Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 11: Hình thoi

1. Giải bài 73 trang 105 SGK Toán 8 tập 1

Tìm các hình thoi trên hình 102.

Phương pháp giải

Áp dụng: Dấu hiệu nhận biết hình thoi

• Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
• Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Các tứ giác ở hình $102\;\; a, b, c, e$ là hình thoi. 

Ở hình $102a$, tứ giác $ABCD$ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi (theo định nghĩa)

Ở hình $102b$,

Tứ giác $EFGH$ có $EF=HG$, $EH=FG$ nên tứ giác $EFGH$ là hình bình hành.

Hơn nữa ta lại có $EG$ là phân giác của góc $FEH$ (giả thiết)

Do đó $EFGH$ là hình thoi (theo dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Ở hình 102c, $KINM$ có hai đường chéo $IM$ và $KN$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

$\Rightarrow$ tứ giác $KINM$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Mà $IM \bot KN\left( {gt} \right) \Rightarrow$ hình bình hành $KINM$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Ở hình 102e, $ADBC$ là hình thoi (theo định nghĩa), vì:

$AC = AD = AB \,(C, B, D$ cùng thuộc đường tròn tâm $A).$

$BC = BA = BD\, (A, C, D$ cùng thuộc đường tròn tâm $B)$

$⇒ AC = CB = BD = DA$

$⇒ ACBD$ là hình thoi.

Tứ giác trên hình 102d không là hình thoi (vì có 4 cạnh không bằng nhau).

2. Giải bài 74 trang 106 SGK Toán 8 tập 1

Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8cm và 10cm. Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào trong các giá trị sau

(A) $6cm$

(B) $\sqrt{41} cm$

(C) $\sqrt{164} cm$

(D) $9cm$

Phương pháp giải

Áp dụng

• Tính chất của hình thoi: Hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường;
• Định lí Pytago: Bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông.

Hướng dẫn giải

Xét bài toán

$ABCD$ là hình thoi, $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC=10\,cm$; $BD=8\,cm$

Theo tính chất của hình thoi hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} OA = \dfrac{{AC}}{2}=5cm\\ OB = \dfrac{{B{\rm{D}}}}{2}=4cm \end{array} \right.$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ABO$ ta có:

$\eqalign{ & A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;= 5^2 + 4^2 \cr & \Rightarrow AB= \sqrt { {5^2}+{4^2} } = \sqrt {41} cm \cr}$

Vậy (B) đúng.

3. Giải bài 75 trang 106 SGK Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Phương pháp giải

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Giả sử hình chữ nhật $ABCD$ có $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$

Bốn tam giác vuông $EAH, EBF, GDH, GCF$ có:

$AE = BE = DG = CG$ ( = $\dfrac{1}{2}AB$ = $\dfrac{1}{2}CD$ )

$HA = FB = DH = CF$ ( = $\dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC$ )

Xét  $∆EAH$ và $∆EBF$ có:

$\left\{ \begin{array}{l} A{\rm{E}} = BE\left( {cmt} \right)\\ \widehat A = \widehat B = {90^0}\left( {gt} \right)\\ AH = BF\left( {cmt} \right) \end{array} \right.$

$\Rightarrow \Delta AHE = \Delta BEF\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow$ $EH = EF$ (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét  $∆HDG$ và $∆FCG$ có:

$\left\{ \begin{array}{l} H{\rm{D}} = FC\left( {cmt} \right)\\ \widehat D = \widehat C = {90^0}\left( {gt} \right)\\ DG = CG\left( {cmt} \right) \end{array} \right.$

$\Rightarrow \Delta HDG = \Delta FCG\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow$ $GH = GF$ (2 cạnh tương ứng) (2)

Xét  $∆AHE$ và $∆DHG$ có

$\left\{ \begin{array}{l} H{\rm{A}} = HD\left( {cmt} \right)\\ \widehat A = \widehat D = {90^0}\left( {gt} \right)\\ AE = DG\left( {cmt} \right) \end{array} \right.$

$\Rightarrow \Delta AHE = \Delta DHG\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow$ $EH = HG$ (2 cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow  HE=EF = HG = GF$ 

$\Rightarrow$ $EFGH$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

(Trong đó: "cmt" là chứng minh trên) 

4. Giải bài 76 trang 106 SGK Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Phương pháp giải

Áp dụng

• Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
• Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Xét hình thoi $ABCD$, gọi $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD, AD$.

Ta có: $EB = EA, FB = FC$ (giả thiết )

nên $EF$ là đường trung bình của $∆ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

$\Rightarrow$ $EF // AC,EF=\dfrac{AC}2$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do $HD = HA, GD = GC$ (giả thiết )

$\Rightarrow$ $HG$ là đường trung bình của $∆ADC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

$\Rightarrow$ $HG // AC,HG=\dfrac{AC}2$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow$ $EF // HG$ (cùng // $AC$)  và $EF=HG\,(=\dfrac{AC}2)$

Suy ra $EFGH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: $EB = EA, AH = HD$ (giả thiết )

nên $EH$ là đường trung bình của $∆ABD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

$\Rightarrow$ $EH // BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Ta có $EF // AC$ (chứng minh trên) và $BD ⊥ AC$ (tính chất hình thoi $ABCD$)

$\Rightarrow$ $BD ⊥ EF$

Mà $EH // BD$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ $EF ⊥ EH$

$\Rightarrow$  $\widehat{FEH} = 90^0$

Hình bình hành $EFGH$ có $\widehat{E} = 90^0$ nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

5. Giải bài 77 trang 106 SGK Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng

a) Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

b) Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi.

Phương pháp giải

Áp dụng

• Định lí: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
• Hai điểm $A$ và $A'$ gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của $AA'$.

Hướng dẫn giải

Câu a: Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi. 

Câu b: Vì $ABCD$ là hình thoi nên $BD\bot AC$ tại $O$ và $O$ là trung điểm của $BD$ và $AC$

Suy ra $BD$ là đường trung trực của $AC$ và $AC$ là đường trung trực của $BD$

Do đó $A$ đối xứng với $C$ qua $BD.$

$B$ và $D$ cũng đối xứng với chính nó qua $BD.$

Nên $BD$ là trục đối xứng của hình thoi.

Vì $AC$ là đường trung trực của $BD$ nên $B$ đối xứng với $D$ qua $AC.$

$A$ và $C$ cũng đối xứng với chính nó qua $AC.$

Nên $AC$ là trục đối xứng của hình thoi

6. Giải bài 78 trang 106 SGK Toán 8 tập 1