Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 4: Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ nghịch với nhau hay không, nếu:

Phương pháp giải:

Nếu $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì ${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} =  \ldots  = a$. Nên để kiểm tra trong từng bảng hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ nghịch với nhau hay không thì ta tính tích từng cột. Nếu các tích ở tất cả các cột đều giống nhau thì $2$ đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Ta có: $1.120 = 2.60 = 4.30 = 5.24 =8.15 = 120$

Do đó $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Câu b: Vì $2.30 = 3.20 = 4.15 = 6.10 ≠  5.12,5$ nên $x$ và $y$ không tỉ lệ nghịch với nhau.

Cho biết hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau. Điền số thích hợp vào ô trống sau đây:

Phương pháp giải:

$x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} =  \ldots  = a$.

Do đó ta dựa vào cột cuối cùng để tìm được $a$, từ đó ta sẽ tìm được các đại lượng chưa biết ở các cột còn lại.

Hướng dẫn giải:

Theo định nghĩa hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có $xy  = a$ (1) $(a\ne0)$

Thay $x=10,y=1,6$ vào (1) ta được $a= 10.1,6 = 16$.

Suy ra: $xy=16$

Từ đó: $y=\dfrac{16}x$ và $x=\dfrac{16}y$

Khi $x=1$ ta có $y = \dfrac{{16}}{1} = 16$

Khi $y=8$ ta có $x = \dfrac{{16}}{8} = 2$

Khi $y=-4$ ta có $x = \dfrac{{16}}{{ - 4}} =  - 4$

Khi $x=-8$ ta có $y = \dfrac{{16}}{{ - 8}} =  - 2$

Khi $y = {{2\dfrac{2}{3}}}$ thì $x = \dfrac{{16}}{{2\dfrac{2}{3}}} = \dfrac{{16}}{{\dfrac{8}{3}}} = 16.\dfrac{3}{8} = 6$

Điền các giá trị của $y$ và $x$ vừa tìm được vào bảng đã cho:

Cho biết $3$ người làm cỏ một cánh đồng hết $6$ giờ. Hỏi $12$ người (với cùng năng suất như thế) làm cỏ cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian?

Phương pháp giải:

Tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

$\dfrac{x_{1}}{x_{2}}= \dfrac{y_{2}}{y_{1}}; \dfrac{x_{1}}{x_{3}}= \dfrac{y_{3}}{y_{1}}$; ...

Hướng dẫn giải:

Gọi $x$ là số người làm và $y$ là số thời gian (bằng giờ) làm xong. $\left( {x \in \mathbb N^*;y > 0} \right)$

Vì năng suất làm việc của mỗi người là như nhau nên số người tỉ lệ nghịch với thời gian phải làm xong.

Từ đó, ta có: $xy=a$ (1) $\left( {a \ne 0} \right)$ 

Theo đề bài ta có $x=3$ và $y=6$.

Thay $x=3$ và $y=6$ vào (1) ta được $a=x.y=3.6=18$.

Suy ra: $xy=18$

Vậy khi $x=12$ thì $xy=18\Rightarrow y = \dfrac{18}{x} = \dfrac{{18}}{{12}} = 1,5$ (thỏa mãn).

Vậy $12$ người làm cỏ xong cánh đồng đó hết $1,5$ giờ.

Với cùng số tiền để mua $51$ mét vải loại $I$ có thể mua được bao nhiêu mét vải loại $II$, biết rằng giá tiền $1$  mét vải loại $II$ chỉ bằng $85\%$ giá tiền $1$ mét vải loại $I$?

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

Tích của một giá trị bất kì của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng kia luôn là một hằng số (bằng hệ số tỉ lệ).

${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a$

Hướng dẫn giải:

Gọi $x_1;x_2$ lần lượt là giá tiền $1$ mét vải loại $I$, loại $II$ $\left( {{x_1};{x_2} > 0} \right)$

Gọi $y_1;y_2$ lần lượt là số mét vải loại $I$, loại $II$ mua được với cùng một số tiền $\left( {{y_1};{y_2} > 0} \right)$ 

Theo đề bài ta có $y_1=51$ và giá tiền $1$  mét vải loại $II$ chỉ bằng $85\%$ giá tiền $1$ mét vải loại $I$ nên $x_2=85\%.x_1=0,85x_1$

Với cùng một số tiền thì giá tiền 1 mét vải và số vải mua được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo tích chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có:

 ${x_1}.{y_1} = {x_2}.{y_2}$ suy ra ${y_2} = \dfrac{{{x_1}.{y_1}}}{{{x_2} }}$ (*)

Thay $y_1=51$ và $x_2=0,85x_1$ vào (*) ta có: 

${y_2} = \dfrac{{{x_1}.{51}}}{{{0,85.x_1} }}=\dfrac{51}{0,85}=60$

Vậy cùng số tiền để mua $51$ mét vải loại $I$ có thể mua được $60$ mét vải loại $II$.

Đố vui: Trong một cuộc thi chạy tiếp sức $4\times 1 00m$, đội thi gồm voi, sư tử, chó săn và ngựa chạy với vận tốc theo thứ tự tỉ lệ với $1; 1,5; 1,6 ; 2.$

Hỏi đội đó có phá được “kỉ lục thế giới” là $39$ giây không, biết rằng voi chạy hết $12$ giây?

