Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên giấy kẻ ô vuông (h.30, độ dài cạnh ô vuông là 1cm).

Phương pháp giải

• Áp dụng định lý Pi-ta-go.
• Áp dụng tính chất hình thang cân: Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Theo hình vẽ, ta có: \(AB = 2cm, CD = 4cm\). Lấy điểm \(E\) như hình vẽ, \(A{\rm{E}} \bot DC\), \(AE= 3cm, ED = 1cm\)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác \(AED\) vuông tại \(E\) ta được: 

\(AD^2=AE^2+ED^2=3^2+1^2=10.\)

Suy ra  \(AD = \sqrt{10}\;cm\)

\(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD=BC=\sqrt{10}\;cm\) (tính chất hình thang cân)

Vậy \(AB = 2cm,  \, CD = 4cm,\) \(AD = BC =\sqrt{10}cm.\)    

Cho hình thang cân \(ABCD \;( AB // CD, AB < CD).\) Kẻ đường cao \(AE, BF\) của hình thang. Chứng minh rằng \(DE = CF\)

Phương pháp giải

• Tính chất hình thang cân: hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc kề \(1\) đáy bằng nhau.
• Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông bằng nhau: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
• Tính chất hai tam giác bằng nhau: hai cạnh tương ứng bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Vì \(ABCD\) là hình thang cân (giả thiết)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A{\rm{D}} = BC\\
\widehat D = \widehat C
\end{array} \right.\) (tính chất hình thang cân)

Xét hai tam giác vuông \(AED\) và \(BFC\) có

\(AD = BC\) (chứng minh trên)

\(\widehat D = \widehat C\) (chứng minh trên)

Suy ra \( ∆AED =  ∆BFC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra: \(DE = CF\) (\(2\) cạnh tương ứng).

Cho hình thang cân \(ABCD \;(AB // CD)\), \(E\) là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng \(EA = EB, EC = ED\)

Phương pháp giải

• Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau.
• Hai tam giác bằng nhau có các góc tương ứng bằng nhau
• Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc đáy bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Do \(ABCD\) là hình thang cân (giả thiết) nên \(AD = BC, AC = BD\) (tính chất hình thang cân) 

Xét \(\Delta A{\rm{D}}C\) và \(\Delta B{\rm{C}}D\)

\(AD = BC\) (chứng minh trên)

\(AC = BD\) (chứng minh trên)

\(DC\) chung

Suy ra \(∆ADC =  ∆BCD\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat{C_{2}}=\widehat{D_{1}}\) (\(2\) góc tương ứng)

Do đó \(\Delta E{\rm{D}}C\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow EC = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân)

Lại có
\(AC = B{\rm{D}}\left( \text{chứng minh trên} \right)\)
\(EC = E{\rm{D}}\left( \text{chứng minh trên} \right)\)
Trừ vế với vế, ta được \( AC - CE= B{\rm{D}} - DE\)
Hay \( E{\rm{A}} = EB\).

Vậy \(EA = EB, EC = ED.\)

Đố. Trong các tứ giác \(ABCD\) và \(EFGH\) trên giấy kẻ ô vuông (h.\(31\)), tứ giác nào là hình thang cân? Vì sao?

Phương pháp giải

- Để chứng minh một hình thang là hình thang cân, ta sử dụng một trong các cách sau:

• Chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau 
• Chứng minh hai đường chéo bằng nhau

- Định lý Pytago: \(ΔABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(AB^2 + AC^2 = BC^2.\)

Hướng dẫn giải

(Coi mỗi cạnh của 1 ô vuông nhỏ là 1cm) 

Xét tứ giác \(ABCD\)

Nhận thấy \(AB // CD\)

\(⇒\) Tứ giác \(ABCD\) là hình thang.

Lấy thêm điểm \(K\) như hình vẽ, ta có \(AK=4cm, CK=1cm\)

Xét \(ΔACK\) vuông tại \(K\), theo định lý Pytago ta có:

\(AC^2 = AK^2 + KC^2 = 4^2 + 1^2 = 17\)

Tương tự, từ hình vẽ ta có \(BD\) là cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài 2 cạnh góc vuông là 4cm và 1cm.

