Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

Rút gọn các biểu thức sau

a) \((x + 3)(x^2 - 3x + 9) - (54 + x^3)\)

b) \((2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2) - (2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)\)

Phương pháp giải

Áp dụng: Hằng đẳng thức tổng hai lập phương, quy tắc phá dấu ngoặc.

\({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)({A^2} - AB + {B^2})\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
& {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {x + 3} \right)({x^2} - 3x + 9) - (54 + {x^3}) \cr 
& = \left( {x + 3} \right)({x^2} - x.3 + {3^2}) - (54 + {x^3}) \cr 
& = {x^3} + {3^3} - (54 + {x^3}) \cr 
& = {x^3} + 27 - 54 - {x^3} \cr 
& = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {27 - 54} \right) \cr 
& = - 27 \cr} \)

Câu b

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\;\left( {2x + y} \right)\left( {4{x^2}-2xy + {y^2}} \right)-\left( {2x-y} \right)\left( {4{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)}\\ { = \left( {2x + y} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2}-2.x.y + {\rm{ }}{y^2}} \right]-\left( {2x-y} \right){{\left( {2x} \right)}^2}\; + 2.x.y + {y^2}]}\\ { = \left[ {{{\left( {2x} \right)}^{3\;}} + {y^3}} \right] - \left[ {{{\left( {2x} \right)}^{3\;}} - {y^3}} \right]\;}\\ \begin{array}{l} = {\left( {2x} \right)^{3\;}}{\rm{ + }}{y^3} - {\left( {2x} \right)^{3\;}} + {y^3}\\ = 2{y^3}\;{\rm{ }}\; \end{array} \end{array}\)

Chứng minh rằng

a) \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)\)

b) \(a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a -b)\)

Áp dụng: Tính \(a^3 + b^3,\) biết \(a.b = 6\) và \(a + b = -5\)

Phương pháp giải

• Biến đổi vế phải của đẳng thức về vế trái đẳng thức.
• Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ: lập phương của một tổng hoặc một hiệu, tổng (hiệu) hai lập phương, nhân đơn thức với đa thức.

Hướng dẫn giải

Câu a: \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)

Biến đổi vế phải

\(\eqalign{
& {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) \cr
& = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} + \left( { - 3ab} \right).a + \left( { - 3ab} \right).b \cr
& = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} \cr
& = {a^3} + \left( {3{a^2}b - 3{a^2}b} \right) + \left( {3a{b^2} - 3a{b^2}} \right) + {b^3} \cr
& = {a^3} + {b^3} \cr} \)

Vậy \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)

Câu b: \({a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)\)

Biến đổi vế phải

\(\eqalign{
& {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right) \cr
& = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} + 3ab.a + 3ab.\left( { - b} \right) \cr
& = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} + 3{a^2}b - 3a{b^2} \cr
& = {a^3} + \left( {3{a^2}b - 3{a^2}b} \right) + \left( {3a{b^2} - 3a{b^2}} \right) - {b^3} \cr
& = {a^3} - {b^3} \cr} \)

Vậy \({a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)\)

Áp dụng

Với \(ab = 6, a + b = -5\), ta được:

\(\eqalign{
& {a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( { - 5} \right)^3} - 3.6.\left( { - 5} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 125 + 90 = - 35 \cr} \)

Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:

a) \((2x + y)(\Box - \Box - \Box) = 27x^3 + y^3\)

b) \((2x - \Box)(\Box + 10x + \Box) = 8x^3 - 125\)

Phương pháp giải

Áp dụng

• Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)({A^2} - AB + {B^2})\)
• Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)({A^2} + AB + {B^2})\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có

\(\eqalign{
& 27{x^3} + {y^3} \cr 
& = {\left( {3x} \right)^3} + {y^3} \cr 
& = \left( {3x + y} \right)\left[ {{{\left( {3x} \right)}^2} - 3x.y + {y^2}} \right] \cr 
& = \left( {3x + y} \right)(9{x^2} - 3xy + {y^2}) \cr} \)

Suy ra: \(\left( {3x + y} \right)(\)\(9{x^2} - 3xy + {y^2}\)\() = 27{x^3} + {y^3}\)

