Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Giải các bất phương trình theo quy tắc chuyển vế:

a) \(x - 5 > 3\)​

b) \(x - 2x < -2x + 4\)

c) \(-3x > -4x + 2\)

d) \(8x + 2 < 7x - 1\)

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(x - 5 > 3 \Leftrightarrow x > 5 + 3 \Leftrightarrow x > 8\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 8

Câu b

\(x - 2x < -2x + 4 \Leftrightarrow x - 2x + 2x < 4 \Leftrightarrow x < 4\)

 Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 4

Câu c

\(-3x > -4x + 2 \Leftrightarrow -3x + 4x > 2 \Leftrightarrow x > 2\)

 Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 2

Câu d

\(8x + 2 < 7x - 1 \Leftrightarrow 8x - 7x < -1 -2 \Leftrightarrow x < -3\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -3

Giải các bất phương trình (theo quy tắc nhân)

a) \(0,3x > 0,6\)

b) \(-4x < 12\)

c) \(-x > 4\)

d) \(1,5x > -9\).

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc nhân với một số: 

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(0,3x > 0,6\)

\( \Leftrightarrow  \dfrac{10}{3}.0,3x > 0,6.\dfrac{10}{3}\) (nhân cả 2 vế với \(\dfrac{10}{3}>0\))

\(\Leftrightarrow  x > 2\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x> 2\).

Câu b

\(-4x < 12 \)

\( \Leftrightarrow \left( { - \dfrac{1}{4}} \right).( - 4x) > 12.\left( { - \dfrac{1}{4}} \right)\) (nhân cả 2 vế với \(\dfrac{-1}{4}<0\)) 

\(\Leftrightarrow  x > -3\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x > -3\).

Câu c

\(-x > 4\)

\( \Leftrightarrow \left( { - x} \right).\left( { - 1} \right) < 4.\left( { - 1} \right)\) (nhân cả 2 vế với \(-1<0\)) 

\( \Leftrightarrow x < -4\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < -4\).

Câu d

\(1,5x > -9\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x >  - 9\) 

\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{2}x >  - 9.\dfrac{2}{3}\) (nhân cả 2 vế với \(\dfrac{2}{3}>0\)) 

\( \Leftrightarrow x > -6\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x > -6\). 

Giải thích sự tương đương sau:

a) \(x - 3 > 1 \Leftrightarrow x + 3 > 7\);

b) \(-x < 2 \Leftrightarrow  3x > -6\)

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa hai bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có \(x - 3 > 1\) 

\( \Leftrightarrow x > 1 + 3\)

\( \Leftrightarrow x > 4\)

Ta có \(  x + 3 > 7\)

\( \Leftrightarrow x > 7 - 3\)

\( \Leftrightarrow x > 4\)

Hai bất phương trình \(x - 3 > 1 \) và \( x + 3 > 7\) có cùng tập nghiệm nên tương đương.

Câu b

 Nhân cả hai vế của bất phương trình \(-x<2\) với số \(-3\) và bất đẳng thức đổi chiều, ta được \(3x>-6\).

Vậy hai bất phương trình \( - x < 2 \) và \(3x >  - 6\) tương đương.

Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) \(1,2x < -6\)

b) \(3x + 4 > 2x + 3\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân

Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế bất phương trình với 1 số âm thì ta được bất phương trình mới ngược chiều với bất phương trình ban đầu.

Hướng dẫn giải

Câu a

1,2x < -6 ⇔ x < -6 : 1,2 ⇔ x < -5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x/x < -5} và được biểu diễn trên trục số như sau:

Câu b

3x + 4 > 2x + 3 ⇔ 3x - 2x > 3 -4 ⇔ x > -1

Vậy tập hợ nghiệm của bất phương trình là S = {x/x > -1} và được biểu diễn trên trục số như sau:

Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) 2x - 3 > 0            

b) 3x + 4 < 0

c) 4 - 3x ≤ 0             

d) 5 - 2x ≥ 0

Phương pháp giải

Áp dụng

- Qui tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó.