Theo định lý Pytago ta có: \(BD^2 = 4^2 + 1^2 = 17\)

\(⇒ AC^2 = BD^2\)

\(⇒ AC = BD\)

Vậy hình thang \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC = BD\) nên là hình thang cân.

Xét tứ giác \(EFGH\)

\(FG // EH ⇒\) Tứ giác \(EFGH\) là hình thang.

Lại có: \(EG = 4\,cm\) (hình vẽ)

Vì \(FH\) là cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài 2 cạnh góc vuông là 2cm và 2cm (hình vẽ) nên theo định lý Pytago ta có:

\(FH^2 = 2^2 + 3^2 = 13 \)

\(⇒ FH =\sqrt {13} ≠ EG\)

Vậy hình thang \(EFGH\) có hai đường chéo không bằng nhau nên không phải hình thang cân.

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\) Trên các cạnh bên \(AB, AC\) lấy theo thứ tự các điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(AD = AE.\)

a) Chứng minh rằng \(BDEC\) là hình thang cân

b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng \(\widehat{A}=50^o\)

Phương pháp giải

• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
• Hình thang cân là hình thang có hai góc kề với một đáy bằng nhau.
• Định lí tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^o\).
• Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc đáy bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có \(AD =  AE\) (giả thiết) nên  \(∆ADE\) cân (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

 \( \Rightarrow \widehat{D_{1}}\) = \(\widehat{E_{1}}\) (tính chất tam giác cân)

Xét \(∆ADE\) có:  \(\widehat {{D_1}} + \widehat {{E_1}} + \widehat A = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\widehat {{D_1}} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {{D_1}} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 1 \right)
\end{array}\)

Vì \(∆ABC\) cân tại \(A\) (gt) \(\Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)

Mà: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {2B} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{D_{1}}\) = \(\widehat{B}\), mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra \(DE // BC\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Do đó \(BDEC\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).

Lại có \(\widehat{B} = \widehat{C}\) ( chứng minh trên )

Nên \(BDEC\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).

Câu b: Với \(\widehat{A}=50^o\)

Ta được \(\widehat{B} = \widehat{C} = \dfrac{180^{0}-\widehat{A}}{2} \)\(\,= \dfrac{180^{0}-50^{0}}{2} = 65^o\)

\(\widehat {{D_2}} + \widehat B = {180^0}\) (2 góc trong cùng phía bù nhau)

\(\Rightarrow \widehat {{D_2}} = {180^0} - \widehat B = {180^0} - {65^0} \)\(= {115^0}\)

Mà \(BDEC\) là hình thang cân (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {{E_2}}= {115^0}\) (tính chất hình thang cân)

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Phương pháp giải

• Hai tam giác bằng nhau có các cạnh tương ứng bằng nhau.
• Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đáy bằng nhau.
• Hai đường thẳng song song khi có cặp góc đồng vị bằng nhau. 
• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
• Hình thang cân là hình thang có hai góc kề với một đáy bằng nhau.

Hướng dẫn giải

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = AC\\
\widehat {ABC} = \widehat {ACB}
\end{array} \right.\)  (tính chất tam giác cân)

Vì \(BD, CE\) lần lượt là phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) (giả thiết) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\\
\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}
\end{array} \right.\) (tính chất tia phân giác)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)

 Xét \(∆ABD\) và  \(∆ACE\) có

\(AB = AC\) (chứng minh trên)

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE{\rm{ }}\left( {g.c.g} \right) \)

\(\Rightarrow A{\rm{D}} = A{\rm{E}}\) (\(2\) cạnh tương ứng).

