Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
Phần hướng dẫn giải bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp sẽ giúp các em có thể phân tích đa thức thành nhân tử nhờ vào cách kết hợp các phương pháp mà các em đã được học và rèn luyện kĩ năng, giải bài tập từ SGK Đại số 8 Tập 1
Mục lục nội dung
1. Giải bài 51 trang 24 SGK Toán 8 tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) \(x^3 - 2x^2 + x\)
b) \(2x^2 + 4x + 2 - 2y^2\)
c) \(2xy - x^2 y^2 + 16\)
Phương pháp giải
- Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức.
- Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ
Hướng dẫn giải
Câu a
\({x^3}-{\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}\)
\(=x.x^2-x.2x+x\)
\(= {\rm{ }}x({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }}\)
\( = x\left( {{x^2} - 2x.1 + {1^2}} \right)\)
\( = {\rm{ }}x{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\)
Câu b
\(2{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}2{y^2} \)
\(={\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2})\)
\(= {\rm{ }}2[({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2}]\)
\(= {\rm{ }}2[{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{y^2}]\)
\( = {\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)\)
Câu c
\(2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}16{\rm{ }} \)
\(= {\rm{ }}16{\rm{ }}-{\rm{ }}({x^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}){\rm{ }}\)
\(= {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)^2}\)
\( = \left[ {4 - \left( {x - y} \right)} \right].\left[ {4 + \left( {x - y} \right)} \right]\)
\(= (4 - x + y)(4 + x - y)\)
2. Giải bài 52 trang 24 SGK Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng \((5n + 2)^2 - 4\) chia hết cho \(5\) với mọi số nguyên \(n.\)
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất chia hết của một tích
Nếu trong một tích các số nguyên có một thừa số chia hết cho một số nào đó thì tích cũng chia hết cho số đó.
Sử dụng: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)
Hướng dẫn giải
Ta có
\({(5n + 2)^2} - 4 \)
\(= {(5n + 2)^2} - {2^2}\)
\(= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)\)
\(= 5n(5n + 4)\)
Mà \(5\) \(\vdots\) \(5\) nên tích \(5n(5n + 4)\) \(\vdots\) \(5\) với \(n\in \mathbb Z\)
Vậy \(5n(5n + 4)\) \(\vdots\) \(5\) với \(n ∈\mathbb Z\).
3. Giải bài 53 trang 24 SGK Toán 8 tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) \(x^2 - 3x + 2\)
(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử \(- 3x = - x - 2x\) thì ta có \(x^2 -3x + 2 = x^2 - x - 2x +2\) và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.
Cũng có thể tách \(2 = - 4 + 6,\) khi đó ta có \(x^2 - 3x + 2 = x^2 - 4 - 3x + 6,\) từ đó dễ dàng phân tích tiếp)
b) \(x^2 + x - 6\)
c) \(x^2 + 5x + 6\)
Phương pháp giải
a) Áp dụng phương pháp: tách, nhóm, đặt nhân tử chung
- Cách 1: Tách \(-3x=-x-2x\)
- Cách 2: Tách \(2=-4+6\)
b) Áp dụng phương pháp: tách, nhóm, đặt nhân tử chung
- Cách 1: Tách \(x=3x-2x\)
- Cách 2: Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)
c) Áp dụng phương pháp: tách, nhóm, đặt nhân tử chung
- Cách 1: Tách \(5x=2x+3x\)
- Cách 2: Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)
Hướng dẫn giải
Câu a
\(x^2– 3x + 2 = x^2- x - 2x + 2 \)
\(= (x^2- x)+( - 2x + 2)\)
\(= (x.x- x)-( 2x - 2)\)
\(= x(x - 1) - 2(x - 1) \)
\(= (x - 1)(x - 2)\)
Cách 2
\(x^2– 3x + 2 = x^2– 3x - 4 + 6\)
\(= (x^2- 4)+( - 3x + 6)\)
\(= (x^2- 2^2)-( 3x - 6)\)
\(= (x - 2)(x + 2) - 3(x -2)\)
\( = (x - 2)(x + 2 - 3)\)
\(= (x - 2)(x - 1)\)
Câu b
\(x^2+ x – 6\)
Tách \(x=3x-2x\) ta được:
\(x^2+ x - 6 = x^2+ 3x - 2x - 6\)
\(= (x^2+ 3x)+( - 2x - 6)\)
\(= (x^2+ 3x)-( 2x + 6)\)
\(= x(x + 3) - 2(x + 3)\)
\(= (x + 3)(x - 2)\).
