Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a) \(A = 3x + 2 + |5x| \) trong hai trường hợp: \(x ≥ 0\) và \(x < 0\);

b) \(B = |-4x| -2x + 12\) trong hai trường hợp: \(x ≤ 0\) và \(x > 0\);

c) \(C = |x - 4| - 2x + 12 \) khi \(x > 5\);

d) \(D = 3x + 2 + |x + 5| \)

Phương pháp giải

- Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

- Rút gọn các biểu thức đã cho.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(A = 3x + 2 + |5x| \) 

- Khi \(x ≥ 0\) ta có \(5x ≥ 0\) nên \(|5x| =5x\).

Do đó  \(A = 3x + 2 + 5x = 8x + 2  \)  khi \(x ≥ 0\).

- Khi \(x < 0\) ta có \(5x < 0\) nên \(|5x| = -5x\).

Do đó  \(A = 3x + 2 - 5x = -2x + 2  \)  khi \(x <0\).

Vậy \(A = 8x + 2  \) khi \(x ≥ 0\);

\(A = -2x + 2\) khi \(x < 0\).

Câu b

\(B =   |-4x| -2x + 12 \) 

- Khi \(x  \leq 0\) ta có \(-4x \geq 0\) nên \(|-4x| =-4x\).

Do đó  \( B = -4x -2x + 12 = -6x +12  \)  khi \(x\leq  0\).

- Khi \(x > 0\) ta có \(-4x < 0\) nên \(|-4x| = -(-4x) =4x \).

Do đó  \( B = 4x -2x + 12 = 2x +12 \)  khi \(x <0\).

Vậy \(B = -6x + 12  \) khi \(x \leq 0\);

\(B = 2x + 12\) khi \(x < 0\).

Câu c

\(C = |x - 4| - 2x + 12 \) 

Với \(x > 5\) ta có \(x - 4 > 1\)  hay \(x - 4>0\) nên \( |x-4| = x-4\).

Do đó: \(C = x - 4 - 2x + 12 = -x + 8 \).

Vậy với \(x > 5\) thì \(C = -x + 8\).

Câu d

\(D = 3x + 2 + |x + 5| \)

- Khi \(x + 5 ≥ 0\) hay \(x ≥ -5\) ta có \(|x + 5| =x+5 \).

Do đó: \(D= 3x + 2 + x+ 5 =4x+7 \) khi \(x ≥ -5\)

- Khi \(x + 5 < 0\) hay \(x < -5\) ta có \(|x + 5| = -(x+5)  \).

Do đó: \(D= 3x + 2 - (x+5) \) \(=3x+2-x-5=2x-3 \) khi \(x < -5\)

Vậy \(D = 4x + 7\) khi \(x ≥ -5\)

\(D = 2x - 3\) khi \(x < -5\)

Giải các phương trình:

a) \(|2x| = x - 6\)

b) \(|-3x| = x - 8\)

c) \(|4x| = 2x + 12\)

d) \(|-5x| - 16 = 3x\)

Phương pháp giải

Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Giải các phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối

Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét

Bước 4: Kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(|2x| = x - 6\) 

Ta có:  \(|2x| =2x\) khi  \( x ≥ 0\);

\(|2x| =-2x\) khi  \( x < 0\).

- Với \(x ≥ 0\) ta có:  \(|2x| = x - 6 ⇔ 2x = x - 6\) \( ⇔ x = -6 \) 

Giá trị \( x= -6 \) không thoả mãn điều kiện \(x ≥ 0\).

- Với \(x < 0\) ta có:  \(|2x| = x - 6 ⇔ -2x = x - 6 \) \(⇔ -3x = -6 ⇔ x = 2 \) 

Giá trị \( x= 2 \) không thoả mãn điều kiện \(x <0\).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu b

\(|-3x| = x - 8\) 

Ta có:  \(|-3x| =-3x\) khi  \( -3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0\);

\(|-3x| =3x\) khi  \( -3x < 0 ⇔ x > 0\).

- Với \(x ≤ 0\) ta có: 

  \( |-3x| = x - 8  ⇔ -3x = x - 8 \) \(⇔ 4x = 8 ⇔ x = 2\) 

Giá trị \( x=2\) không thoả mãn điều kiện \(x ≤ 0\).

- Với \(x > 0\) ta có: 

\( |-3x| = x - 8  ⇔ 3x = x - 8 \) \(⇔ 2x = -8  ⇔  x = -4 \) 

Giá trị \( x= -4 \) không thoả mãn điều kiện \(x >0\).

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu c

\(|4x| = 2x + 12\)

Ta có:  \(|4x| =4x\) khi  \( x ≥ 0\);

           \(|4x| =-4x\) khi  \( x < 0\).

- Với \(x ≥ 0\) ta có:  \(|4x| = 2x +12 ⇔ 4x = 2x +12\) \(⇔  2x = 12⇔ x = 6 \) 

Giá trị \( x= 6 \)  thoả mãn điều kiện \(x ≥ 0\).

- Với \(x < 0\) ta có:  \(|4x| = 2x +12 ⇔ -4x = 2x +12\) \(⇔  -6x = 12⇔ x = -2\) 

Giá trị \( x= -2 \)  thoả mãn điều kiện \(x <0\).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \( S = \{-2; \; 6\}\).

