Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 1: Mở đầu về phương trình

Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem x = -1 có là nghiệm của nó không?

a) \(4x - 1 = 3x - 2\)

b) \(x + 1 = 2(x - 3)\)

c) \(2(x + 1) + 3 = 2 - x\)?

Phương pháp giải

Nếu khi thay \(x = -1\) vào hai vế của phương trình ta được kết quả của hai vế bằng nhau thì \(x = -1\) là nghiệm của phương trình đó. 

Hướng dẫn giải

Câu a

\(4x - 1 = 3x - 2\)

Thay \(x=-1\) vào vế trái và vế phải của phương trình ta được:

Vế trái: \(4x - 1 = 4(-1) - 1 = -5\)

Vế phải: \(3x - 2 = 3(-1) -2 = -5\)

Ta thấy kết quả vế trái bằng vế phải nên \(x = -1\) là nghiệm của phương trình.

Câu b

\(x + 1 = 2(x - 3);\)

Thay \(x=-1\) vào vế trái và vế phải của phương trình ta được:

Vế trái: \(x + 1 = -1 + 1 = 0\)

Vế phải: \(2(x - 3) = 2(-1 - 3) = -8\)

Ta thấy kết quả vế trái khác vế phải nên \(x = -1\) không là nghiệm của phương trình.

Câu c

\(2(x + 1) + 3 = 2 - x\)

Thay \(x=-1\) vào vế trái và vế phải của phương trình ta được:

Vế trái: \(2(x + 1) + 3 = 2(-1 + 1) + 3 = 3\)

Vế phải: \(2 - x = 2 - (-1) = 3\)

Ta thấy kết quả vế trái bằng vế phải nên \(x = -1\) là nghiệm của phương trình.

Trong các giá trị t = -1, t = 0 và t = 1, giá trị nào là nghiệm của phương trình. \((t + 2)^2 = 3t + 4\)

Phương pháp giải

Thay lần lượt các giá trị của \(t\) vào hai vế của phương trình ta được kết quả hai vế bằng nhau thì giá trị đó là nghiệm của phương trình

Hướng dẫn giải

* Với \(t = -1\) ta có:

\(VT = {\left( {t + 2} \right)^2} = {\left( { - 1 + 2} \right)^2} =  1^2 = 1\)

\(VP = 3t + 4 = 3.\left( { - 1} \right) + 4 = 1\)

\( \Rightarrow  VT = VP\) nên \(t = -1\) là nghiệm của phương trình.

* Với \(t = 0\) ta có:

\(VT = {\left( {t + 2} \right)^2} = {\left( {0 + 2} \right)^2} = 2^2 = 4\)

\(VP = 3t + 4 = 3.0 + 4 = 4\)

\( \Rightarrow VT = VP\) nên \(t = 0\) là nghiệm của phương trình.

* Với \(t = 1\) ta có:

\(VT = {\left( {t + 2} \right)^2} = {\left( {1 + 2} \right)^2} =  3^2 = 9\)

\(VP = 3t + 4 = 3.1 + 4 = 7\)

\( \Rightarrow VT \ne VP\) nên \(t = 1\) không là nghiệm của phương trình

Xét phương trình \(x + 1 = 1 + x\). Ta thấy mọi số đều là nghiệm của nó. Người ta còn nói: Phương trình này nghiệm đúng với mọi \(x\). Hãy cho biết tập nghiệm của phương trình đó.

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa: 

- Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn \(x\) thoả mãn phương trình.

- Tập nghiệm của phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đó.

Hướng dẫn giải

Vì phương trình \(x + 1 = 1 + x\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb R\).

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là: \(S = \mathbb R.\)

Nối mỗi phương trình sau với các nghiệm của nó (theo mẫu):

Phương pháp giải

Thay các giá trị của \(x=-1\), \(x=2\) và \(x=3\) vào từng phương trình (a), (b), (c); giá trị nào thỏa mãn phương trình thì là nghiệm của phương trình đó.