- Quy tắc nhân với một số

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

+ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

+ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Hướng dẫn giải

Câu a

2x - 3 > 0  ⇔ 2x > 3 <=> x > 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x/x > } và được biểu diễn trên trục số như sau: 

Câu b

 3x + 4 < 0 ⇔ x < 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x/x < } và được biểu diến trên trục số như sau:

Câu c

 4 - 3x ≤ 0 ⇔ x ≥  

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x/x ≥ } và được biểu diễn trên trục số như sau:

Câu d

 5 - 2x ≥ 0 ⇔ 5 ≥ 2x ⇔ x ≤  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x/x ≤ } và được biểu diến trên trục số như sau:

Giải các bất phương trình:

a) 2x - 1 > 5

b) 3x - 2 < 4

c) 2 - 5x ≤ 17

d) 3 - 4x ≥ 19

Phương pháp giải

Áp dụng: Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân hai vế với một số.

Hướng dẫn giải

Câu a

 2x - 1 > 5 ⇔ 2x > 6 ⇔ x > 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x > 3

Câu b

 3x - 2 < 4 ⇔ 3x < 6 ⇔ x < 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x < 2

Câu c

2 - 5x ≤ 17 ⇔ -5x ≤ 15 ⇔ -x ≤ 3 ⇔ x ≥ -3 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ≥ -3 

Câu d

3 - 4x ≥ 19 ⇔ -4x ≥ 16 ⇔ x ≤ -4 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ≤ -4

Giải các bất phương trình:

a) \(\frac{2}{3}x > -6\)

b) \(-\frac{5}{6}x < 20\)

c) \(3 - \frac{1}{4}x > 2\)

d) \(5-\frac{1}{3}x > 2\).

Phương pháp giải

Áp dụng: Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân hai vế với một số.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
& \,\,{2 \over 3}x > - 6 \cr 
& \Leftrightarrow {3 \over 2}.{2 \over 3}x > {3 \over 2}.\left( { - 6} \right) \cr 
& \Leftrightarrow x > - 9 \cr} \)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x > -9\)

Câu b

\(\eqalign{
& \, - {5 \over 6}x < 20 \cr 
& \Leftrightarrow \left( { - {6 \over 5}} \right).\left( { - {5 \over 6}} \right).x > 20.\left( { - {6 \over 5}} \right) \cr 
& \Leftrightarrow x > - 24 \cr} \)

 Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x > -24\).

Câu c

\(\eqalign{
& \,3 - {1 \over 4}x > 2 \cr 
& \Leftrightarrow - {1 \over 4}x > 2 - 3 \cr 
& \Leftrightarrow - {1 \over 4}x > - 1 \cr 
& \Leftrightarrow \left( { - 4} \right).\left( { - {1 \over 4}} \right).x < \left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) \cr 
& \Leftrightarrow x < 4 \cr} \)

 Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < 4\)

Câu d

\(\eqalign{
& \,\,5 - {1 \over 3}x > 2 \cr 
& \Leftrightarrow - {1 \over 3}x > 2 - 5 \cr 
& \Leftrightarrow - {1 \over 3}x > - 3 \cr 
& \Leftrightarrow \left( { - 3} \right).\left( { - {1 \over 3}} \right).x < \left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) \cr 
& \Leftrightarrow x < 9 \cr} \)

 Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < 9\).

Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (kể cả bất phương trình có cùng tập nghiệm)

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Hướng dẫn giải

Câu a: Hình biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình:

\(x \le 12;\,\dfrac{1}{2}x \le 6;\,x - 5 \le 7\)

Câu b: Hình biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình: 

\(x \ge 8;\,x + 4 \ge 12;\, \dfrac{{ - 1}}{2}x \le  - 4\)

Đố. Kiểm tra xem giá trị x = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không:

a) \(x + 2x^2 - 3x^3 + 4x^4 - 5 < 2x^2 - 3x^3 + 4x^4 - 6\)

b) \((-0,001)x > 0,003.\)

Phương pháp giải

Bước 1: Giải tìm tập nghiệm của bất phương trình

Bước 2: Thay giá trị \(x=-2\) vào tập nghiệm của bất phương trình:

+) Nếu cho khẳng định đúng thì \(x=-2\) là nghiệm của bất phương trình

+) Nếu cho khẳng định sai thì \(x=-2\) không là nghiệm của bất phương trình.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(x + 2{x^2} - 3{x^3} + 4{x^4} - 5 < 2{x^2} \)\(\,- 3{x^3} + 4{x^4} - 6\)

\( \Leftrightarrow x + 2{x^2} - 3{x^3} + 4{x^4} - 2{x^2}\)\(\, + 3{x^3} - 4{x^4} <  - 6 + 5\)

\( \Leftrightarrow x <  - 1\)

Với \(x = -2\) ta có:

\(-2 < -1\) (khẳng định đúng)

Vậy \(x = -2\) là nghiệm của bất phương trình.

