Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 6: Đối xứng trục

Vẽ hình đối xứng với cá hình đã cho qua trục d (h.58)

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Hướng dẫn giải

Vẽ hình đối xứng với hình đã cho qua trục d ta được hình bên

Cho góc $xOy$ có số đo ${50^o}$, điểm $A$ nằm trong góc đó. Vẽ điểm $B$ đối xứng với $A$ qua $Ox$, vẽ điểm $C$ đối xứng với $A$ qua $Oy.$

a) So sánh các độ dài $OB$ và $OC$

b) Tính số đo góc $BOC$

Phương pháp giải

Áp dụng

• Hai điểm $A$ và $A'$ gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của $AA'$
• Trong tam giác cân đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác.

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì $B$ đối xứng với $A$ qua $Ox$ (giả thiết)

$\Rightarrow  Ox$ là đường trung trực của $AB$

$\Rightarrow   OA = OB$ (tính chất đường trung trực)  (1)

Vì $C$ đối xứng với $A$ qua $Oy$ $\Rightarrow  Oy$ là đường trung trực của $AC$

$\Rightarrow  OA = OC$ (tính chất đường trung trực)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OB = OC.$

Câu b: Vì $OA = OB$ (chứng minh trên) $\Rightarrow ∆AOB$ cân tại $O$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Trong tam giác cân đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác nên $Ox$ là phân giác của $\widehat {AOB}$.

$\Rightarrow  \widehat{O_{1}}= \widehat{O_{2}}= \dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$ 

Lại có $∆AOC$ cân tại $O$ (vì $OA = OC$)

Trong tam giác cân đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác nên $Oy$ là phân giác của $\widehat {AOC}$.

$\Rightarrow \widehat{O_{3}}= \widehat{O_{4}}= \dfrac{1}{2}\widehat{AOC}$

Do đó

(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}=\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{3}}+\widehat{O_{4}}\)$=\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{3}}+\widehat{O_{3}}$$=2.\widehat{O_{1}}+2.\widehat{O_{3}}= 2(\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{3}})$$= 2\widehat{xOy}$$= {2.50^o}$$={100^o}$

Vậy $\widehat{BOC}={100^o}$

Tìm các hình có trục đối xứng trên hình 59

Phương pháp giải

Đường thẳng $d$ gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $H$ qua đường thẳng $d$ cũng thuộc hình $H.$

Hướng dẫn giải

Các hình có trục đối xứng là hình: $a, b, c, d, e, g, i$

Hình $h$ không có trục đối xứng

Hình có một trục đối xứng là: $b, c, d, e, i$

Hình có hai trục đối xứng là: $a$

Hình có năm trục đối xứng là: $g$

Thực hành. Cắt một tấm bìa hình tam giác cân, một tấm bìa hình thang cân. Hãy cho biết đường nào là trục đối xứng của mỗi hình, sau đó gấp mỗi tấm bìa để kiểm tra lại điều đó.

Phương pháp giải

Áp dụng các định lí sau

• $∆ABC$ cân tại $A$ có trục đối xứng là đường phân giác của góc $BAC.$
• Hình thang cân nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy làm trục đối xứng.

Hướng dẫn giải

Đối với tam giác cân hình $38a$

$∆ABC$ cân tại $A$, trục đối xứng là đường cao $AH$ với $H$ là trung điểm của đoạn $BC$ (đường này đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường trung tuyến)

Đối với hình thang cân hình $38b$

Hình thang cân $ABCD \;(AB // CD)$, trục đối xứng là đường thẳng $KH$ với $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$

a) Cho hai điểm $A, B$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $d$ (h.$60$). Gọi $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d.$ Gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đoạn thẳng $BC.$ Gọi $E$ là điểm bất kì của đường thẳng $d$ ($E$ khác $D$)

Chứng minh rằng $AD + DB < AE + EB$

b) Bạn Tú đang ở vị trí $A$, cần đến bờ sông $d$ lấy nước rồi đi đến vị trí $B$ (h.$60$). Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường nào?

Phương pháp giải

• Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
• Điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút đoạn thẳng đó.
• Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Hướng dẫn giải

Câu a: Điểm $C$ đối xứng với $A$ qua đường thẳng $d$ nên $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AC$.

$D; E$ thuộc $d$ nên $AD = CD; AE = CE$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Ta có $AD + DB = CD  + DB = CB$     (1)                         

$AE + EB = CE + EB$         (2)

Xét $\Delta CBE$ có: $CB < CE + EB$    (3) (bất đẳng thức tam giác)

 Từ (1), (2) và (3) suy ra $AD + DB < AE + EB$

Câu b: Theo câu a con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường $ADB$

Trong các biển báo giao thông sau đây, biển nào có trục đối xứng?

a) Biển nguy hiểm: đường hẹp hai bên (h.$61a$)

b) Biển nguy hiểm: đường giao với đường sắt có rào chắn (h.$61b$)

c) Biển nguy hiểm: đường ưu tiên gặp đường không ưu tiên bên phải (h.$61c$)

d) Biển nguy hiểm khác (h.$61d$)

Phương pháp giải

Đường thẳng $d$ gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $H$ qua đường thẳng $d$ cũng thuộc hình $H.$

Hướng dẫn giải

Các biển báo ở hình $a, b, d$ có trục đối xứng

Biển báo $c$ không có trục đối xứng

Các câu sau đúng hay sai?

a) Nếu ba điểm thẳng hàng thì ba điểm đối xứng với chúng qua một trục cũng thẳng hàng

b) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một trục thì có chu vi bằng nhau

c) Một đường tròn có vô số trục đối xứng

d) Một đoạn thẳng chỉ có một trục đối xứng

Phương pháp giải

• Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
• Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng $d$ và ngược lại.
• Đường thẳng $d$ gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $H$ qua đường thẳng $d$ cũng thuộc hình $H.$

Hướng dẫn giải

Câu a: Đúng

Câu b: Đúng, vì hai tam giác đối xứng nhau qua một trục thì bằng nhau nên chúng cũng có chu vi bằng nhau.

Câu c: Đúng, vì tất cả các đường thẳng đi qua tâm đều là trục đối xứng của đường tròn.

Câu d: Sai.

Vì: Đoạn thẳng $AB$ trên hình bên có hai trục đối xứng đó là đường thẳng $AB$ và đường trung trực của đoạn $AB.$

Đố

a) Hãy tập cắt chữ D (h.62a) bằng cách gấp đôi tờ giấy. Kể tên một vài chữ cái khác (kiểu chữ in hoa) có trục đối xứng

b) Vì sao ta có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H (h.62b)?

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa: Hai hình đối xứng qua một đường thẳng.

Hướng dẫn giải

Câu a

Cắt được chữ $D$ với nét gấp là trục đối xứng ngang của chữ $D$

Các chữ cái có trục đối xứng:

- Một vài chữ cái có một trục đối xứng dọc: $A, M, T, U, V, Y$

- Một vài chữ cái có một trục đối xứng ngang: $B, C, D, Đ, E, K$

- Một vài chữ cái có hai trục đối xứng dọc và ngang: $H, I, O, X$

Câu b

Có thế gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ $H$ vì chữ $H$ có hai trục đối xứng vuông góc