Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{5y}{7} = \dfrac{20xy}{28x}$

b) $\dfrac{3x(x + 5)}{2(x + 5)} = \dfrac{3x}{2}$

c) $\dfrac{x + 2}{x - 1} = \dfrac{(x + 2)(x + 1)}{x^2 - 1}$

d) $\dfrac{x^2 - x - 2}{x + 1} = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$

e) $\dfrac{x^3 + 8}{x^2 - 2x + 4} = x + 2$

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ nếu $AD = BC$.

Hướng dẫn giải

Câu a

$\left.\begin{matrix} 5y.28x = 140xy\\ 7.20xy = 140xy \end{matrix}\right\}$ $\Rightarrow 5y.28x = 7.20xy$

nên $\dfrac{5y}{7}= \dfrac{20xy}{28x}$

Câu b

Xét tích chéo:

$3x(x + 5).2 = 6x(x + 5)$

$3x.2(x + 5) = 6x(x + 5)$

Suy ra $3x(x + 5).2 = 3x.2(x + 5)$

Do đó $\dfrac{3x(x + 5)}{2(x +5)}= \dfrac{3x}{2}$

Câu c

Xét tích chéo:

$(x + 2)(x^2- 1)$$= (x + 2)(x + 1)(x - 1)$.

Nên $\dfrac{x + 2}{x - 1}= \dfrac{(x + 2)(x + 1)}{x^{2} - 1}$

Câu d

$\begin{array}{l} \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\\ = \left( {{x^2} - 2x + x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\\ = \left[ {x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right)} \right]\left( {x - 1} \right)\\ = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\\ = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - x + 2} \right)\\ = \left( {x + 1} \right)\left[ {x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right]\\ = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)  \end{array}$

$\Rightarrow \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)=$$\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)$

Vậy  $\dfrac{x^{2} - x - 2}{x + 1}= \dfrac{x^{2}- 3x + 2}{x - 1}$

Câu e

Ta có: $\dfrac{x^{3}+ 8 }{x^{2}- 2x + 4}= x + 2$

Suy ra $\dfrac{x^{3}+ 8 }{x^{2}- 2x + 4}= \dfrac{x + 2}1$

Xét tích chéo:

$(x^3+ 8).1 = x^3+ 2^3$$= (x + 2)(x^2– 2x + 4)$

Do đó: $\dfrac{x^{3}+ 8 }{x^{2}- 2x + 4}= x + 2$

Ba phân thức sau có bằng nhau không?

$\dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 + x};\,\dfrac{x - 3}{x};\,\dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - x}$

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: $\dfrac{A}{B} =  \dfrac{C}{D}$ nếu $AD = BC$, ta lần lượt xét từng đôi một.

Hướng dẫn giải

+) So sánh $\dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x}$ và $\dfrac{x - 3}{x}$

Xét các tích chéo, ta có:

*) $\left( {{x^2}-2x-3} \right)x = {x^3}-2{x^2}-3x$

*) $\left( {{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x} \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)$$= {x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }}$$= {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3x$

Nên  $(x^2– 2x – 3)x = ( x^2+ x)(x – 3)$

Do đó: $\dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x} =  \dfrac{x - 3}{x}$ (1)

+) So sánh $\dfrac{x - 3}{x}$ và $\dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}$ 

Xét các tích chéo, ta có: 

*) $\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)({x^2}-{\rm{ }}x){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}$$= {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}3x$

*) $x({x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}3){\rm{ }} = {x^3}-{\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}3x$

Nên $\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)({x^2}-{\rm{ }}x){\rm{ }} = x({x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}3)$

Do đó  $\dfrac{x - 3}{x} =  \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}$ (2)

Vậy từ (1) và (2) ta suy ra: $\dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x} =  \dfrac{x - 3}{x} =  \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}$

Cho ba đa thức: $x^2 - 4x,\, x^2 + 4,\, x^2 + 4x.$ Hãy chọn đa thức thích hợp trong ba đa thức đó rồi điền vào chỗ trống trong đẳng thức dưới đây: $\dfrac{...}{x^2 - 16} = \dfrac{x}{x - 4}$

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Với hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu: $AD = BC.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\dfrac{...}{x^{2}- 16}= \dfrac{x}{x - 4}$

$\Rightarrow \left(  \ldots  \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right) = x({x^2}-{\rm{ }}16)$

$\Rightarrow \left(  \ldots  \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right) = x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}4} \right)$

$\Rightarrow \left(  \ldots  \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)= ({x^2} + {\rm{ }}4x)\left( {x{\rm{ }} - 4} \right)$

$\Rightarrow \left(  \ldots  \right)= {x^2} + {\rm{ }}4x$

Vậy phải điền vào chỗ trống đa thức $x^2+ 4x.$