Phương pháp giải:

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

Tích của một giá trị bất kì của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng kia luôn là một hằng số (bằng hệ số tỉ lệ).

${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a$

Hướng dẫn giải:

Gọi vận tốc của voi, sư tử, chó và ngựa lần lượt là ${v_1}$ (m/s), $v_2$ (m/s), $v_3$ (m/s) và $v_4$ (m/s); thời gian chạy tương ứng của chúng lần lượt là $t_1$ (s), $t_2$ (s), $t_3$ (s) và $t_4$ (s)  $\left( {{v_1},{v_2},{v_3},{v_4} > 0;{t_1},{t_2},{t_3},{t_4} > 0} \right)$. 

Thời gian voi chạy hết $12$ giây nên ${t_1} = 12$

Theo đề bài, vì vận tốc của voi, sư tử, chó và ngựa theo thứ tự tỉ lệ với $1; 1,5; 1,6 ; 2.$ ta có:

 $\dfrac{{{v_1}}}{1} = \dfrac{{{v_2}}}{{1,5}} = \dfrac{{{v_3}}}{{1,6}} = \dfrac{{{v_4}}}{2}$

Suy ra ${v_2} = 1,5{v_1};{v_3} = 1,6{v_1}$ và ${v_4} = 2{v_1}$        (1)

Mặt khác cuộc chạy thi trên cùng một quãng đường $100m$ thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:

${v_1}{t_1} = {v_2}{t_2} = {v_3}{t_3} = {v_4}{t_4}$        (2)

Thay các giá trị tính theo $v_1$ của $v_2;v_3;v_4$ vào (2) ta có:

${v_1}{t_1} ={v_2}{t_2}= 1,5{v_1}{t_2}\Rightarrow {t_1} = 1,5{t_2}$

${v_1}{t_1} = {v_3}{t_3}=1,6{v_1}{t_3} \Rightarrow {t_1} = 1,6{t_3}$
${v_1}{t_1} ={v_4}{t_4}= 2{v_1}{t_4} \Rightarrow {t_1} = 2{t_4}$

Vì ${t_1} = 12$ (s) nên ta có:

$\begin{array}{l} {t_2} = \dfrac{{12}}{{1,5}} = 8\,\,(s)\\ {t_3} = \dfrac{{12}}{{1,6}} = 7,5\,\,(s)\\ {t_4} = \dfrac{{12}}{2} = 6\,\,(s) \end{array}$

Tổng thời gian của đội thi chạy là ${t_1} + {t_2} + {t_3} + {t_4} = 12 + 8 + 7,5 + 6$$\,= 33,5\,\,(s)<39\,(s)$

Vậy đội tuyển đó đã phá được “kỉ lục thế giới”.

Ba đội máy san đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong $4$ ngày, đội thứ hai trong $6$ ngày và đội thứ ba trong $8$ ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy (có cùng năng suất), biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai $2$ máy?

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch: 

${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a$

- Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}}$

Hướng dẫn giải:

Gọi số máy của đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba theo thứ tự là ${x_1};{x_2};{x_3}\,\,\left( {{x_1};{x_2};{x_3} \in {\mathbb N^*}} \right)$.

Theo đề bài các máy có cùng năng suất và khối lượng công việc như nhau nên số máy và số ngày để hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Do đó ta có:

$4{x_1} = 6{x_2} = 8{x_3}$

hay $\dfrac{{{x_1}}}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{\dfrac{1}{8}}}$

Đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai $2$ máy nên ta có:   ${{x_1} - {x_2}}=2$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{{{x_1}}}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{{{x_1} - {x_2}}}{{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{2}{{\dfrac{1}{{12}}}} = 24$

$\Rightarrow {x_1} = 24.\dfrac{1}{4} = 6$ (thỏa mãn)

$\Rightarrow {x_2} = 24.\dfrac{1}{6} = 4$ (thỏa mãn)

$\Rightarrow {x_3} = 24.\dfrac{1}{8} = 3$ (thỏa mãn)

Vậy số máy của đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba lần lượt là $6; 4; 3$ (máy).

Một bánh răng cưa có $20$ răng quay một phút được $60$ vòng. Nó khớp với một bánh răng cưa khác có $x$ răng (h.13). Giả sử bánh răng cưa thứ hai quay một phút được $y$ vòng. Hãy biểu diễn $y$ qua $x$.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

$\dfrac{x_{1}}{x_{2}}= \dfrac{y_{2}}{y_{1}}; \dfrac{x_{1}}{x_{3}}= \dfrac{y_{3}}{y_{1}}$; ...

Hướng dẫn giải:

Bánh thứ 1 có $20$ răng quay với vận tốc $60$ vòng/phút.

Bánh thứ 2 có $x$ răng quay với vận tốc $y$ vòng/phút.

Vì số răng cưa và số vòng quay được trong $1$ phút của một bánh răng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có:

$\dfrac{x}{{20}} = \dfrac{{60}}{y}$ hay $xy = 60.20$

$\Rightarrow y = \dfrac{{1200}}{x}$