Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang

Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền \(BC = 4cm\), góc nhọn \(\widehat{B}=65^0\)

Phương pháp giải

Cách dựng

• Dựng đoạn thẳng \(BC=a\,cm\)
• Dựng \(\widehat {CBx} = {x^o}\)
• Dựng \(CA\bot Bx\)

Hướng dẫn giải

Phân tích

Giả sử dựng được \(ΔABC\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đoạn thẳng \(BC\) dựng được vì đã biết độ dài.

Khi đó điểm \(A\) là giao điểm của:

Tia \(Bx\) tạo với đoạn thẳng \(BC\) góc \({65^0}\)

Đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với tia \(Bx\) vừa dựng.

Cách dựng

Vẽ đoạn \(BC = 4cm.\)

Vẽ tia \(Bx\) tạo với \(BC\) một góc \({65^0}\) 

Vẽ đường thẳng \(a\) qua \(C\) và vuông góc với \(Bx\) và cắt \(Bx\) tại \(A.\)

Khi đó \(∆ABC\) là tam giác cần dựng.

Chứng minh

\(ΔABC\) vừa dựng vuông tại \(A\), \(\widehat B = {65^0}\) và \(BC = 4cm.\)

Biện luận

Ta luôn dựng được một tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài.

Dựng tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), biết cạnh huyền \(AC = 4\,cm\), cạnh góc vuông \(BC = 2\,cm.\)

Phương pháp giải

Dựng tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), biết cạnh huyền \(AC = b\,cm\), cạnh góc vuông \(BC = a\,cm.\)

Cách dựng

• Dựng \(\widehat {xBy} = {90^0}\). Trên tia \(Bx\) lấy điểm \(C\) sao cho \(BC = a\,cm.\)
• Dựng cung tròn \((C; b\,cm)\) và cung tròn này cắt tia \(By\) tại \(A.\)
• Nối \(A\) với \(C\) ta được  \(∆ABC\) là tam giác cần dựng.

Hướng dẫn giải

Phân tích

Giả sử dựng được \(ΔABC\) thỏa mãn yêu cầu.

Ta dựng được đoạn \(BC\) vì biết \(BC = 2cm.\)

Khi đó điểm \(A\) là giao điểm của:

Tia \(By\) vuông góc với \(BC\)

Cung tròn tâm \(C\) bán kính \(4\,cm.\)

Cách dựng

Dựng \(\widehat {xBy} = {90^0}\). Trên tia \(Bx\) lấy điểm \(C\) sao cho \(BC = 2\,cm.\)

Dựng cung tròn \((C; 4\,cm)\) và cung tròn này cắt tia \(By\) tại \(A.\)

Nối \(A\) với \(C\) ta được  \(∆ABC\) là tam giác cần dựng.

Chứng minh

\(ΔABC\) có \(\widehat B = {90^0}, BC = 2cm.\)

\(A\) thuộc cung tròn tâm \(C\) bán kính \(4\,cm\) nên \(AC = 4cm.\)

Vậy \(ΔABC\) thỏa mãn yêu cầu đề bài

Biện luận

Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Dựng hình thang \(ABCD\; (AB // CD)\), biết \(AB = AD = 2\,cm,\) \( AC = DC = 4\,cm\)

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp dựng tam giác, hình thang.

Hướng dẫn giải

Phân tích

Giả sử dựng được hình thang \(ABCD\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Tam giác \(ADC\) dựng được vì biết ba cạnh của tam giác.

Điểm \(B\) phải thỏa mãn hai điều kiện

\(B\) nằm trên tia \(Ax\) song song với \(CD\)

\(B\) cách \(A\) một đoạn \(2\,cm.\)

Cách dựng

Dựng \(\Delta A{\rm{D}}C\)

- Vẽ đoạn thẳng \(CD = 4\,cm.\)

- Dựng cung tròn \((C; 4\,cm)\) và cung tròn \((D; 2\,cm)\), hai cung tròn này cắt nhau tại \(A.\)

- Nối \(A\) với \(C, A\) với \(D\) ta được \(\Delta A{\rm{D}}C\)

Xác định điểm \(B\)

- Trên nửa mặt phẳng bờ là \(AD\) chứa điểm \(C\) vẽ tia \(Ax // CD\)

- Trên tia \(Ax\) lấy điểm \(B\) sao cho \(AB = 2\,cm\)

- Nối \(B\) với \(C\) ta được hình thang \(ABCD\) cần dựng

Chứng minh

Tứ giác \(ABCD\) là hình thang vì \(AB // CD\) (theo cách dựng).

