Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
Phần hướng dẫn giải bài tập Toán 8 Bài 4 Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng, giải bài tập từ SGK Đại số 8 Tập 1
Mục lục nội dung
1. Giải bài 14 trang 43 SGK Toán 8 tập 1
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) \(\dfrac{5}{x^5y^3},\,\,\dfrac{7}{12x^3y^4}\)
b) \(\dfrac{4}{15x^3y^5},\,\,\dfrac{11}{12x^4y^2}\)
Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc quy đồng mẫu thức:
Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Hướng dẫn giải
Câu a
Mẫu thức chung : \(12{x^5}{y^4}\)
Nhân tử phụ:
\(12{x^5}{y^4}:{\rm{ }}{x^5}{y^3} = {\rm{ }}12y\)
\(12{\rm{ }}{x^5}{y^4}:{\rm{ }}12{x^3}{y^4} = {\rm{ }}x^2\)
Quy đồng:
\( \dfrac{5}{x^{5}y^{3}}= \dfrac{5.12y}{x^{5}y^{3}.12y}= \dfrac{60y}{12x^{5}y^{4}}\)
\( \dfrac{7}{12x^{3}y^{4}}= \dfrac{7x^{2}}{12x^{3}y^{4}.x^{2}}= \dfrac{7x^{2}}{12x^{5}y^{4}}\)
Câu b
Mẫu thức chung : \(60{x^4}{y^5}\)
Nhân tử phụ: \(60{x^4}{y^5}:{\rm{ }}15{x^3}{y^5} = {\rm{ }}4x\)
\(60{x^4}{y^5}:{\rm{ }}12{x^4}{y^2} = {\rm{ }}5{y^3}\)
Quy đồng:
\( \dfrac{4}{15x^{3}y^{5}}= \dfrac{4.4x}{15x^{3}y^{{5}}.4x}= \dfrac{16x}{60x^{4}y^{5}}\)
\( \dfrac{11}{12x^{4}y^{2}}= \dfrac{11.5y^{3}}{12x^{4}y^{2}.5y^{3}}= \dfrac{55y^{3}}{60x^{4}y^{5}}\)
2. Giải bài 15 trang 43 SGK Toán 8 tập 1
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) \(\dfrac{5}{2x + 6},\,\,\dfrac{3}{x^2 - 9}\)
b) \(\dfrac{2x}{x^2-8x + 16},\,\,\dfrac{x}{3x^2 - 12x}\)
Phương pháp giải
Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Hướng dẫn giải
Câu a: \(2x + 6 = 2(x + 3)\)
\(x^2- 9 = (x -3)(x + 3)\)
Mẫu thức chung là: \(2(x - 3)(x + 3)\)
Nhân tử phụ thứ nhất là: \((x-3)\)
Nhân tử phụ thứ hai là: \(2\)
Quy đồng:
\( \dfrac{5}{2x +6}=\dfrac{5}{2(x+3)}\)\(\,=\dfrac{5(x-3)}{2(x-3)(x+3)}\)
\( \dfrac{3}{x^{2}-9}= \dfrac{3}{(x-3)(x+3)}\)\(\,= \dfrac{3.2}{2(x-3)(x+3)}\)\(\,=\dfrac{6}{2(x-3)(x+3)}\)
Câu b: Tìm mẫu thức chung:
\({x^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }} = {x^2} - 2.x.4 + {4^2}\)\(\,= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2}\)
\(3x^2– 12x = 3x(x - 4)\)
Mẫu thức chung là: \(3x(x - 4)^2\)
Nhân tử phụ thứ nhất là: \(3x\)
Nhân tử phụ thứ hai là: \((x-4)\)
Quy đồng:
\( \dfrac{2x}{x^{2}-8x+16}=\dfrac{2x}{(x-4)^{2}}\)\(\,=\dfrac{2x.3x}{3x(x-4)^{2}}=\dfrac{6x^{2}}{3x(x-4)^{2}}\)
\( \dfrac{x}{3x^{2}-12}=\dfrac{x}{3x(x-4)}=\dfrac{x(x-4)}{3x(x-4)^{2}}\)
3. Giải bài 16 trang 43 SGK Toán 8 tập 1
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu đối với một phân thức để tìm mẫu thức chung thuận tiện hơn)
a) \(\dfrac{4x^2 - 3x + 5}{x^3 - 1},\,\,\dfrac{1 - 2x}{x^2 + x + 1};\,\,-2\)
b) \(\dfrac{10}{x + 2},\,\,\dfrac{5}{2x - 4};\,\, \dfrac{1}{6 - 3x}\)
Phương pháp giải
- Áp dụng quy tắc đổi dấu.
- Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
+ Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
+ Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
+ Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Hướng dẫn giải
Câu a
Tìm mẫu thức chung:
\({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)({x^2} + {\rm{ }}x + 1)\)
Nên mẫu thức chung là: \(\left( {x - 1} \right)({x^2} + {\rm{ }}x + 1)\)
Nhân tử phụ thứ nhất là \(1\)
Nhân tử phụ thứ hai là \((x-1)\)
Nhân tử phụ thứ ba là \(\left( {x - 1} \right)({x^2} + {\rm{ }}x + 1)\)
Quy đồng:
\( \dfrac{4x^{2}-3x+5}{x^{3}-1}=\dfrac{4x^{2}-3x+5}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\)
\( \dfrac{1-2x}{x^{2}+x+1}=\dfrac{(x-1)(1-2x)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\)
\(-2 = \dfrac{-2(x^{3}-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\)
Câu b
Tìm mẫu thức chung:
\(x+ 2=x+2\)
\(2x - 4 = 2(x - 2)\)
\(6 - 3x = 3(2 - x) = -3(x -2)\)
Mẫu thức chung là: \(6(x - 2)(x + 2)\)
Nhân tử phụ thứ nhất là \(6(x-2)\)
Nhân tử phụ thứ hai là \(3(x+2)\)
Nhân tử phụ thứ ba là \(-2(x+2)\)
Quy đồng:
\( \dfrac{10}{x+2}= \dfrac{10.6.(x-2)}{6(x-2)(x+2)}\)\(\,=\dfrac{60(x-2)}{6(x-2)(x+2)}\)
\( \dfrac{5}{2x-4}=\dfrac{5}{2(x-2)}\)\(\,=\dfrac{5.3(x+2)}{2(x-2).3(x+2)}\)\(=\dfrac{15(x+2)}{6(x-2)(x+2)}\)
\( \dfrac{1}{6-3x}=\dfrac{1}{-3(x-2)}\)\(\,=\dfrac{-2(x+2)}{-3(x-2).[-2(x+2)]}\)\(=\dfrac{-2(x+2)}{6(x-2)(x+2)}\)
3. Giải bài 17 trang 43 SGK Toán 8 tập 1
Đố. Cho hai phân thức: \(\dfrac{5x^2}{x^3 - 6x^2},\,\,\dfrac{3x^2 + 18x}{x^2 - 36}\)
Khi quy đồng mẫu thức, bạn Tuấn đã chọn \(MTC = x^2(x - 6)(x + 6),\) còn bạn Lan bảo rằng: " Quá đơn giản! \(MTC = x - 6\)". Đố em biết bạn nào chọn đúng?
Phương pháp giải
Áp dụng qui tắc qui đồng mẫu thức các phân thức.
Hướng dẫn giải
Cách làm của bạn Tuấn:
Bạn Tuấn trực tiếp đi tìm mẫu thức chung theo quy tắc:
\(\begin{array}{l}
{x^3} - 6{{\rm{x}}^2} = {x^2}\left( {x - 6} \right)\\
{x^2} - 36 =x^2-6^2= \left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)\\
MTC = {x^2}\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)
\end{array}\)
Do đó bạn Tuấn làm đúng.
Cách làm của bạn Lan:
Bạn Lan rút gọn phân thức trước khi đi tìm mẫu thức chung:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{5{{\rm{x}}^2}}}{{{x^3} - 6{{\rm{x}}^2}}} = \dfrac{{5{{\rm{x}}^2}}}{{{x^2}\left( {x - 6} \right)}} = \dfrac{5}{{x - 6}}\\
\dfrac{{3{{\rm{x}}^2} + 18{\rm{x}}}}{{{x^2} - 36}} = \dfrac{{3{\rm{x}}\left( {x + 6} \right)}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}} = \dfrac{{3{\rm{x}}}}{{x - 6}}
\end{array}\)
Do đó \(MTC = x - 6\). Vậy bạn Lan làm đúng.
Vậy cả hai bạn đều làm đúng. Bạn Tuấn đã tìm MTC theo đúng qui tắc. Bạn Lan thì rút gọn các phân thức trước khi tìm MTC.
* Nhận xét: Ta nên rút gọn hoàn toàn các phân thức trước khi quy đồng để việc quy đồng ngắn gọn hơn.