Hướng dẫn giải

 *) Xét phương trình \(3(x-1)=2x-1\;\;\;\;\;(1)\)

+) Thay \(x=-1\) vào vế trái và vế phải của phương trình (1) ta được:

\(\eqalign{
& VT = 3.\left( { - 1 - 1} \right) = 3.\left( { - 2} \right) = - 6 \cr
& VP = 2.\left( { - 1} \right) - 1 = - 2 - 1 = - 3 \cr} \)

\( - 6 \ne  - 3 \Rightarrow VT \ne VP\)

Vậy \(x=-1\) không là nghiệm của phương trình (1)

+) Thay \(x=2\) vào vế trái và vế phải của phương trình (1) ta được:

\(\eqalign{
& VT = 3.\left( {2 - 1} \right) = 3.1 = 3 \cr
& VP = 2.2 - 1 = 4 - 1 = 3 \cr} \)

\(3 = 3 \Rightarrow VT = VP\)

Vậy \(x=2\) là nghiệm của phương trình (1)

+) Thay \(x=3\) vào vế trái và vế phải của phương trình (1) ta được:

\(\eqalign{
& VT = 3.\left( {3 - 1} \right) = 3.2 = 6 \cr
& VP = 2.3 - 1 = 6 - 1 = 5 \cr} \)

\(6 \ne 5 \Rightarrow VT \ne VP\)

Vậy \(x=3\) không là nghiệm của phương trình (1)

*) Xét phương trình \(\dfrac{1}{{x + 1}} = 1 - \dfrac{x}{4}\;\;\;\;\;(2)\) 

+) Với \(x=-1\) thì phương trình (2) không xác định nên \(x=-1\) không là nghiệm của phương trình (2)

+) Thay \(x=2\) vào vế trái và vế phải của phương trình (2) ta được:

\(\eqalign{
& VT = {1 \over {2 + 1}} = {1 \over 3} \cr
& VP = 1 - {2 \over 4} = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2} \cr} \)

\(\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{1}{2} \Rightarrow VT \ne VP\)

Vậy \(x=2\) không là nghiệm của phương trình (2)

+) Thay \(x=3\) vào vế trái và vế phải của phương trình (2) ta được:

\(\eqalign{
& VT = {1 \over {3 + 1}} = {1 \over 4} \cr
& VP = 1 - {3 \over 4} = {4 \over 4} - {3 \over 4} = {1 \over 4} \cr} \)

\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow VT = VP\)

Vậy \(x=3\) là nghiệm của phương trình (2)

*) Xét phương trình \({x^2} - 2x - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

+) Thay \(x=-1\) vào vế trái và vế phải của phương trình (3) ta được:

\(\eqalign{
& VT = {\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 1} \right) - 3\cr&\;\;\;\;\;\;\; = 1 + 2 - 3 = 0 \cr
& VP = 0 \cr} \)

\(0 = 0 \Rightarrow VT = VP\)

Vậy \(x=-1\) là nghiệm của phương trình (3)

+) Thay \(x=2\) vào vế trái và vế phải của phương trình (3) ta được:

\(\eqalign{
& VT = {2^2} - 2.2 - 3 = 4 - 4 - 3 = - 3 \cr
& VP = 0 \cr} \)

\( - 3 \ne 0 \Rightarrow VT \ne VP\)

Vậy \(x=2\) không là nghiệm của phương trình (3)

+) Thay \(x=3\) vào vế trái và vế phải của phương trình (3) ta được:

\(\eqalign{
& VT = {3^2} - 2.3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 \cr
& VP = 0 \cr} \)

\(0 = 0 \Rightarrow VT = VP\)

Vậy \(x=3\) là nghiệm của phương trình (3)

Hai phương trình \(x = 0\) và \(x(x - 1) = 0\) có tương đương không? Vì sao?

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa: Hai phương trình tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

Bước 1: Ta tìm tập nghiệm của hai phương trình \(x = 0\) và \(x(x - 1) = 0\) 

Giả sử phương trình \(x = 0\) có tập nghiệm là \(S_1\); phương trình \(x(x - 1) = 0\) có tập nghiệm \(S_2\)

Bước 2: So sánh \(S_1\) và \(S_2\)

Bước 3: Kết luận

- Nếu \(S_1=S_2\) thì hai phương trình tương đương.

- Nếu \(S_1\ne S_2\) thì hai phương trình không tương đương.

Hướng dẫn giải

Phương trình \(x = 0\) có tập nghiệm \({S_1} = {\rm{\{ }}0\} \).

Xét phương trình \(x(x - 1) = 0\).

Ta có một tích bằng \(0\) khi một trong hai thừa số bằng \(0\) tức là:

\(x(x - 1) = 0\) khi \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).

Vậy phương trình \(x(x - 1) = 0\) có tập nghiệm \({S_2} = {\rm{\{ }}0;1\} \)

Vì \({S_1} \ne {S_2}\) nên hai phương trình không tương đương.