Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 10: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Ax bất kì. Trên tia Ax lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE (h.97). Kẻ đoạn thẳng EB. Qua C, D kẻ các đường thẳng song song với EB. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bằng nhau.

Phương pháp giải

Áp dụng định lí

• Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
• Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.

Hướng dẫn giải

Qua \(A\) dựng đường thẳng \(d\) song song với \(CC'\)

Ta có: \(d//EB // DD' // CC'\) và \(AC = CD = DE\) (theo giả thiết).

Theo định lí về các đường thẳng song song cách đều ta suy ra các đường thẳng \(d,EB,DD',CC'\) là các đường thẳng song song cách đều nên nó chắn trên \(AB\) các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau

Hay  \( AC' = C'D' = D'B\)

Vậy đoạn thẳng \(AB\) bị chia thành ba phần bằng nhau.

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và có khoảng cách đến d bằng 2cm lấy điểm B bất kì thuộc đường thằng d. Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B. Khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường nào ?

Phương pháp giải

Áp dụng

• Hai điểm \(A\) và \(A'\) gọi là đối xứng nhau qua điểm \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của \(AA'.\)
• Tính chất: Các điểm cách đường thẳng \(b\) một khoảng bằng \(h\) nằm trên hai đường thẳng song song với \(b\) và cách \(b\) một khoảng bằng \(h.\)

Hướng dẫn giải

Kẻ AH và CK vuông góc với d.

Ta có AB = CB (gt)

 =  ( đối đỉnh)

nên  ∆AHB =  ∆CKB (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra CK = AH = 2cm

Điểm C cách đường thẳng d cố định một khoảng cách không đổi 2cm nên C di chuyển trên đường thẳng m song song với d và cách d một khoảng bằng 2cm.

Ghép mỗi ý (1), (2), (3), (4) với một trong các ý (5), (6), (7), (8) để được một khẳng định đúng:

(1) Tập hợp các điểm cách điểm A cố định một khoảng 3cm

(2) Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng AB cố định

(3) Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc đó

(4) Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng a cố định một khoảng 3cm

(5) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

(6) la hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng 3cm

(7) là đường tròn tâm A bán kính 3cm.

(8) là tia phân giác của góc xOy.

Phương pháp giải

Áp dụng

• Đường tròn là tập hợp các điểm các đều một điểm cố định một khoảng cho trước.
• Các điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
• Tính chất một điểm thuộc tia phân giác của một góc thì cách đều \(2\) cạnh của góc đó.
• Tập hợp các điểm cách một đường thẳng \(a\) cố định một khoảng bằng \(h\) không đổi là hai đường thẳng song song với \(a\) và cách \(a\) một khoảng bằng \(h.\)

Hướng dẫn giải

Ghép các ý

(1) với (7)

(2) với (5)

(3) với (8)

(4) với (6)

Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy sao cho OA = 2cm. Lấy B là một điểm bất kì thuộc tia Ox. Gọi C là trung điểm của AB. KHi điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm C di chuyển trên đường nào?

Phương pháp giải

Áp dụng

• Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
• Tính chất của các điểm cách đều một đoạn thẳng cho trước.

Hướng dẫn giải

Kẻ \(CH ⊥ Ox\), \(E\) là trung điểm của \(OA\).

Vì \(C\) là trung điểm của \(AB\) (giả thiết)

Ta có \(CB = CA\) (tính chất trung điểm)

\(CH // AO\) (cùng vuông góc \(Ox\)) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \) H là trung điểm của OB (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

Mặt khác \(C\) là trung điểm của \(AB\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \) \(CH\) là đường trung bình của tam giác \(ABO\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow \) \(CH = \dfrac{1}{2}AO = \dfrac{1}{2}.2 = 1 (cm)\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Điểm \(C\) cách tia \(Ox\) cố định một khoảng không đổi \(1cm\) nên \(C\) di chuyển trên tia  \(Em\) song song với \(Ox\) nằm trong \(\widehat {xOy}\) và cách \(Ox\) một khoảng bằng \(1cm\).

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là trung điểm của DE.

a) Chứng mình rằng ba điểm A, O, M thằng hàng.

b) Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào?

Phương pháp giải

• Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa độ dài cạnh ấy.
• Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật là tứ giác có ba góc vuông.

Hướng dẫn giải

Câu a

Tứ giác ADME có\(\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

O là trung điểm của đường chéo AM.

Vậy A, O, M thẳng hàng

Câu b

Kẻ AH ⊥ BC. Tương tự như bài 77 ta có hai cách chứng minh như sau:

Vì O là trung điểm của AM nên HO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AM. Do đó OA = OH. Suy ra điểm O di chuyển trên đường trung trực của AH.

Mặt khác vì M di chuyển trên đoạn PQ. Vậy điểm O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của ABC.

Đố. Để vạch một đường thẳng song song với mép gỗ 10cm, bác thợ mộc đặt đoạn bút chì CD dài 10cm vuông góc với ngón tay trỏ lấy làm cữ (h.98), rồi đưa ngón trỏ chạy dọc theo mép gỗ AB. Căn cứ vào kiến thức nào mà ta kết luận được rằng đầu chì C vạch nên đường thẳng song song với AB và cách AB là 10cm ?

Phương pháp giải

Áp dụng: Tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước.

Hướng dẫn giải

Căn cứ vào tính chất đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước ta kết luận là: Vì điểm \(C\) cách mép gỗ \(AB\) một khoảng không đổi bằng \(10\,cm\) nên đầu chì \(C\) vạch nên đường thẳng song song với \(AB\) và cách \(AB\) một khoảng \(10\,cm.\)