Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất

Cho hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có kích thước như trong hình \(35.\)

a) \(ΔABC\) và \(ΔA'B'C'\) có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đó.

Phương pháp giải

Bước 1: Tính các tỉ số: \(\dfrac{AB}{A'B'};\dfrac{AC}{A'C'}\) và \(\dfrac {BC}{B'C'}\)

Bước 2: So sánh các tỉ số.

- Nếu \(\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{BC}{B'C'}\) thì hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 

\(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} \\ \Rightarrow \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{3}{2} \\\)

\(\Rightarrow ΔABC \backsim ΔA'B'C'\) (c - c - c)

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{AB + AC + BC}{A'B' + A'C' + B'C'} = \dfrac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}} = \dfrac{3}{2}\)

Tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh là \(AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm\). Tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) và có chu vi bằng \(55 cm\). 

Hãy tính độ dài các cạnh của \(A'B'C'\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac c d=\dfrac e f=\dfrac{a+b+c}{b+d+f}\)

Hướng dẫn giải

\(∆ABC ∽ ∆A'B'C'\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{CA}{C'A'} = \dfrac{AB + BC + CA}{A'B' + B'C' + C'A'} = \dfrac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)

\(Hay \dfrac{3}{A'B'} = \dfrac{7}{B'C'} = \dfrac{5}{C'A'} = \dfrac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}= \dfrac{3 + 5 = 7}{55} = \dfrac{3}{11} \Rightarrow A'B' = 11cm\\ B'C' = \dfrac{7.11}{3}≈ 25.67cm\\ A'C' = \dfrac{5.11}{3}≈ 18,33cm\\\)

Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là \(\dfrac{15}{17}\) và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng của chúng là \(12,5cm.\) Tính hai cạnh đó.

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: Tỉ số hai chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac a b =\dfrac c d =\dfrac {a-c}{b-d}\)

Hướng dẫn giải

Giả sử \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\) và \(AB-A'B'=12,5 cm\).

Vì \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\) (giả thiết) nên ta có: 

\(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}} \)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}} \)\(\,= \dfrac{{A'B' + B'C' + C'A'}}{{AB + BC + CA}}\)\(\, = \dfrac{{{C_{A'B'C'}}}}{{{C_{ABC}}}} = \dfrac{{15}}{{17}}\)

(với \(C_{ABC}\) và \(C_{A'B'C'}\) lần lượt là chu vi của hai tam giác \(ABC, A'B'C'\)) 

Do đó, \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} =\dfrac{{15}}{{17}}\) 

\(\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} =\dfrac{{17}}{{15}}\) 

\(\eqalign{
& \Rightarrow {{AB} \over {A'B'}} - 1 = {{17} \over {15}} - 1 \cr
& \Rightarrow {{AB - A'B'} \over {A'B'}} = {{17 - 15} \over {15}} \cr
& \Rightarrow {{12,5} \over {A'B'}} = {2 \over {15}} \cr} \)

\( \Rightarrow A'B' = \dfrac{{15}}{2}.12,5 = 93,75\,cm\)

Lại có: \(AB - A'B' = 12,5\,cm\)

\(\Rightarrow AB = 12,5 + 93,75 = 106,25\,\,cm.\)