Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang

Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền $BC = 4cm$, góc nhọn $\widehat{B}=65^0$

Phương pháp giải

Cách dựng

• Dựng đoạn thẳng $BC=a\,cm$
• Dựng $\widehat {CBx} = {x^o}$
• Dựng $CA\bot Bx$

Hướng dẫn giải

Phân tích

Giả sử dựng được $ΔABC$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đoạn thẳng $BC$ dựng được vì đã biết độ dài.

Khi đó điểm $A$ là giao điểm của:

Tia $Bx$ tạo với đoạn thẳng $BC$ góc ${65^0}$

Đường thẳng qua $C$ và vuông góc với tia $Bx$ vừa dựng.

Cách dựng

Vẽ đoạn $BC = 4cm.$

Vẽ tia $Bx$ tạo với $BC$ một góc ${65^0}$ 

Vẽ đường thẳng $a$ qua $C$ và vuông góc với $Bx$ và cắt $Bx$ tại $A.$

Khi đó $∆ABC$ là tam giác cần dựng.

Chứng minh

$ΔABC$ vừa dựng vuông tại $A$, $\widehat B = {65^0}$ và $BC = 4cm.$

Biện luận

Ta luôn dựng được một tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài.

Dựng tam giác $ABC$ vuông tại $B$, biết cạnh huyền $AC = 4\,cm$, cạnh góc vuông $BC = 2\,cm.$

Phương pháp giải

Dựng tam giác $ABC$ vuông tại $B$, biết cạnh huyền $AC = b\,cm$, cạnh góc vuông $BC = a\,cm.$

Cách dựng

• Dựng $\widehat {xBy} = {90^0}$. Trên tia $Bx$ lấy điểm $C$ sao cho $BC = a\,cm.$
• Dựng cung tròn $(C; b\,cm)$ và cung tròn này cắt tia $By$ tại $A.$
• Nối $A$ với $C$ ta được  $∆ABC$ là tam giác cần dựng.

Hướng dẫn giải

Phân tích

Giả sử dựng được $ΔABC$ thỏa mãn yêu cầu.

Ta dựng được đoạn $BC$ vì biết $BC = 2cm.$

Khi đó điểm $A$ là giao điểm của:

Tia $By$ vuông góc với $BC$

Cung tròn tâm $C$ bán kính $4\,cm.$

Cách dựng

Dựng $\widehat {xBy} = {90^0}$. Trên tia $Bx$ lấy điểm $C$ sao cho $BC = 2\,cm.$

Dựng cung tròn $(C; 4\,cm)$ và cung tròn này cắt tia $By$ tại $A.$

Nối $A$ với $C$ ta được  $∆ABC$ là tam giác cần dựng.

Chứng minh

$ΔABC$ có $\widehat B = {90^0}, BC = 2cm.$

$A$ thuộc cung tròn tâm $C$ bán kính $4\,cm$ nên $AC = 4cm.$

Vậy $ΔABC$ thỏa mãn yêu cầu đề bài

Biện luận

Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Dựng hình thang $ABCD\; (AB // CD)$, biết $AB = AD = 2\,cm,$ $AC = DC = 4\,cm$

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp dựng tam giác, hình thang.

Hướng dẫn giải

Phân tích

Giả sử dựng được hình thang $ABCD$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Tam giác $ADC$ dựng được vì biết ba cạnh của tam giác.

Điểm $B$ phải thỏa mãn hai điều kiện

$B$ nằm trên tia $Ax$ song song với $CD$

$B$ cách $A$ một đoạn $2\,cm.$

Cách dựng

Dựng $\Delta A{\rm{D}}C$

- Vẽ đoạn thẳng $CD = 4\,cm.$

- Dựng cung tròn $(C; 4\,cm)$ và cung tròn $(D; 2\,cm)$, hai cung tròn này cắt nhau tại $A.$

- Nối $A$ với $C, A$ với $D$ ta được $\Delta A{\rm{D}}C$

Xác định điểm $B$

- Trên nửa mặt phẳng bờ là $AD$ chứa điểm $C$ vẽ tia $Ax // CD$

- Trên tia $Ax$ lấy điểm $B$ sao cho $AB = 2\,cm$

- Nối $B$ với $C$ ta được hình thang $ABCD$ cần dựng

Chứng minh

Tứ giác $ABCD$ là hình thang vì $AB // CD$ (theo cách dựng).

