Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:

a) $(x^3 - 7x + 3 - x^2) : (x - 3)$

b) $(2x^4 - 3x^3 - 3x^2 - 2 + 6x) : (x^2 - 2)$

Phương pháp giải

• Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
• Áp dụng qui tắc chia hai đa thức một biến đã sắp xếp.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: ${x^3}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}{\rm{ }}$$= {x^3} - {x^2} - 7x + 3$ 

Thực hiện phép chia

Suy ra: $({x^3}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)$$=x^2+2x-1$. 

Câu b

Ta có: $2{x^4}-{\rm{ }}3{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}6x{\rm{ }}$$= 2{x^4} - 3{x^3} - 3{x^2} + 6x - 2$

Thực hiện phép chia

Suy ra: $(2{x^4}-{\rm{ }}3{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}6x){\rm{ }}:{\rm{ }}({x^2}-{\rm{ }}2)$$= 2{x^3} - 3x + 1$

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

a) $(x^2 + 2xy + y^2) : (x + y)$

b) $(125x^3 + 1) : (5x + 1)$

c) $(x^2 - 2xy + y^2) : (y - x)$

Phương pháp giải

• Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, sau đó thực hiện phép chia.
• Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ

Hướng dẫn giải

Câu a

$({x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}):\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)$

$= {\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)^2}:\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)$

$= x{\rm{ }} + {\rm{ }}y$.

Câu b

$(125{x^3} + {\rm{ }}1){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}$

$= {\rm{ }}[{\left( {5x} \right)^3} + 1^3]{\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)$

$= (5x + 1)[{(5x)^2} - 5x.1 + {1^2}]:(5x + 1)$

$= (5x + 1)(25{x^2} - 5x + 1):(5x + 1)$

$= 25{x^2} - 5x + 1$

Câu c

$({x^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right){\rm{ }}$ 

$= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)^2}:{\rm{ }}\left[ { - \left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)} \right]{\rm{ }}$

$= {\rm{ }} - {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}x$

Cho hai đa thức: $A = 3x^4 + x^3 + 6x - 5$ và $B = x^2 + 1.$ Tìm dư $R$ trong phép chia $A$ cho $B$ rồi viết $A$ dưới dạng $A = B.Q + R$

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc chia hai đa thức một biến đã sắp xếp.

Hướng dẫn giải

Suy ra: $R = 5x - 2;$
$Q = 3x^2 + x - 3$

Vậy $3{x^4} + {x^3} + 6x - 5$$= ({x^2} + 1)(3{x^2} + x - 3) + 5x - 2$

Làm tính chia

a) $(25x^5 – 5x^4 + 10x^2) : 5x^2$

b) $(15x^3y^2- 6x^2y – 3x^2y^2) : 6x^2y$

Phương pháp giải

Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp các hạng tử của đa thức $A$ đều chia hết cho đơn thức $B$), ta chia mỗi hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả với nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

$(25{x^5}-5{x^4} +10{x^2}):5{x^2}$

$= (25{x^5}:5{x^2}) +(-5{x^4}:5{x^2})$$+(10{x^2}:{\rm{ }}5{x^2})$

$= 5x^3– x^2+ 2$

Câu b

$(15{x^3}{y^2}-{\rm{ }}6{x^2}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{x^2}{y^2}){\rm{ }}:{\rm{ }}6{x^2}y$

$= (15{x^3}{y^2}:6{x^2}y) + (-6{x^2}y:6{x^2}y)$$+ (-3{x^2}{y^2}:6{x^2}y)$

$= \dfrac{15}{6}xy - 1 - \dfrac{3}{6}y = \dfrac{5}{2}xy - \dfrac{1}{2}y - 1$. 

Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức $A$ có chia hết cho đa thức $B$ hay không

a) $A = 15x^4 - 8x^3 + x^2$

    $B = \dfrac{1}{2}x^2$

b) $A = x^2 - 2x + 1$

    $B = 1 - x$

Phương pháp giải

Đa thức $A$ chia hết cho đa thức $B$ khi và chỉ khi từng hạng tử của $A$ chia hết cho $B$.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: $A,B$ là các đa thức một biến.

Thực hiện $A$ chia $B$ thì ta lấy từng hạng tử của đa thức $A$ chia cho đa thức $B$.

$15{x^4}$ chia hết cho $\dfrac{1}{2}{x^2}$

$- 8{x^3}$ chia hết cho $\dfrac{1}{2}{x^2}$

${x^2}$ chia hết cho $\dfrac{1}{2}{x^2}$

Do đó $A$ chia hết cho $B$

Câu b

$A = {x^2} - 2x + 1={(1 - x)^2}$

Do đó $A$ chia hết cho $B$

Làm tính chia: $(2x^4 + x^3 - 3x^2 + 5x - 2) : (x^2 - x + 1)$

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc chia hai đa thức một biến đã sắp xếp.

Hướng dẫn giải

Vậy $(2{x^4} + {x^3}-3{x^2} + 5x-2):({x^2}-x + 1)$$= 2{x^2} + 3x - 2$

Tính nhanh

a) $(4x^2 - 9y^2) : (2x - 3y)$

b) $(27x^3 - 1) : (3x -1)$

c) $(8x^3 + 1) : (4x^2 - 2x + 1)$

d) $(x^2 - 3x + xy - 3y) : (x + y)$

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, sau đó thực hiện phép chia.

Hướng dẫn giải

Câu a

$(4{x^2}-{\rm{ }}9{y^2}){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3y} \right)$

$= \left[ {{{(2x)}^2} - {{(3y)}^2}} \right]:(2x - 3y)$

$= (2x - 3y).(2x + 3y):(2x - 3y)$

$= 2x + 3y$

Câu b

$(27{x^3}-{\rm{ }}1){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)$

$=\left[ {{{(3x)}^3} - {1^3}} \right]:(3x - 1)$

$= (3x - 1).\left[ {{{(3x)}^2} + 3x.1 + 1^2} \right]:(3x - 1)$

$= (3x - 1).\left( 9x^2+ 3x + 1\right):(3x - 1)$

$= 9{x^2} + 3x + 1$

Câu c

$(8{x^3} + {\rm{ }}1){\rm{ }}:{\rm{ }}(4{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }}$

$= \left[ {{{(2x)}^3} + {1^3}} \right]:{\rm{ }}(4{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1)$

$= {\rm{ }}\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left[ {{{(2x)}^2} - 2x.1 + 1^2} \right]{\rm{ }}:{\rm{ }}(4{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1)$

$= \left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)(4{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1):(4{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }}$

$= {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1$

Câu d

$({x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}xy{\rm{ }} - 3y){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)$

$\eqalign{ & = \left[ {({x^2} + xy) - (3x + 3y)} \right]:(x + y) \cr  & = \left[ {x(x + y) - 3(x + y)} \right]:(x + y) \cr  & = (x + y)(x - 3):(x + y) \cr  & = x - 3 \cr}$

Tìm số a để đa thức $2x^3 - 3x^2 + x + a$ chia hết cho đa thức $x + 2$

Phương pháp giải

Áp dụng định lí: Một phép chia là phép chia hết thì số dư của phép chia phải bằng $0$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $2{x^3} - 3{x^2} + x + a$$= (2{x^2} - 7x + 15).(x + 2) + a - 30$

Dư trong phép chia là $(a-30)$ nên để phép chia là phép chia hết thì dư của phép chia phải bằng $0$ tức là:

$a-30=0\Rightarrow a=30$ 

Vậy $a = 30$