Cách 2
\(\begin{array}{l}
{x^2} + x - 6\\
= {x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - 6\\
= {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4} - 6\\
= {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{{25}}{4}\\
= {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2}\\
= \left( {x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}} \right)\left( {x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{2}} \right)\\
= \left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)
\end{array}\)
Câu c
\(x^2+ 5x + 6\)
Tách \(5x=2x+3x\) ta được:
\(x^2+ 5x + 6 = x^2+ 2x + 3x + 6\)
\(= (x^2+ 2x )+ (3x + 6)\)
\(= x(x + 2) + 3(x + 2)\)
\(= (x + 2)(x + 3)\)
Cách 2
\(\begin{array}{l}
{x^2} + 5x + 6\\
= {x^2} + 2.x.\dfrac{5}{2} + {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} + 6\\
= {\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right)^2} - \dfrac{{25}}{4} + 6\\
= {\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4}\\
= {\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}\\
= \left( {x + \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {x + \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}} \right)\\
= \left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)
\end{array}\)
4. Giải bài 54 trang 25 SGK Toán 8 tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) \(x^3 + 2x^2y + xy^2 - 9x\)
b) \(2x - 2y - x^2 + 2xy -y^2\)
c) \(x^4 - 2x^2\)
Phương pháp giải
- Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm, hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung.
- Áp dụng hằng đẳng thức đang nhớ
Hướng dẫn giải
Câu a
\({x^3} + {\rm{ }}2{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }}\)
\(= {\rm{ }}x({x^2}{\rm{ }} + 2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}9)\)
\(= {\rm{ }}x[({x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}){\rm{ }}-{\rm{ }}9]\)
\(= {\rm{ }}x[{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)^2}-{\rm{ }}{3^2}]\)
\(= {\rm{ }}x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\)
Câu b
\(2x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }}-{\rm{ }}{y^2}\)
\(= {\rm{ }}\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}({x^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2})\)
\(= {\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)^2}\)
\( = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)\left[ {2{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)} \right]\)
\(= (x -y)(2 - x + y)\)
Câu c
\({x^4}-{\rm{ }}2{x^2} = {\rm{ }}{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) \)
\(= {{\rm{x}}^2}\left( {{x^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right) \)
\(={x^2}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\).
5. Giải bài 55 trang 25 SGK Toán 8 tập 1
Tìm x, biết
a) \(x^3 -\frac{1}{4} x = 0\)
b) \((2x - 1)^2 - (x + 3)^2 = 0\)
c) \(x^2(x - 3) + 12 - 4x = 0\)
Phương pháp giải
Phân tích vế trái thành nhân tử rồi áp dụng tính chất:
\(A.B .C= 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0\\C=0
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
Câu a
Ta có
\(\eqalign{
& {x^3} - {1 \over 4}x = 0 \cr& x\left( {{x^2} - {1 \over 4}} \right) = 0 \cr
& x\left[ {{x^2} - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}} \right] = 0 \cr
& x\left( {x - {1 \over 2}} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0 \cr} \)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x - \dfrac{1}{2} = 0\\
x + \dfrac{1}{2} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \dfrac{1}{2}\\
x = - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\)
Vậy \(x=0,x = \dfrac{1}{2},x = - \dfrac{1}{2}\)
Câu b
\((2x - 1)^2 - (x + 3)^2 = 0\)
\(\Leftrightarrow [(2x - 1) + (x + 3)][(2x - 1) - (x + 3)] = 0\)
\(\Leftrightarrow (2x - 1 + x+ 3)(2x - 1 - x - 3) = 0\)
\(\Leftrightarrow (3x + 2)(x - 4) = 0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{array}{l}3x + 2 = 0 \\ x - 4 = 0\end{array} \right. \\ \\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\dfrac{2}{3} \\ x = 4\end{array} \right.\)
Câu c
Ta có
\(\eqalign{
& {x^2}(x - 3) + 12 - 4x = 0 \cr
& {x^2}(x - 3) + \left( { - 4x + 12} \right) = 0\cr& {x^2}(x - 3) - \left( { 4x -12} \right) = 0\cr&{x^2}(x - 3) - 4(x - 3) = 0 \cr
& (x - 3)({x^2} - 4) = 0 \cr
& (x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ \begin{gathered}x - 3 = 0 \hfill \\x - 2 = 0 \hfill \\x + 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \left[ \matrix{x = 3 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \( x=3,x=2,x=-2\)
6. Giải bài 56 trang 25 SGK Toán 8 tập 1
Tính nhanh giá trị của đa thức:
a) \(x^2 + \frac{1}{2}x+\frac{1}{16}\) tại x = 49,75
b) \(x^2 - y^2 - 2y - 1\) tại x = 93 và y = 6
Phương pháp giải
Phân tích các đa thức đó thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức rồi thay các giá trị tương ứng của \(x, y\) để tính giá trị của đa thức đó.