Câu d

\(|-5x| - 16 = 3x\)

Ta có:  \(|-5x| =-5x\) khi  \( -5x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0\);

\(|-5x| =5x\) khi  \( -5x < 0 ⇔ x > 0\).

- Với \(x ≤ 0\) ta có: 

\( |-5x| - 16 = 3x ⇔ -5x - 16 = 3x\) 

\(  ⇔ 8x = -16 ⇔ x = -2 \) 

Giá trị \( x=-2\) thoả mãn điều kiện \(x ≤ 0\).

- Với \(x > 0\) ta có: 

\( |-5x| - 16 = 3x ⇔ 5x -16 = 3x \)

\(⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8 \) 

Giá trị \( x= 8 \)  thoả mãn điều kiện \(x >0\).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \( S = \{-2; \; 8\}\).

Giải các phương trình:

a) \(|x - 7| = 2x + 3\)                   

b) \(|x + 4| = 2x - 5\)

c) \(|x + 3| = 3x - 1\)                

d) \(|x - 4| + 3x = 5\)

Phương pháp giải

Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 2: Giải các phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét.

Bước 4: Kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(|x - 7| = 2x + 3\)

Ta có: \(|x – 7| = x – 7\) khi \(x – 7 ≥ 0\) hay \(x ≥ 7.\)

\(|x – 7| = -(x – 7) = 7 – x\) khi \(x – 7 < 0\) hay \(x < 7.\)

- Với \(x \geqslant 7\)

\(|x - 7| = 2x + 3 \)

\(⇔ x - 7 = 2x + 3\)

\(\Leftrightarrow -7-3=2x-x\)

\(⇔ x = -10\)  (không thoả mãn điều kiện \(x ≥ 7\)).

- Với \(x<7\)

\(|x - 7| = 2x + 3 \)

\(⇔ -x + 7 = 2x + 3 \) 

\( \Leftrightarrow 7-3=2x+x\)

\(⇔ 3x = 4\)

\(⇔ x = \dfrac{4}{3}\) (thoả mãn điều kiện \(x < 7\))

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  \dfrac{4}{3}\).

Câu b

\(|x + 4| = 2x - 5 \)

Ta có: \(|x + 4| = x + 4 \) khi \(x + 4 ≥ 0\) hay \(x ≥ -4.\)

\(|x + 4| = -(x + 4) = -x – 4\) khi \(x + 4 < 0\) hay \(x < -4.\)

- Với \(x \geqslant  - 4\)

 \(|x + 4| = 2x - 5 \)

\(⇔ x + 4 = 2x - 5\)

\( \Leftrightarrow 4+5=2x-x\)

\(⇔ x  = 9\) ( thoả mãn điều kiện \(x ≥ -4\))

- Với \(x<-4\)

\(|x + 4| = 2x - 5 \)

\(⇔ -x - 4 = 2x - 5 \) 

\( \Leftrightarrow -4+5=2x+x\)

\(⇔ 3x = 1\)

\( ⇔ x =  \dfrac{1}{3}\) (không thoả mãn điều kiện \(x < -4\))

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 9\).

Câu c

\(|x + 3| = 3x - 1 \)

Ta có : \(|x + 3| = x + 3\) khi \(x + 3 ≥ 0\) hay \(x ≥ -3.\)

\(|x + 3| = -(x + 3) = -x – 3\) khi \(x + 3 < 0\) hay \(x < -3.\)

- Với \(x \geqslant  - 3\) ta có:

\(|x + 3| = 3x - 1\)

\(⇔ x + 3 = 3x - 1 \) 

\(\Leftrightarrow x-3x=-1-3\)

\(⇔ -2x = -4\)

\(⇔ x =  2 \) (thoả mãn điều kiện \(x ≥ -3\) )

- Với \(x<-3\) ta có:

\(|x + 3| = 3x - 1 \)

\(⇔ -x - 3 = 3x - 1 \)

\( \Leftrightarrow -x-3x=-1+3\)

\(⇔ -4x = 2 \)

\( ⇔ x =  -\dfrac{1}{2}\) (không thoả mãn điều kiện \(x < -3\))

Vậy phương trình có nghiệm \( x = 2\).

Câu d

\(|x - 4| + 3x = 5\) 

Ta có: \(|x - 4| = x – 4\) nếu \(x-4 \ge 0\) hay \(x ≥ 4\)

\(| x- 4| = - (x – 4) = 4 - x\) nếu \(x - 4 < 0\) hay \(x < 4\)

- Với \(x \geqslant 4\) ta có: 

\(|x - 4| + 3x = 5\)

\(⇔ x - 4 + 3x = 5 \)

\( \Leftrightarrow x + 3x = 5 + 4\)

\(⇔ 4x = 9\)

\(⇔ x =  \dfrac{9}{4}\) (không thoả mãn điều kiện \(x ≥ 4\))

- Với \(x<4\) ta có:

\(|x - 4| + 3x = 5\)

\(⇔ -x + 4 + 3x = 5 \)

\( \Leftrightarrow  - x + 3x = 5 - 4\)

\( ⇔ 2x  = 1 \)

\(  ⇔ x =  \dfrac{1}{2}\)  (thoả mãn điều kiện \(x < 4\))

Vậy phương trình đã cho có nghiệm  \( x  =  \dfrac{1}{2}\).