \(18,7:6\)

c) \(58: 11\)

d) \(14,2: 3,33\)

Phương pháp giải

Giả sử ta có: \(\dfrac{1}{9} = 0,111... = 0,\left( 1 \right)\); thì \(0,(1)\) là một số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kỳ là \(1.\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \(8,5: 3 = 2, 8(3)\). Nên chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn này là \(3\).

Câu b: \(18,7: 6 = 3,11(6)\). Nên chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn này là \(6\).

Câu c: \(58: 11= 5, (27)\). Nên chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn này là \(27\).

Câu d: \(14,2 : 3,33 = 4, (264)\). Nên chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn này là \(264\).

Viết các số thập phân hữu hạn sau đây dưới dạng phân số tối giản                         

a) \(0,32\)

b) \(-0,124\)

c) \(1,28\)

d) \(-3,12\)

Phương pháp giải

Ta đưa số thập phân đã cho về dạng phân số thập phân sau đó rút gọn phân số về dạng tối giản.

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& a)\,\,0,32 = {{32} \over {100}} = {{8.4} \over {25.4}} = {8 \over {25}} \cr
& b)\,\, - 0,124 = {{ - 124} \over {1000}} = {{ - 31.4} \over {250.4}} = {{ - 31} \over {250}} \cr
& c)\,\,1,28 = {{128} \over {100}} = {{32.4} \over {25.4}} = {{32} \over {25}} \cr
& d)\,\, - 3,12 = {{ - 312} \over {100}} = {{ - 78.4} \over {25.4}} = {{ - 78} \over {25}} \cr} \)

Viết các phân số  \(\dfrac{1}{{99}};\dfrac{1}{{999}}\) dưới dạng số thập phân?

Phương pháp giải

Thực hiện phép chia để tìm dạng thập phân của các phân số đã cho.

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& {1 \over {99}} = 0,(01); \cr
& {1 \over {999}} = 0,(001). \cr} \)

Các số sau đây có bằng nhau không?

\(0, (31)\)  ; \(0,3(13)\)

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất: \(a=b\) nếu \(a-b=0\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(0,(31) = 0,3131313...\)

\(0,3(13)=0,3131313...\)

Nên : \(0,(31) -0,3(13) \)\(= 0,3131313...-0,3131313...=0\)

Vậy \(0, (31)  = 0,3(13)\)