5. Giải bài 18 trang 43 SGK Toán 8 tập 1
Quy đồng mẫu thức hai phân thức:
a) \(\dfrac{3x}{2x + 4}\) và \(\dfrac{x + 3}{x^2 - 4}\)
b) \(\dfrac{x + 5}{x^2 + 4x + 4}\) và \(\dfrac{x}{3x + 6}\)
Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc quy đồng mẫu thức:
Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Hướng dẫn giải
Câu a
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung
\(2x + 4 =2(x+2)\)
\({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\)
\(⇒ MTC = 2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 2\left( {{x^2} - 4} \right)\)
+ Nhân tử phụ:
\(2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) :2(x+2)=x-2\)
\(2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) :(x-2)(x+2)=2\)
+ Quy đồng:
\(\dfrac{{3x}}{{2x + 4}} = \dfrac{{3x\left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{3x\left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}\)
\(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} = \dfrac{{\left( {x + 3} \right).2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).2}} = \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}\)
Câu b
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung
\({x^2} + 4x + 4 = {x^2} + 2.x.2 + {2^2}= {\left( {x + 2} \right)^2}\)
\(3x + 6 = 3\left( {x + 2} \right)\)
Nên MTC = \(3{\left( {x + 2} \right)^2}\)
+ Nhân tử phụ:
\(3{\left( {x + 2} \right)^2}:(x+2)^2=3\)
\(3{\left( {x + 2} \right)^2}:3(x+2)=x+2\)
+ Quy đồng:
\(\dfrac{{x + 5}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \dfrac{{\left( {x + 5} \right).3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}.3}} = \dfrac{{3\left( {x + 5} \right)}}{{3{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\(\dfrac{x}{{3x + 6}} = \dfrac{{x.\left( {x + 2} \right)}}{{3\left( {x + 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{3{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
6. Giải bài 19 trang 43 SGK Toán 8 tập 1
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) \(\dfrac{1}{x + 2} ,\,\, \dfrac{8}{2x - x^2}\)
b) \(x^2 + 1 ,\,\, \dfrac{x^4}{x^2 - 1}\)
c) \(\dfrac{x^3}{x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3},\,\, \dfrac{x}{y^2 - xy}\)
Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc quy đồng mẫu thức:
Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Hướng dẫn giải
Câu a
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm MTC
\(2x – x^2 = x.(2 – x)\)
MTC = \(x\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)\)
+ Nhân tử phụ :
\(x.(2-x)(x+2) : (x + 2) = x.(2 – x)\)
\(x(2-x)(x+2) : x(2 – x) = x + 2\)
+ Quy đồng:
\(\dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}\)\(\, = \dfrac{{2x - {x^2}}}{{x(2 - x)(2 + x)}}\)
\(\dfrac{8}{{2x - {x^2}}} = \dfrac{{8.(2 + x)}}{{x(2 - x)(2 + x)}}\)\(\, = \dfrac{{16 + 8x}}{{x(2 - x)(2 + x)}}\)
Câu b
MTC = \({x^2} - 1\)
Quy đồng:
\({x^2} + 1 = \dfrac{{{x^2} + 1}}{1} = \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} - 1}}\)
\(\dfrac{{{x^4}}}{{{x^2} - 1}}\) giữ nguyên.
Câu c
Ta có: \(\dfrac{x}{{{y^2} - xy}} = \dfrac{-x}{{xy-y^2}}\)
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử:
\({x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} = {\left( {x - y} \right)^3}\)
\(xy-{y^2} = y\left( {x - y} \right) \)
MTC = \(y{\left( {x - y} \right)^3}\)
+ Nhân tử phụ :
\(y(x – y)^3 : (x – y)^3 = y\)
\(y(x – y)^3 : y(x – y) = (x – y)^2\)
+ Quy đồng mẫu thức :
\(\dfrac{{{x^3}}}{{{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}}} = \dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^3}}} \)\(\,= \dfrac{{{x^3}y}}{{y{{\left( {x - y} \right)}^3}}}\)
\(\dfrac{x}{{{y^2} - xy}} = \dfrac{-x}{{xy-y^2}} \)\(\, = \dfrac{{ - x}}{{y\left( {x - y} \right)}} = \dfrac{{ - x{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{y(x-y).{{(x - y)}^2}}}\)\(= \dfrac{{ - x{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{y{{(x - y)}^3}}}\)
7. Giải bài 20 trang 44 SGK Toán 8 tập 1
Cho hai phân thức: \(\dfrac{1}{x^2 + 3x - 10},\,\, \dfrac{x}{x^2 + 7x + 10}\)
Không dùng cách phân tích các mẫu thức thành nhân tử, hãy chứng tỏ rằng có thể qui đồng mẫu thức hai phân thức này với mẫu thức chung là \(x^3 + 5x^2 - 4x -20.\)
Phương pháp giải
Để chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức \({x^3} + 5{x^2} - 4x - 20\) làm mẫu thức chung ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.
Hướng dẫn giải
Thật vậy, ta có:
\(\dfrac{x^3 + 5x^2 – 4x – 20}{x^2 + 3x - 10} = x + 2\)
\(\dfrac{x^3 + 5x^2 – 4x – 20}{x^2 + 7x + 10} = x - 2\)
Vậy
\(\dfrac{1}{x^2 + 3x - 10} = \dfrac{1.(x + 2)}{(x^2 + 3x - 10)(x + 2)} = \dfrac{x + 2}{x^3 + 5x^2 - 4x - 20}\)
\(\dfrac{x}{x^2 + 7x + 10} = \dfrac{x.(x - 2)}{(x^2 + 7x + 10)(x - 2)} = \dfrac{x(x - 2)}{x^3 + 5x^2 - 4x - 20}\)
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 8: Phép chia các phân thức đại số
- doc Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ và Giá trị của phân thức