Hình thang $ABCD$ có $AB = AD = 2\,cm$, $AC = DC = 4\,cm$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Hãy dựng một góc bằng $30^o$

Phương pháp giải

Tam giác đều mỗi góc có số đo bằng $60^o$

Hướng dẫn giải

Phân tích 

Để dựng một góc $30^o$, ta dựng góc $60^o$ rồi dựng tia phân giác của góc đó.

Để dựng góc $60^o$, ta dựng tam giác đều với độ dài cạnh bất kì.

Cách dựng

- Dựng tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bất kỳ, chẳng hạn bằng $3\,cm.$

- Dựng tia phân giác $Ax$ của $\widehat {BAC}$

Từ đó ta có $\widehat {BAx} = \widehat {CAx} = {30^o}$ cần dựng.

Chứng minh

$ΔABC$ đều nên $\widehat A = {60^o}$

$Ax$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {BAx} = \widehat {CAx} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}{.60^o}$$\,= {30^o}$

Vậy ta dựng được góc ${30^o}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài

Dựng hình thang cân $ABCD$, biết đáy $CD = 3\,cm$, đường chéo $AC = 4\,cm$, $\widehat D = {80^o}$

Phương pháp giải

Giải bài toán dựng hình gồm $4$ bước

• Bước 1: Phân tích đề.
• Bước 2: Cách dựng.
• Bước 3: Chứng minh.
• Bước 4: Biện luận.

Hướng dẫn giải

Phân tích

Giả sử dựng được hình thang $ABCD$ theo yêu cầu đề bài.

Ta dựng được đoạn thẳng $CD = 3\,cm.$

Điểm $A$ phải thỏa mãn hai điều kiện:

Tia $DA$ tạo với $DC$ một góc bằng ${80^o}$.

$CA = 4\,cm$ nên $A$ thuộc cung tròn tâm $C$ bán kính $4\,cm.$

$ABCD$ là hình thang nên $AB // CD$

Hình thang $ABCD$ cân nên $\widehat {BCD} = \widehat D = {80^o}$

Vì vậy điểm $B$ phải thỏa mãn $2$ điều kiện:

$B$ nằm trên đường thẳng đi qua $A$ và song song với $CD$.

Tia $CB$ tạo với $CD$ một góc ${80^o}$.

Cách dựng

- Dựng $\widehat {xDy} = {80^o}$. Trên tia $Dx$ dựng đoạn thẳng $DC = 3cm$.

- Dựng cung tròn tâm $C$ bán kính $4\, cm$ cắt tia $Dy$ tại $A.$

- Dựng tia $At$ song song với  tia $Dx$

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $DC$ chứa $A$ dựng tia $CB$ sao cho tia $CB$ tạo với $CD$ một góc ${80^o}$ và cắt tia $At$ tại $B$.

- Hình thang $ABCD$ là hình thang cần dựng.

Chứng minh

Theo cách dựng ta có $AB // CD$ và $AC  = 4cm$; $DC = 3cm$; $\widehat {BCD} = \widehat D = {80^o}$

Suy ra tứ giác $ABCD$ là hình thang cân thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận

Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện đề bài.

Dựng hình thang $ABCD$, biết $\widehat D = {90^o}$, đáy $CD = 3cm$, cạnh bên $AD = 2cm$, cạnh bên $BC = 3cm$

Phương pháp giải

Giải bài toán dựng hình gồm $4$ bước

• Bước 1: Phân tích đề.
• Bước 2: Cách dựng.
• Bước 3: Chứng minh.
• Bước 4: Biện luận.

Hướng dẫn giải

Phân tích

Giả sử dựng được hình thang $AB_1CD$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta dựng được tam giác $ADC$ vì biết hai cạnh và một góc xen giữa.

Điểm $B_1$ phải thỏa mãn hai điều kiện:

Cách dựng

- Dựng tam giác $ADC$ vuông tại $D$ với $DC = 3cm,$ $DA = 2cm.$

- Dựng tia $Ax // CD$ (tia $Ax$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $AD$ chứa điểm $C$).

- Dựng cung tròn tâm $C$ bán kính $3\,cm$ cắt tia $Ax$ tại hai điểm $B_1$ và $B_2$.

Hình thang $AB_1CD$ hoặc $AB_2CD$ là các hình thang vuông cần dựng.

Chứng minh

Theo cách dựng thì tứ giác $AB_1CD$ hoặc $AB_2CD$ có $\widehat D = {90^o}$ và đáy $CD = 3cm$, cạnh bên $AD = 2cm$, cạnh bên $B_1C = 3cm$ (hoặc $B_2C=3cm$) nên đó là hình thang vuông thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận

Ta dựng được hai hình thang thỏa mãn điều kiện đề bài