Ta có \(AD =  AE\) (chứng minh trên) nên  \(∆ADE\) cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {AD{\rm{E}}}\) (tính chất tam giác cân)

Xét \(∆ADE\) có:  \(\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {AD{\rm{E}}} + \widehat A = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {A{\rm{ED}}} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 1 \right)
\end{array}\)

Xét \(∆ABC\) có: \(\widehat A +\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {2ABC} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {ABC}= \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{A{\rm{ED}}}\) = \(\widehat{ABC}\), mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra \(DE // BC\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Do đó \(BEDC\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).

Lại có \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\)  (chứng minh trên)

Nên \(BEDC\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

Ta có

\(DE//BC \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{B_2}}\) (so le trong)

Lại có \(\widehat{B_{2}}\) = \(\widehat{B_{1}}\) (chứng minh trên) nên \(\widehat{B_{1}}\) = \(\widehat{{D_{1}}}\)

\( \Rightarrow \Delta EB{\rm{D}}\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow EB = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân).

Vậy \(BEDC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Hình thang \(ABCD\; (AB // CD)\) có \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\). Chứng minh rằng \(ABCD\) là hình thang cân.

Phương pháp giải

• Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc đáy bằng nhau.
• Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Hướng dẫn giải

Gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)

Xét \(∆ECD\) có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (giả thiết)

\(\Rightarrow \Delta EC{\rm{D}}\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

\( \Rightarrow EC = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân)   (1)

Ta có

\({\rm{AB//DC}}\left( \text{giả thiết} \right) \)\(\;\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {{C_1}}\\
\widehat {AB{\rm{E}}} = \widehat {{D_1}}
\end{array} \right.\left( \text{so le trong} \right)\)

Mà: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\left( \text{giả thiết} \right) \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {AB{\rm{E}}}\) \( \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow AE = BE\) (tính chất tam giác cân)   (2)

Lại có

\(\left\{ \begin{array}{l}
AC = A{\rm{E}} + EC\\
B{\rm{D}} = BE + DE
\end{array} \right.\;\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AC = BD.\)

Suy ra hình thang \(ABCD\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang).

Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang \(ABCD\) \(\left( {AB//C{\rm{D}}} \right)\) có \(AC = BD.\)

Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\), cắt đường thẳng \(DC\) tại \(E.\) Chứng mình rằng:

a) \(∆BDE\) là tam giác cân

b) \(∆ACD = ∆BDC\)

c) Hình thang \(ABCD\) là hình thang cân

Phương pháp giải

Áp dụng

• Hình thang cân là hình thang có hai góc kề với một đáy bằng nhau.
• Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc đáy bằng nhau.
• Nhận xét: Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a: \(E\) thuộc đường thẳng \(DC\) nên \(CE // AB.\)

Hình thang \(ABEC\; (AB // CE)\) có hai cạnh bên \(AC, BE\) song song (giả thiết) \( \Rightarrow AC = BE\)  (1)  (nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau )

Lại có: \(AC = BD\) (giả thiết)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BE = BD\) \( \Rightarrow \Delta BED\) cân tại \(B\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Câu b: Ta có \(AC{\rm{ }}//{\rm{ }}BE \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat E\) (2 góc đồng vị) (3)

\(∆BDE\) cân tại \(B\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat E\) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)

Xét \(∆ACD\) và \( ∆BDC\) có:

\(AC = BD\) (giả thiết)

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (chứng minh trên)

\(CD\) chung

Suy ra \(∆ACD = ∆BDC\) (c.g.c)

Câu c: Ta có: \(∆ACD = ∆BDC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BCD}\) (\(2\) góc tương ứng)

Hình thang \(ABCD\) có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

Đố. Cho ba điểm \(A, D, K\) trên giấy kẻ ô vuông (h.\(32\)). Hãy tìm điểm thứ tư \(M\) là giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình thang cân

.

Phương pháp giải

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

Hướng dẫn giải

Có thể tìm được hai điểm \(M\) là giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho \(A, D, K\) là bốn đỉnh của một hình thang cân. Đó là hình thang \(AKD{M_1}\) (với \(AK; M_1D\) là hai đáy) và hình thang \(ADK{M_2}\) (với \(DK;AM_2\) là hai đáy).