Hình thang \(ABCD\) có \(AB = AD = 2\,cm\), \(AC = DC = 4\,cm\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Hãy dựng một góc bằng \(30^o\)

Phương pháp giải

Tam giác đều mỗi góc có số đo bằng \(60^o\)

Hướng dẫn giải

Phân tích 

Để dựng một góc \(30^o\), ta dựng góc \(60^o\) rồi dựng tia phân giác của góc đó.

Để dựng góc \(60^o\), ta dựng tam giác đều với độ dài cạnh bất kì.

Cách dựng

- Dựng tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh bất kỳ, chẳng hạn bằng \(3\,cm.\)

- Dựng tia phân giác \(Ax\) của \(\widehat {BAC}\)

Từ đó ta có \(\widehat {BAx} = \widehat {CAx} = {30^o}\) cần dựng.

Chứng minh

\(ΔABC\) đều nên \(\widehat A = {60^o}\)

\(Ax\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAx} = \widehat {CAx} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}{.60^o} \)\(\,= {30^o}\)

Vậy ta dựng được góc \( {30^o}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài

Dựng hình thang cân \(ABCD\), biết đáy \(CD = 3\,cm\), đường chéo \(AC = 4\,cm\), \(\widehat D = {80^o}\)

Phương pháp giải

Giải bài toán dựng hình gồm \(4\) bước

• Bước 1: Phân tích đề.
• Bước 2: Cách dựng.
• Bước 3: Chứng minh.
• Bước 4: Biện luận.

Hướng dẫn giải

Phân tích

Giả sử dựng được hình thang \(ABCD\) theo yêu cầu đề bài.

Ta dựng được đoạn thẳng \(CD = 3\,cm.\)

Điểm \(A\) phải thỏa mãn hai điều kiện:

Tia \(DA\) tạo với \(DC\) một góc bằng \({80^o}\).

\(CA = 4\,cm\) nên \(A\) thuộc cung tròn tâm \(C\) bán kính \(4\,cm.\)

\(ABCD\) là hình thang nên \(AB // CD\)

Hình thang \(ABCD\) cân nên \(\widehat {BCD} = \widehat D = {80^o}\)

Vì vậy điểm \(B\) phải thỏa mãn \(2\) điều kiện:

\(B\) nằm trên đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(CD\).

Tia \(CB\) tạo với \(CD\) một góc \({80^o}\).

Cách dựng

- Dựng \(\widehat {xDy} = {80^o}\). Trên tia \(Dx\) dựng đoạn thẳng \(DC = 3cm\).

- Dựng cung tròn tâm \(C\) bán kính \(4\, cm\) cắt tia \(Dy\) tại \(A.\)

- Dựng tia \(At\) song song với  tia \(Dx\)

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(DC\) chứa \(A\) dựng tia \(CB\) sao cho tia \(CB\) tạo với \(CD\) một góc \({80^o}\) và cắt tia \(At\) tại \(B\).

- Hình thang \(ABCD\) là hình thang cần dựng.

Chứng minh

Theo cách dựng ta có \(AB // CD\) và \(AC  = 4cm\); \(DC = 3cm\); \(\widehat {BCD} = \widehat D = {80^o}\)

Suy ra tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận

Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện đề bài.

Dựng hình thang \(ABCD\), biết \(\widehat D = {90^o}\), đáy \(CD = 3cm\), cạnh bên \(AD = 2cm\), cạnh bên \(BC = 3cm\)

Phương pháp giải

Giải bài toán dựng hình gồm \(4\) bước

• Bước 1: Phân tích đề.
• Bước 2: Cách dựng.
• Bước 3: Chứng minh.
• Bước 4: Biện luận.

Hướng dẫn giải

Phân tích

Giả sử dựng được hình thang \(AB_1CD\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta dựng được tam giác \(ADC\) vì biết hai cạnh và một góc xen giữa.

Điểm \(B_1\) phải thỏa mãn hai điều kiện:

Cách dựng

- Dựng tam giác \(ADC\) vuông tại \(D\) với \(DC = 3cm, \) \(DA = 2cm.\)

- Dựng tia \(Ax // CD\) (tia \(Ax\) nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(AD\) chứa điểm \(C\)).

- Dựng cung tròn tâm \(C\) bán kính \(3\,cm\) cắt tia \(Ax\) tại hai điểm \(B_1\) và \(B_2\).

Hình thang \(AB_1CD\) hoặc \(AB_2CD\) là các hình thang vuông cần dựng.

Chứng minh

Theo cách dựng thì tứ giác \(AB_1CD\) hoặc \(AB_2CD\) có \(\widehat D = {90^o}\) và đáy \(CD = 3cm\), cạnh bên \(AD = 2cm\), cạnh bên \(B_1C = 3cm\) (hoặc \(B_2C=3cm\)) nên đó là hình thang vuông thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận

Ta dựng được hai hình thang thỏa mãn điều kiện đề bài