Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 4: Diện tích hình thang

Tính diện tích hình thang $ABED$ theo các độ dài đã cho trên hình $140$ và biết diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $828m^2.$

Phương pháp giải

- Diện tích hình thang bằng một nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao.

$S = {1 \over 2}\left( {a + b} \right).h$

- Diện tích hình chữ nhật có hai kích thước $a,\,b$ là $S=ab$.

Hướng dẫn giải

Ta có ${S_{ABC{\rm{D}}}} = AB.A{\rm{D}} = 828{m^2}$

$\Rightarrow AD =\dfrac{828}{AB} =\dfrac{828}{23} = 36 \,(m)$

Do đó diện tích của hình thang $ABED$ là:

${S_{ABED}} = \dfrac{{\left( {AB + DE} \right).AD}}{2}$$\,= \dfrac{{\left( {23 + 31} \right).36}}{2} = 972({m^2})$ 

Vì sao hình chữ nhật $ABCD$ và hình bình hành $ABEF$ (h.$141$) lại có cùng diện tích? Suy ra cách vẽ một hình chữ nhật có cùng diện tích với một hình bình hành cho trước. 

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật $ABCD$ và hình bình hành $ABEF$ có đáy chung là $AB$ và có chiều cao bằng nhau, vậy chúng có diện tích bằng nhau. 

Suy ra cách vẽ một hình chữ nhật có cùng diện tích với một hình bình hành cho trước:

- Lấy một cạnh của hình bình hành $ABEF$ làm một cạnh của hình chữ nhật cần vẽ, chẳng hạn cạnh $AB$.

- Vẽ đường thẳng $EF$.

- Từ $A$ và $B$ vẽ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng $EF$, chúng cắt đường thẳng $EF$ lần lượt tại $D, C$. 

Như vậy, ta được $ABCD$ là hình chữ nhật có cùng diện tích với hình bình hành $ABEF$ đã cho.

Xem hình 142 (IG// FU). Hãy đọc tên một số hình có cùng diện tích với hình bình hành FIGE. 

Phương pháp giải

- Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

$S = ah$

- Diện tích tam giác có cạnh $a$, chiều cao tương ứng $h$ là $S = \dfrac{1}{2}ah$

Hướng dẫn giải

Gọi $h$ là chiều cao từ $I$ đến $FE$ thì $h$ cũng là chiều cao từ $I$ đến $FU$ 

+) Nhận thấy $FIGE, IGRE, IGUR$ là các hình bình hành (do có 1 cặp cạnh song song và bằng nhau)

Nên ta có: 

${S_{FIGE}} =h.FE$, ${S_{IGRE}} =h.RE$, ${S_{IGUR}}=h.RU$ 

Mà $FE = ER = RU$  

Nên ${S_{FIGE}} = {S_{IGRE}} = {S_{IGUR}}$ $( = h. FE)$

+) Ta có $FR= EU=2FE$ nên:

${S_{IFR}}= \dfrac{1}{2}h.FR= \dfrac{1}{2}.h.2.FE = h.FE$

${S_{GEU}} =\dfrac{1}{2}h.EU= \dfrac{1}{2}.h.2.FE = h.FE$

$\Rightarrow {S_{IFR}} = {S_{GEU}} = {S_{FIGE}}$ $(=h.FE)$

 Vậy  ${S_{FIGE}} = {S_{IGRE}} = {S_{IGUR}}$$\, = {S_{IFR}} = {S_{GEU}}$

Khi nối trung điểm của hai đáy hình thang, tại sao ta được hai hình thang có diện tích bằng nhau?

Phương pháp giải

Diện tích hình thang bằng một nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao.

$S = {1 \over 2}\left( {a + b} \right).$

Hướng dẫn giải

Cho  hình thang $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của hay đáy $AB, CD$.

Gọi $h$ là chiều cao của hình thang $AMND$ thì $h$ cũng là chiều cao của hình thang $BMNC$. 

Diện tích hình thang $AMND$ là: $S_{AMND}=\dfrac{1}2.(AM+DN).h$ (1)

Diện tích hình thang $BMNC$ là: $S_{BMNC}=\dfrac{1}2.(BM+NC).h$ (2)

Mà $AM = MB$ (3) (do M là trung điểm AB) và $DN = NC$ (4) (do N là trung điểm của DC) 

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: $S_{AMND}=S_{BMNC}$

Trên hình 143 ta có hình thang ABCD với đường trung bình EF và hình chữ nhật GHIK. Hãy so sánh dện tích hai hình này, từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức diện tích hình thang. 

Phương pháp giải

- Diện tích hình chữ nhật có hai kích thước $a,b$ là $S=ab$

- Diện tích hình thang bằng một nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao.

$S = {1 \over 2}\left( {a + b} \right).h$

Hướng dẫn giải

Ta có hình thang $ABCD$ ($AB// CD$), với đường trung bình $EF$ và hình chữ nhật $GHIK$ như hình vẽ .

Xét hai tam giác vuông: $∆AEG$ và $∆DEK$ có: 

+) $AE = ED$ (do $E$ là trung điểm của $AD$)

+) $\widehat {A{\rm{E}}G} = \widehat {DEK}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow  ∆AEG = ∆DEK$ (cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra ${S_{AEG}}={S_{DEK}}$

Xét hai tam giác vuông: $∆BFH$ và $∆CFI$ có:

+) $BF = FC$ (do $F$ là trung điểm của $BC$)

+) $\widehat {B{\rm{F}}H} = \widehat {CFI}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow ∆BFH = ∆CFI$ (cạnh huyền-góc nhọn) 

$\Rightarrow {S_{BFH}}={S_{CFI}}$

Do đó ${S_{ABCD}} = {S_{AEKIFB}} + {S_{DEK}} + {S_{CFI}}$$\,= {S_{AEKIFB}} + {S_{AEG}} + {S_{BFH}} = {S_{GHIK}}$

Nên:

${S_{ABCD}} = {S_{GHIK}} =GH.HI= EF.HI$ (do $GH=EF$) mà $EF = \dfrac{{AB + CD}}{2}$ (tính chất đường trung bình hình thang ABCD)

Do đó ${S_{ABCD}} = \dfrac{{AB + CD}}{2}.HI$

Gọi $AJ$ là chiều cao của hình thang $ABCD$ thì $AJ=HI,$ từ đó suy ra:

${S_{ABCD}} = \dfrac{{AB + CD}}{2}.AJ$

Vậy ta gặp lại công thức tính diện tích hình thang đã được học nhưng bằng một phương pháp chứng minh khác. Mặt khác, ta phát hiện công thức mới : Diện tích hình thang bằng tích của đường trung bình hình thang với chiều cao.

Xem hình $144.$ Hãy chỉ ra các hình có cùng diện tích (lấy ô vuông làm đơn vị diện tích)

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành, hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Các hình $2,6,9$ có cùng diện tích là $6$ ô vuông.

Các hình $1, 5, 8$ có cùng diện tích là $8$ ô vuông.

Các hình $3,7$ có cùng diện tích là $9$ ô vuông.

Hình $4$ có diện tích là $7$ ô vuông nên không có cùng diện tích với một trong các hình đã cho.