Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:

a) \((x^3 - 7x + 3 - x^2) : (x - 3) \)

b) \((2x^4 - 3x^3 - 3x^2 - 2 + 6x) : (x^2 - 2)\)

Phương pháp giải

• Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
• Áp dụng qui tắc chia hai đa thức một biến đã sắp xếp.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: \({x^3}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}{\rm{ }}\)\( = {x^3} - {x^2} - 7x + 3\) 

Thực hiện phép chia

Suy ra: \(({x^3}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)\)\(=x^2+2x-1\). 

Câu b

Ta có: \(2{x^4}-{\rm{ }}3{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}6x{\rm{ }}\)\( = 2{x^4} - 3{x^3} - 3{x^2} + 6x - 2\)

Thực hiện phép chia

Suy ra: \((2{x^4}-{\rm{ }}3{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}6x){\rm{ }}:{\rm{ }}({x^2}-{\rm{ }}2)\)\( = 2{x^3} - 3x + 1\)

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

a) \((x^2 + 2xy + y^2) : (x + y)\)

b) \((125x^3 + 1) : (5x + 1)\)

c) \((x^2 - 2xy + y^2) : (y - x)\)

Phương pháp giải

• Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, sau đó thực hiện phép chia.
• Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ

Hướng dẫn giải

Câu a

\(({x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}):\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)\)

\(= {\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)^2}:\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right) \)

\(= x{\rm{ }} + {\rm{ }}y\).

Câu b

\((125{x^3} + {\rm{ }}1){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} \)

\(= {\rm{ }}[{\left( {5x} \right)^3} + 1^3]{\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\)

\( = (5x + 1)[{(5x)^2} - 5x.1 + {1^2}]:(5x + 1)\)

\( = (5x + 1)(25{x^2} - 5x + 1):(5x + 1)\)

\(= 25{x^2} - 5x + 1\)

Câu c

\(({x^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right){\rm{ }}\) 

\(= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)^2}:{\rm{ }}\left[ { - \left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)} \right]{\rm{ }}\)

\(= {\rm{ }} - {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}x\)

Cho hai đa thức: \(A = 3x^4 + x^3 + 6x - 5\) và \(B = x^2 + 1.\) Tìm dư \(R\) trong phép chia \(A\) cho \(B\) rồi viết \(A\) dưới dạng \(A = B.Q + R\)

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc chia hai đa thức một biến đã sắp xếp.

Hướng dẫn giải

Suy ra: \(R = 5x - 2; \)
\(Q = 3x^2 + x - 3\)

Vậy \(  3{x^4} + {x^3} + 6x - 5  \)\(= ({x^2} + 1)(3{x^2} + x - 3) + 5x - 2\)

Làm tính chia

a) \((25x^5 – 5x^4 + 10x^2) : 5x^2 \)

b) \((15x^3y^2- 6x^2y – 3x^2y^2) : 6x^2y\)

Phương pháp giải

Muốn chia đa thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trường hợp các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\)), ta chia mỗi hạng tử của \(A\) cho \(B\) rồi cộng các kết quả với nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

\((25{x^5}-5{x^4} +10{x^2}):5{x^2}\)

\(= (25{x^5}:5{x^2}) +(-5{x^4}:5{x^2}) \)\(+(10{x^2}:{\rm{ }}5{x^2})\)

\(= 5x^3– x^2+ 2\)

Câu b

\((15{x^3}{y^2}-{\rm{ }}6{x^2}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{x^2}{y^2}){\rm{ }}:{\rm{ }}6{x^2}y\)

\( = (15{x^3}{y^2}:6{x^2}y) + (-6{x^2}y:6{x^2}y) \)\(+ (-3{x^2}{y^2}:6{x^2}y)\)

\(= \dfrac{15}{6}xy - 1 - \dfrac{3}{6}y = \dfrac{5}{2}xy - \dfrac{1}{2}y - 1\). 

Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức \(A\) có chia hết cho đa thức \(B\) hay không

a) \(A = 15x^4 - 8x^3 + x^2\)

    \(B = \dfrac{1}{2}x^2\)

b) \(A = x^2 - 2x + 1\)

    \(B = 1 - x\)

Phương pháp giải

Đa thức \(A\) chia hết cho đa thức \(B\) khi và chỉ khi từng hạng tử của \(A\) chia hết cho \(B\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: \(A,B\) là các đa thức một biến.

Thực hiện \(A\) chia \(B\) thì ta lấy từng hạng tử của đa thức \(A\) chia cho đa thức \(B\).

\(15{x^4}\) chia hết cho \( \dfrac{1}{2}{x^2}\)

\(- 8{x^3}\) chia hết cho \( \dfrac{1}{2}{x^2}\)

\({x^2}\) chia hết cho \( \dfrac{1}{2}{x^2}\)

Do đó \(A\) chia hết cho \(B\)

Câu b

\(A = {x^2} - 2x + 1={(1 - x)^2}\)

Do đó \(A\) chia hết cho \(B\)

Làm tính chia: \((2x^4 + x^3 - 3x^2 + 5x - 2) : (x^2 - x + 1)\)

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc chia hai đa thức một biến đã sắp xếp.

Hướng dẫn giải

Vậy \((2{x^4} + {x^3}-3{x^2} + 5x-2):({x^2}-x + 1) \)\(= 2{x^2} + 3x - 2\)

Tính nhanh

a) \((4x^2 - 9y^2) : (2x - 3y) \)

b) \((27x^3 - 1) : (3x -1)\)

c) \((8x^3 + 1) : (4x^2 - 2x + 1)\)

d) \((x^2 - 3x + xy - 3y) : (x + y)\)

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, sau đó thực hiện phép chia.

Hướng dẫn giải

Câu a

\((4{x^2}-{\rm{ }}9{y^2}){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3y} \right) \)

\(= \left[ {{{(2x)}^2} - {{(3y)}^2}} \right]:(2x - 3y)\)

\(= (2x - 3y).(2x + 3y):(2x - 3y) \)

\(= 2x + 3y\)

Câu b

\((27{x^3}-{\rm{ }}1){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right) \)

\(=\left[ {{{(3x)}^3} - {1^3}} \right]:(3x - 1)\)

\(= (3x - 1).\left[ {{{(3x)}^2} + 3x.1 + 1^2} \right]:(3x - 1) \)

\(= (3x - 1).\left( 9x^2+ 3x + 1\right):(3x - 1) \)

\(= 9{x^2} + 3x + 1\)

Câu c

\((8{x^3} + {\rm{ }}1){\rm{ }}:{\rm{ }}(4{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }}\)

\(= \left[ {{{(2x)}^3} + {1^3}} \right]:{\rm{ }}(4{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1)\)

\(= {\rm{ }}\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left[ {{{(2x)}^2} - 2x.1 + 1^2} \right]{\rm{ }}:{\rm{ }}(4{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1)\)

\( = \left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)(4{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1):(4{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }} \)

\(= {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\)

Câu d

\(({x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}xy{\rm{ }} - 3y){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)\)

\(\eqalign{
& = \left[ {({x^2} + xy) - (3x + 3y)} \right]:(x + y) \cr 
& = \left[ {x(x + y) - 3(x + y)} \right]:(x + y) \cr 
& = (x + y)(x - 3):(x + y) \cr 
& = x - 3 \cr}\)

Tìm số a để đa thức \(2x^3 - 3x^2 + x + a\) chia hết cho đa thức \(x + 2\)

Phương pháp giải

Áp dụng định lí: Một phép chia là phép chia hết thì số dư của phép chia phải bằng \(0\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(2{x^3} - 3{x^2} + x + a \)\(= (2{x^2} - 7x + 15).(x + 2) + a - 30\)

Dư trong phép chia là \((a-30)\) nên để phép chia là phép chia hết thì dư của phép chia phải bằng \(0\) tức là:

\(a-30=0\Rightarrow a=30\) 

Vậy \(a = 30\)