Hướng dẫn giải
Câu a
\(x^2+ \dfrac{1}{2}x+ \dfrac{1}{16}\) tại \(x = 49,75\)
Ta có: \(x^2+ \dfrac{1}{2}x+ \dfrac{1}{16} \)
\(= x^2+ 2 . x . \dfrac{1}{4} + \left ( \dfrac{1}{4} \right )^{2}\)
\(= \left ( x + \dfrac{1}{4} \right )^{2}\)
Với \(x = 49,75\) ta có: \(\left ( 49,75 + \dfrac{1}{4} \right )^{2}= (49,75 + 0,25)^2\)\(= 50^2= 2500\)
Câu b
\(x^2- y^2- 2y - 1\) tại \(x = 93\) và \(y = 6\)
Ta có: \({x^2}-{\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} \)
\(={x^2}+(-{\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} )\)
\(= {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}({y^2} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1)\)
\(= {\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\)
\( = \left[ {x - \left( {y + 1} \right)} \right].\left[ {x + \left( {y + 1} \right)} \right]\)
\(= {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\)
Với \(x = 93, y = 6\) ta được:
\((93 - 6 - 1)(93 + 6 + 1) = 86 . 100 \)\(= 8600 \)
7. Giải bài 57 trang 25 SGK Toán 8 tập 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) \(x^2 - 4x + 3 \)
b) \(x^2 + 5x + 4\)
c) \(x^2 - x - 6 \)
d) \(x^4 + 4\)
(Gợi ý câu d): Thêm và bớt \(4x^2\) vào đa thức đã cho)
Phương pháp giải
Áp dụng các phương pháp: nhóm, tách, thêm bớt để xuất hiện nhân tử chung.
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\begin{array}{l}
{x^2} - 4x + 3\\
= {x^2} - 4x + 4 - 4 + 3\\
= \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 1\\
= \left( {{x^2} - 2.x.2 + {2^2}} \right) - 1\\
= {\left( {x - 2} \right)^2} - {1^2}\\
= \left( {x - 2 + 1} \right)\left( {x - 2 - 1} \right)\\
= \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)
\end{array}\)
Câu b
\(\eqalign{
& {x^2} + 5x + 4 = {x^2} + 4x + x + 4 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \, = \left( {{x^2} + 4x} \right) + \left( {x + 4} \right)\cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \, = x\left( {x + 4} \right) + \left( {x + 4} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right) \cr} \)
Câu c
\(\eqalign{
& {x^2}-x-6 = {x^2} + 2x-3x-6 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,= \left( {{x^2} + 2x} \right) + \left( { - 3x - 6} \right)\cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\, = x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\, = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) \cr} \)
Câu d
\(\eqalign{
& {x^4} + 4 = {x^4} + 4{x^2} + 4-4{x^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\; = \left( {{x^4} + 4{x^2} + 4} \right) - 4{x^2}\cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\; = \left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 2.{x^2}.2 + {2^2}} \right] - 4{x^2}\,\,\,\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\; = {({x^2} + 2)^2}-{\left( {2x} \right)^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\; = ({x^2} + 2-2x)({x^2} + 2 + 2x) \cr} \)
8. Giải bài 58 trang 25 SGK Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng \(n^3 - n\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n.\)
Phương pháp giải
Phân tích đa thức đã cho thành nhân tử, sau đó áp dụng tính chất: Một số chia hết cho \(2\) và \(3\) thì số đó chia hết cho \(6.\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \({n^3} - n = n({n^2} - 1) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\)
Với \(n ∈\mathbb Z\) thì \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) là tích của ba số nguyên liên tiếp.
Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có ít nhất 1 số chẵn nên \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(2\)
Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 nên \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(3\)
Do đó tích \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho cả \(2\) và \(3\).
Mà \(2\) và \(3\) là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho \(6\) hay \({n^3} - n\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n.\)
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 2: Nhân đa thức với đa thức
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 11: Chia đa thức cho đơn thức
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp