Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng $\frac{1}{2}$. Tìm phân số ban đầu

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt tử số là ẩn tìm điều kiện của ẩn và biểu diễn phân số đó theo ẩn.

Bước 2: Dựa vào dữ kiện của đề bài lập phương trình.

Bước 3: Giải phương trình.

Bước 4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn các điều kiện của ẩn không)

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là tử số của phân số ( $x \in Z,x \ne  - 3)$

Vì mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là $3$ đơn vị nên mẫu số của phân số là $x + 3$.

Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm $2$ đơn vị thì ta được phân số lúc sau là$\dfrac{{x + 2}}{{x + 3 + 2}} = \dfrac{{x + 2}}{{x + 5}}$   $(x \ne  - 5)$

Vì phân số mới bằng $\dfrac{1}{2}$ nên ta có phương trình :

$\eqalign{ & {{x + 2} \over {x + 5}} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow {{2\left( {x + 2} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}} = {{x + 5} \over {2\left( {x + 5} \right)}} \cr & \Rightarrow 2\left( {x + 2} \right) = x + 5 \cr & \Leftrightarrow 2x + 4 = x + 5 \cr & \Leftrightarrow 2x - x = 5 - 4 \cr & \Leftrightarrow x = 1\text{ (thỏa mãn)} \cr}$

Mẫu số của phân số cần tìm là: $x+3=1+3=4$

Vậy phân số lúc đầu là:$\dfrac{1}{4}$

Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng $\dfrac{1}{8}$ số học sinh cả lớp. Sang học kì hai, có thêm $3$ bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng $20\%$ số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt tử số là ẩn tìm điều kiện của ẩn và biểu diễn phân số đó theo ẩn.

Bước 2: Dựa vào dữ kiện của đề bài lập phương trình.

Bước 3: Giải phương trình.

Bước 4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn các điều kiện của ẩn không)

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số học sinh cả lớp 8A (điều kiện $x$ nguyên dương)

Số học sinh giỏi trong học kì I là: $\dfrac{1}{8}x$ (học sinh)

Số học sinh giỏi trong học kì II là: $\dfrac{1}{8}x + 3$ (học sinh)

Vì số học sinh giỏi trong học kì II bằng $20\% =\dfrac{20}{100}$ số học sinh cả lớp nên ta có phương trình:

$\eqalign{ & {1 \over 8}x + 3 = {{20} \over {100}}x \cr & \Leftrightarrow {1 \over 8}x + 3 = {1 \over 5}x \cr & \Leftrightarrow {{5x} \over {40}} + {{3.40} \over {40}} = {{8x} \over {40}} \cr & \Leftrightarrow 5x + 120 = 8x \cr & \Leftrightarrow 5x - 8x = - 120 \cr & \Leftrightarrow - 3x = - 120 \cr & \Leftrightarrow x = \left( { - 120} \right):\left( { - 3} \right) \cr & \Leftrightarrow x = 40 \text{ (thỏa mãn)}\cr}$

Vậy số học sinh của lớp 8A là $40$ học sinh.

(Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi – ô – phăng, lấy trong Hợp tuyển Hi Lạp – Cuốn sách gồm 46 bài toán về số,viết dưới dạng thơ trào phúng),

Thời thơ ấu của Đi – ô – phăng chiếm $\dfrac{1}{6}$ cuộc đời

 $\dfrac{1}{{12}}$  cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nổi

Thêm $\dfrac{1}{7}$ cuộc đời nữa ông sống độc thân

Sau khi lập gia đình được $5$ năm thì sinh một con trai

Nhưng số mệnh chỉ cho con sống bằng nửa đời cha

Ông đã từ trần $4$ năm sau khi con mất

Đi – ô – phăng sống bao nhiêu tuổi, hãy tính cho ra?

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt tử số là ẩn tìm điều kiện của ẩn và biểu diễn phân số đó theo ẩn.

Bước 2: Dựa vào dữ kiện của đề bài lập phương trình.

Bước 3: Giải phương trình.

Bước 4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn các điều kiện của ẩn không)

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số tuổi của ông Đi – ô – phăng ($x$ nguyên dương)

Thời thơ ấu của ông: $\dfrac{1}{6}x$

Thời thanh niên là: $\dfrac{1}{{12}}x$

Thời gian sống độc thân là:$\dfrac{1}{7}x$

Thời gian lập gia đình đến khi có con và mất: $5 + \dfrac{1}{2}x + 4$

Ta có phương trình:

$\dfrac{1}{6}x + \dfrac{1}{{12}}x + \dfrac{1}{7}x + 5 + \dfrac{1}{2}x + 4 = x$

⇔$\dfrac{{14x}}{{84}} + \dfrac{{7x}}{{84}} + \dfrac{{12x}}{{84}} + \dfrac{{420}}{{84}} + \dfrac{{42x}}{{84}}$$\,+ \dfrac{{336}}{{84}} = \dfrac{{84x}}{{84}}$

⇔$14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336$$= 84x$

⇔$75x + 756 = 84x$

⇔$756=84x-75x$

⇔$9x = 756$

⇔$x=756:9$

⇔$x = 84$ (thỏa mãn)

Vậy nhà toán học Đi – ô – phăng thọ $84$ tuổi.