Câu b

Ta có

\(\eqalign{
& 8{x^3} - 125 \cr 
& = {\left( {2x} \right)^3} - {5^3} \cr 
& = \left( {2x - 5} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.5 + {5^2}} \right] \cr 
& = \left( {2x - 5} \right)(4{x^2} + 10x + 25) \cr} \)

Suy ra: \(( 2x -\)\( 5\)\( )(\)\(4{x^2}\)\( + 10x +\)\( 25\)\() = 8{x^3} - 125\)

Tính

a) \((2 + xy)^2\)

b) \((5 -3x)^2\)

c) \((5 - x^2)(5 + x^2)\)

d) \((5x - 1)^3\)

e) \((2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)\)

f) \((x + 3)(x^2 - 3x + 9)\)

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển biểu thức đó.

• \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
• \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
• \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)
• \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)
• \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)({A^2} + AB + {B^2})\)
• \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)({A^2} - AB + {B^2})\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
& \,\,{\left( {2 + xy} \right)^2} = {2^2} + 2.2.xy + {\left( {xy} \right)^2} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\; = 4 + 4xy + {x^2}{y^{2}} \cr} \)

Câu b

\(\eqalign{
& \,\,{\left( {5 - 3x} \right)^2} = {5^2} - 2.5.3x + {\left( {3x} \right)^2} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\; = 25 - 30x + 9{x^2} \cr} \)

Câu c

\(\eqalign{
& \,\,(5 - {x^2})(5 + {x^2}) = {5^2} - {({x^2})^2} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\; = 25 - {x^4} \cr} \)

Câu d

\(\eqalign{
& \,\,{\left( {5x - 1} \right)^3} = {\left( {5x} \right)^3} - 3.{\left( {5x} \right)^2}.1 + 3.5x{.1^2} - {1^3} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \;= 125{x^3} - 75{x^2} + 15x - 1 \cr} \)

Câu e

\(\eqalign{
& \left( {2x - y} \right)(4{x^2} + 2xy + {y^2}) \cr 
& = \left( {2x - y} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.y + {y^2}} \right] \cr 
& = {\left( {2x} \right)^3} - {y^3} = 8{x^3} - {y^3} \cr} \)

Câu f

\(\eqalign{
& \,\,\,\left( {x + 3} \right)({x^2} - 3x + 9) \cr 
& = \left( {x + 3} \right)({x^2} - x.3 + {3^2}) \cr 
& = {x^3} + {3^3} = {x^3} + 27 \cr} \)

Rút gọn các biểu thức sau

a) \((a + b)^2 - (a - b)^2\)

b) \((a + b)^3 - (a - b)^3 - 2b^3\)

c) \((x + y + z)^2 - 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)^2\)

Phương pháp giải

a) Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển phá ngoặc, sau đó rút gọn các đơn thức đồng dạng.

\(1)\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

\(2)\,{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

\(3)\,{A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)

b) Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển phá ngoặc, sau đó rút gọn các đơn thức đồng dạng.

\(4)\,{\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

\(5)\,{\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) 

\(7)\,{A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)({A^2} + AB + {B^2})\)

c) Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển phá ngoặc, sau đó rút gọn các đơn thức đồng dạng.

\(2)\,{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
& \,\,{\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} \cr 
& = ({a^2} + 2ab + {b^2}) - ({a^2} - 2ab + {b^2}) \cr 
& = {a^2} + 2ab + {b^2} - {a^2} + 2ab - {b^2} \cr 
& = \left( {{a^2} - {a^2}} \right) + 2ab + 2ab + \left( {{b^2} - {b^2}} \right) \cr 
& = 4ab \cr} \)

Cách 2

\(\eqalign{
& {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} \cr 
& = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right].\left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right)} \right] \cr 
& = \left( {a + b + a - b} \right)\left( {a + b - {\rm{ }}a + b} \right) \cr 
& = 2a.2b = 4ab \cr} \)

Câu b

\((a + b)^3 - (a - b)^3 - 2b^3 \)

\(= (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) - 2b^3\)

\(= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 - 2b^3 \)

\(= 6a^2b\)

Hoặc \((a + b)^3 - (a - b)^3 - 2b^3 = [(a + b)^3 - (a - b)^3] - 2b^3\)

\(= [(a + b) - (a - b)][(a + b)^2 + (a + b)(a - b) + (a - b)^2] - 2b^3\)

