Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 8: Phép chia các phân thức đại số

Làm tính chia phân thức:

a) \(\left(-\dfrac{20x}{3y^2}\right) : \left(-\dfrac{4x^3}{5y}\right)\)

b) \(\dfrac{4x + 12}{(x + 4)^2}: \dfrac{3(x + 3)}{x + 4}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc chia hai phân thức: 

\( \dfrac{A}{B} :  \dfrac{C}{D}=   \dfrac{A}{B} .  \dfrac{D}{C}\) với \( \dfrac{C}{D} ≠ 0\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\left( { - \dfrac{{20x}}{{3{y^2}}}} \right):\left( { - \dfrac{{4{x^3}}}{{5y}}} \right) \)\(=\left( {  \dfrac{{-20x}}{{3{y^2}}}} \right):\left( {  \dfrac{{-4{x^3}}}{{5y}}} \right)\)

\(=\dfrac{-20x}{3y^{2}}.\dfrac{-5y}{4x^{3}}=\dfrac{(-20x).(-5y)}{3y^{2}.4x^{3}}\)\(=\dfrac{100xy}{12x^3y^2}=\dfrac{25}{3x^{2}y}\)

Câu b

\( \dfrac{4x+12}{(x+4)^{2}}:\dfrac{3(x+3)}{x+4}\) 

\( =\dfrac{4(x+3)}{(x+4)^{2}}.\dfrac{x+4}{3(x+3)}\)

\(=\dfrac{4(x+3).(x+4)}{(x+4)^{2}.3(x+3)}=\dfrac{4}{3(x+4)}\)

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\dfrac{5x - 10}{x^2 + 7}: (2x - 4)\)

b) \((x^2 - 25) : \dfrac{2x + 10}{3x - 7}\)

c) \(\dfrac{x^2 + x}{5x^2 - 10x + 5} : \dfrac{3x + 3}{5x - 5}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc chia hai phân thức: 

\( \dfrac{A}{B} :  \dfrac{C}{D} =   \dfrac{A}{B}.  \dfrac{D}{C}\) với \( \dfrac{C}{D} ≠ 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\( \dfrac{5x-10}{x^{2}+7}: (2x - 4)\)

\( =\dfrac{5x-10}{x^{2}+7}:\dfrac{2x-4}{1}\)

\(=\dfrac{5x-10}{x^{2}+7}.\dfrac{1}{2x-4}\)

\(=\dfrac{5(x-2)}{x^{2}+7}.\dfrac{1}{2(x-2)}\)

\( =\dfrac{5(x-2).1}{(x^{2}+7).2(x-2)}=\dfrac{5}{2(x^{2}+7)}\)

Câu b

\(({x^2} - 25): \dfrac{2x+10}{3x-7}\)

\( =\dfrac{x^{2}-25}{1}:\dfrac{2x+10}{3x-7}\)

\(=\dfrac{x^{2}-25}{1}.\dfrac{3x-7}{2x+10}\)

\(=\dfrac{(x-5)(x+5)}{1}.\dfrac{3x-7}{2(x+5)}\)

\( =\dfrac{(x-5)(x+5)(3x-7)}{2(x+5)}\)

\(=\dfrac{(x-5)(3x-7)}{2}\)

Câu c

\( \dfrac{x^{2}+x}{5x^{2}-10x+5}:\dfrac{3x+3}{5x-5}\)

\(=  \dfrac{x^{2}+x}{5x^{2}-10x+5}.\dfrac{5x-5}{3x+3}\)

\( = \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}.\dfrac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)}}\)

\(=\dfrac{x(x+1).5(x-1)}{5(x-1)^{2}.3(x+1)}=\dfrac{x}{3(x-1)}\)

Tìm biểu thức \(Q\), biết rằng:

\( \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x - 1}}.Q = \dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x}}\)

Phương pháp giải

- Thừa số chưa biết \(=\) Tích : thừa số đã biết.

- Áp dụng quy tắc chia hai phân thức: 

\( \dfrac{A}{B} :  \dfrac{C}{D} =   \dfrac{A}{B}.  \dfrac{D}{C}\) với \( \dfrac{C}{D} ≠ 0\).

Hướng dẫn giải

\(Q\) có vai trò như một thừa số chưa biết nên ta có:

\( \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x - 1}}.Q = \dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x}}\)

\( \Rightarrow  Q =  \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-x} :  \dfrac{x^{2}+2x}{x-1}\)

\(= \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-x}.  \dfrac{x-1}{x^{2}+2x}\)

\( =\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x-1)}.\dfrac{x-1}{x(x+2)}\)

\( =\dfrac{(x-2)(x+2)(x-1)}{x(x-1).x(x+2)}\)

\(=\dfrac{x-2}{x^{2}}\)

Đố: Đố em điền được vào chỗ trống của dãy phép chia dưới đây những phân thức có tử thức bằng mẫu thức cộng với \(1\):

\( \dfrac{x}{x+1}:\dfrac{x+2}{x+1}:\dfrac{x+3}{x+2}:\;...= \dfrac{x}{x+6}\)

Em hãy ra cho bạn một câu đố tương tự, với vế phải của đẳng thức là \( \dfrac{x}{x+n}\), trong đó \(n\) là số tự nhiên lớn hơn \(1\) tuỳ ý em thích

Phương pháp giải

- Áp dụng: Mẫu số của phân số bên trái sẽ giản ước với tử số của phân số bên phải liền sau nó. Cứ làm như vậy cho đến khi mẫu số của phân số cuối cùng bằng với mẫu số của phân số kết quả.

- Áp dụng quy tắc chia hai phân thức.

Hướng dẫn giải

Theo cách thực hiện một dãy phép chia ta có thể viết đẳng thức đã cho thành:

\( \dfrac{x}{x+1}.\dfrac{x+1}{x+2}.\dfrac{x+2}{x+3}.... = \dfrac{x}{x+6}\)

Ta có:

\( \dfrac{x}{x+1}.\dfrac{x+1}{x+2}.\dfrac{x+2}{x+3}.\dfrac{x+3}{x+4}.\dfrac{x+4}{x+5}.\dfrac{x+5}{x+6} = \dfrac{x}{x+6}\)

Vậy ta có thể điền như sau:

\(\dfrac{x}{x +1} : \dfrac{x + 2}{x + 1} : \dfrac{x + 3}{x + 2} : \dfrac{x + 4}{x + 3}: \dfrac{x + 5}{x + 4} : \dfrac{x + 6}{x + 5}= \dfrac{x}{x + 6}\)

Có thể ra câu đố tương tự như sau:

\( \dfrac{x}{x+1}:\dfrac{x+2}{x+1}:\dfrac{x+3}{x+2}:...= \dfrac{x}{x+10}\)

Vậy \(\dfrac{x}{x +1} : \dfrac{x + 2}{x + 1} : \dfrac{x + 3}{x + 2} : \dfrac{x + 4}{x + 3}: \dfrac{x + 5}{x + 4} : \dfrac{x + 6}{x + 5}= \dfrac{x}{x + 6}\)