Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) \(x^2 -xy + x - y\)

b) \(xz + yz - 5(x + y)\)

c) \(3x^2 - 3xy - 5x + 5y\)

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

• Cách 1: Nhóm hai hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau

• Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3, nhóm hạng tử thứ 2 và thứ 4

• Hoặc nhóm 2 hạng tử đầu rồi đặt \(z\) ra ngoài để xuất hiện nhân tử chung (x+y)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
&\; {x^2} - xy + x - y \cr 
& = ({x^2} - xy) + \left( {x - y} \right) \cr 
& = x\left( {x - y} \right) + \left( {x - y} \right) \cr 
& = \left( {x - y} \right)\left( {x + 1} \right) \cr} \)

Câu b

\(\eqalign{
& \;xz + yz{\rm{ }} - 5\left( {x + y} \right) \cr 
& = \left( {xz + yz{\rm{ }}} \right) - 5\left( {x + y} \right) \cr 
& = z\left( {x + y} \right) - 5\left( {x + y} \right) \cr 
& = \left( {x + y} \right)\left( {z - 5} \right) \cr} \)

Câu c

\(\eqalign{
& \,\,3{x^2} - 3xy - 5x + 5y \cr 
& = (3{x^2} - 3xy) + \left( { - 5x + 5y} \right) \cr 
& = 3x\left( {x - y} \right) - 5\left( {x - y} \right) \cr 
& = \left( {x - y} \right)\left( {3x - 5} \right) \cr} \)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(x^2 + 4x - y^2 + 4\)

b) \(3x^2 + 6xy + 3y^2- 3z^2\)

c) \(x^2 - 2xy + y^2 - z^2 + 2zt - t^2\)

Phương pháp giải

- Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử và phương pháp dùng hằng đẳng thức.

- Áp dụng các hằng đẳng thức

• \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
• \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
&\; {x^2} + 4x - {y^2} + 4 \cr 
& = ({x^2} + 4x + 4) - {y^2} \cr 
& = \left( {{x^2} + 2.x.2 + {2^2}} \right) - {y^2} \cr 
& = {\left( {x + 2} \right)^2} - {y^2} \cr 
& = \left( {x + 2 - y} \right)\left( {x + 2 + y} \right) \cr} \)

Câu b

\(\eqalign{
& \,\,3{x^2} + 6xy + 3{y^2} - 3{z^2} \cr 
& = 3.\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - {z^2}} \right) \cr 
& = 3.\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - {z^2}} \right] \cr 
& = 3.\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - {z^2}} \right] \cr 
& = 3\left( {x + y - z} \right)\left( {x + y + z} \right) \cr} \)

Câu c

\(\eqalign{
& \,\,{x^2} - 2xy + {y^2} - {z^2} + 2zt - {t^2} \cr 
& = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( { - {z^2} + 2zt - {t^2}} \right) \cr 
& = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - \left( {{z^2} - 2zt + {t^2}} \right) \cr 
& = {\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {z - t} \right)^2} \cr 
& = \left[ {\left( {x - y} \right) - \left( {z - t} \right)} \right].\left[ {\left( {x - y} \right) + \left( {z - t} \right)} \right] \cr 
& = \left( {x - y - z + t} \right)\left( {x - y + z - t} \right) \cr} \)

Tính nhanh

a) \(37,5.6,5 - 7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5\)

b) \(45^2 + 40^2 - 15^2 + 80.45\)

Phương pháp giải

Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhóm và phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{*{20}{l}} {37,5.6,5-7,5.3,4-6,6.7,5 + 3,5.37,5}\\ { = \left( {37,5.6,5 + 3,5.37,5} \right) - \left( {7,5.3,4 + 6,6.7,5} \right)}\\ { = 37,5\left( {6,5 + 3,5} \right) - 7,5\left( {3,4 + 6,6} \right)}\\ { = 37,5.10 - 7,5.10}\\ { = 375 - 75{\rm{ }} = {\rm{ }}300.} \end{array}\)

Câu b

\(\eqalign{
& \,\,{45^2} + {40^2} - {15^2} + 80.45 \cr 
& = \left( {{{45}^2} + 80.45 + {{40}^2}} \right) - {15^2} \cr 
& = \left( {{{45}^2} + 2.45.40 + {{40}^2}} \right) - {15^{2}} \cr 
& = {\left( {45 + 40} \right)^2} - {15^2} = {85^2} - {15^2} \cr 
& = \left( {85 - 15} \right)\left( {85 + 15} \right) \cr 
& = 70.100 = 7000 \cr} \)

Tìm \(x,\) biết

a) \(x(x - 2) + x - 2 = 0\)

b) \(5x(x - 3) - x + 3 = 0\)

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp nhóm để phân tích vế trái thành tích \(A.B = 0\), khi đó hoặc \(A= 0\) hoặc \(B = 0\) (\(A, B\) là các đa thức).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(x(x - 2) + x - 2 = 0\)

\((x - 2)(x + 1) = 0\)

\( \Rightarrow x - 2 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

Với \(x-2=0 \Rightarrow x=2\)

Với \(x+1=0 \Rightarrow x=-1\)

Vậy \(x = -1; x = 2.\)

Câu b

\(5x(x - 3) - x + 3 = 0\)

\(5x(x - 3) - (x - 3) = 0\)

\((x - 3)(5x - 1) = 0\)

\( \Rightarrow x - 3 = 0\) hoặc \(5x - 1 = 0\)

Với \(x-3=0 \Rightarrow x=3\)

Với \(5x-1=0 \Rightarrow 5x=1\) \(\Rightarrow x = \dfrac{1}{5} \)

Vậy \(x = \dfrac{1}{5}; x = 3.\)