\(= (a + b - a + b)(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - b^2 + a^2 - 2ab + b^2) - 2b^3\)

\(= 2b.(3a^2 + b^2) - 2b^3 \)

\(= 6a^2b + 2b^3 - 2b^3 \)

\(= 6a^2b\)

Câu c

Ta có: \((x + y + z)^2 - 2(x + y +z)(x + y) + (x + y)^2\)

\(= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz - 2(x^2 + xy + yx + y^2 + zx + zy) + x^2 + 2xy + y^2\)

\(= 2x^2 + 2y^2 + z^2 + 4xy + 2yz + 2xz - 2x^2 - 4xy - 2y^2 - 2xz - 2yz \)

\(= z^2\)

Tính nhanh

a) \(34^2 + 66^2 + 68.66\)

b) \(74^2 + 24^2 – 48.74\)

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức: bình phương của một tổng.

\(1)\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

\(2)\,{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
& \,\,{34^2} + {66^2} + 68.66 \cr 
& = {34^2} + 68.66 + {66^2} \cr 
& = {34^2} + 2.34.66 + {66^2} \cr 
& = {\left( {34 + 66} \right)^2} \cr 
& = {100^2} = 10000 \cr} \)

Câu b

\(\eqalign{
& \,\,{74^2} + {24^2} - 48.74 \cr 
& = {74^2} - 48.74 + {24^2} \cr 
& = {74^2} - 2.74.24 + {24^2} \cr 
& = {\left( {74 - 24} \right)^2} \cr 
& = {50^2} = 2500 \cr} \)

Tính giá trị của biểu thức:

a) \(x^2 + 4x + 4\) tại \(x = 98\)

b) \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1\) tại \(x = 99\)

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để rút gọn biểu thức, sau đó thay giá trị của \(x\) để tính giá trị của biểu thức.

\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

\({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\({x^2} + 4x + 4 \)

\(= {x^2} + 2.x.2 + {2^2} \)

\(= {\left( {x + 2} \right)^2}\)

Với \(x = 98\) ta có: \({\left( {98 + 2} \right)^2} = {100^2} = 10000\).

Câu b

\({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)

\(= {x^3} + 3.{x^2}.1 + 3.x{.1^2} + {1^3}\)

\(= {\left( {x + 1} \right)^{3}}\)

Với \(x = 99\) ta có: \({\left( {99 + 1} \right)^3} = {100^3} = 1000000\).

Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành hai vế của một hằng đẳng thức (theo mẫu)

Phương pháp giải

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. 

\(1)\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

\(2)\,{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

\(3)\,{A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)

\(4)\,{\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

\(5)\,{\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)

\(6)\,{A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)({A^2} - AB + {B^2})\)

\(7)\,{A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)({A^2} + AB + {B^2})\)

Hướng dẫn giải

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \((a - b)^3 = -(b - a)^3\)

b) \((-a - b)^2 = (a + b)^2\)

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: lập phương của một hiệu, sử dụng quy tắc dấu ngoặc, ta biến đổi một vế của đẳng thức thành vế còn lại, ta được điều phải chứng minh.

a) \(5)\,{\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)

b) \(1)\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\({\left( {a - b} \right)^3} =  - {\left( {b - a} \right)^3}\)

Biến đổi vế phải thành vế trái:

\(\eqalign{
& - {\left( {b - a} \right)^3} = - ({b^3} - 3{b^2}a + 3b{a^2} - {a^3}) \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\; = - {b^3} + 3{b^2}a - 3b{a^2} + {a^3} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \;= {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\; = {\left( {a - b} \right)^3} \cr} \)

Vậy \({\left( {a - b} \right)^3} =  - {\left( {b - a} \right)^3}\)

Câu b

\({\left( { - a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\)

Biến đổi vế trái thành vế phải:

\(\eqalign{
& {\left( { - a - b} \right)^2} = {\left[ {\left( { - a} \right) + \left( { - b} \right)} \right]^2} \cr 
& = {\left( { - a} \right)^2} + 2.\left( { - a} \right).\left( { - b} \right) + {\left( { - b} \right)^2} \cr 
& = {a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} \cr} \)

Vậy \({\left( { - a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\)