Câu b

\((-0,001)x > 0,003\)

\(\Leftrightarrow x < 0,003:\left( { - 0,001} \right) \)
\(\Leftrightarrow x < - 3 \)

Với \( x = -2\) ta có:

\(-2 < -3\) (khẳng định sai)

Vậy \(x = -2\) không là nghiệm của bất phương trình.

Cho bất phương trình \({x^2} > 0\)

a) Chứng tỏ \(x = 2, x = -3\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Có phải mọi giá trị của ẩn \(x\) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho hay không?

Hướng dẫn giải

Câu a

Thay \(x = 2\) vào bất phương trình \({x^2} > 0\) ta được:

\({2^2} > 0 \Leftrightarrow 4 > 0\) (khẳng định đúng).

Thay \(x = -3\) vào bất phương trình \({x^2} > 0\) ta được:

\({\left( { - 3} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow 9 > 0\) (khẳng định đúng).

Vậy \(x = 2; x = -3\) là nghiệm của bất phương trình \({x^2} > 0\).

Câu b

Với \(x = 0\) ta có: \({0^2} > 0 \Leftrightarrow 0 > 0\) (khẳng định sai)

Do đó \(x=0\) không là nghiệm của bất phương trình \({x^2} > 0\). 

Vậy không phải mọi giá trị của ẩn \(x\) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Tìm \(x\) sao cho

a) Tìm \(x\) sao cho

b) Giá trị của biểu thức \(-3x\) không lớn hơn giá trị của biểu thức \(-7x + 5\).

Phương pháp giải

- không âm tức là \(≥ 0\)

- không lớn hơn tức là \(≤\)

- Dựa vào dữ kiện của bài lập bất phương trình sau đó giải bất phương trình để tìm tập nghiệm.

Hướng dẫn giải

Câu a

Giá trị của biểu thức \(2x - 5\) không âm tức là:

 \(2x -5 ≥ 0\)

\(⇔ 2x ≥5\) (Chuyển vế và đổi dấu hạng tử -5)

\( \Leftrightarrow x ≥\dfrac{5}{2}\) (Chia cả hai vế cho 2 > 0, BPT không đổi chiều)

Vậy để giá trị của biểu thức \(2x - 5\) không âm thì \(x \geqslant \dfrac{5}{2}\).

Câu b

Giá trị của biểu thức \(-3x\) không lớn hơn giá trị của biểu thức \(-7x + 5\) tức là:

\( -3x ≤ -7x + 5 \)

\(⇔-3x + 7x ≤ 5\) (Chuyển vế và đổi dấu hạng tử -7x) 

\(⇔4x  ≤ 5\)

\( \Leftrightarrow x \leqslant \dfrac{5}{4}\)

Vậy để cho giá trị của \( -3x\) không lớn hơn giá trị của \(-7x + 5\) thì \(x \leqslant \dfrac{5}{4}\).

Một người có số tiền không quá \(70 000\) đồng gồm \(15\) tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá: loại \(2000\) đồng và loại \(5000\) đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu tờ giấy bạc loại \(5000\) đồng?

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt số tờ giấy bạc loại \(5000\) đồng làm ẩn, sau đó biểu diễn đại lượng còn lại theo ẩn.

Bước 2: Dựa vào đề bài ta lập được bất phương trình.

Bước 3: Giải bất phương trình.

Bước 4: Kết luận

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số tờ giấy bạc loại \(5000\) đồng. (với \(0 < x < 15, x\) nguyên) 

Số tờ giấy bạc loại \(2000\) đồng là \(15 - x\) 

Vì số tiền không quá \(70000 \) đồng nên ta có bất phương trình sau:

\(5000x + 2000(15 - x ) ≤ 70000\)

\( \Leftrightarrow 5000x + 30000 - 2000x ≤ 70000\)

\( \Leftrightarrow 3000x ≤ 40000\)

\( \Leftrightarrow x \leqslant 40000:3000\)

\( \Leftrightarrow x \leqslant \dfrac{{40}}{3}\)

Kết hợp với điều kiện thì \(0 < x \leqslant \dfrac{{40}}{3}\) mà \(x\) là số nguyên nên \(x\) có thể là số nguyên dương từ \(1\) đến \(13\).

Vậy số tờ giấy bạc loại \(5000\) đồng người ấy có thể có là các số nguyên dương từ \(1\) đến \(13\).

Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) \(\dfrac{{15 - 6x}}{3} > 5\)

b) \(\dfrac{{8 - 11x}}{4} < 13\)

c) \(\dfrac{1}{4}\left( {x - 1} \right) < \dfrac{{x - 4}}{6}\) 

d) \(\dfrac{{2 - x}}{3} < \dfrac{{3 - 2x}}{5}\)

Phương pháp giải

Áp dụng: Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân hai vế với một số.Phương pháp giải

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có

\(\eqalign{
& {{15 - 6x} \over 3} > 5 \cr 
& \Leftrightarrow 15 - 6x > 5.3 \cr 
& \Leftrightarrow 15 - 6x > 15  \cr 
& \Leftrightarrow - 6x > 0 \cr 
& \Leftrightarrow x < 0 \cr} \) 

Vậy nghiệm là \(x < 0\) và được biểu diễn trên trục số như sau:

Câu b

Ta có                                        

\(\eqalign{
& {{8 - 11x} \over 4} < 13 \cr 
& \Leftrightarrow 8 - 11x < 13.4  \cr 
& \Leftrightarrow - 11x < 44 \cr 
& \Leftrightarrow x > - 4 \cr} \)

Vậy nghiệm là \(x >  - 4\) và được biểu diễn trên trục số như sau: 

Câu c

Ta có

\(\eqalign{
& {1 \over 4}\left( {x - 1} \right) < {{x - 4} \over 6} \cr 
& \Leftrightarrow 12.{1 \over 4}\left( {x - 1} \right) < 12.{{x - 4} \over 6} \cr 
& \Leftrightarrow 3x - 3 < 2x - 8  \cr 
& \Leftrightarrow x < - 5 \cr} \)

Vậy nghiệm là \( x <  - 5\) và được biểu diễn trên trục số như sau: 

Câu d

Ta có

\(\eqalign{
& {{2 - x} \over 3} < {{3 - 2x} \over 5} \cr 
& \Leftrightarrow 10 - 5x < 9 - 6x  \cr 
& \Leftrightarrow x < - 1 \cr} \)

Vậy nghiệm là \(x <  - 1\) và được biểu diễn trên trục số như sau:  

Giải các bất phương trình:

a) \(8x + 3(x + 1) > 5x - (2x - 6)\)

b) \(2x(6x - 1) > (3x - 2)(4x +3)\)

Phương pháp giải

Áp dụng: Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân hai vế với một số.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(8x + 3(x + 1) > 5x - (2x - 6) \)

\(⇔ 8x + 3x + 3 > 5x – 2x + 6\)

\( \Leftrightarrow 8x + 3x - 5x + 2x > 6 - 3\)

\(⇔ 8x > 3\)

\( \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{8}\) (Chia cả hai vế cho 8 > 0, BPT không đổi chiều)

Vậy nghiệm của bất phương trình: \(x > \dfrac{3}{8}\)  

Câu b

\(2x(6x - 1) > (3x - 2)(4x +3)\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 12{x^2} - 2x > 12{x^2} + 9x - 8x - 6 \cr 
& \Leftrightarrow 12{x^2} - 2x > 12{x^2} + x - 6 \cr 
& \Leftrightarrow 12{x^2} - 2x - 12{x^2} - x > - 6 \cr 
& \Leftrightarrow - 3x > - 6 \cr 
& \Leftrightarrow x < \left( { - 6} \right):\left( { - 3} \right) \cr 
& \Leftrightarrow x < 2 \cr} \)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < 2\).

Đố: Trong một kì thi, bạn Chiến phải thi bốn môn Văn, Toán, Tiếng Anh và Hóa. Chiến đã thi ba môn và được kết quả như bảng sau:

Kì thi quy định muốn đạt loại giỏi phải có điểm trung bình các môn thi là 8 trở lên và không có môn nào bị điểm dưới 6. Biết môn Văn và Toán được tính hệ số 2. Hãy cho biết, để đạt loại giỏi bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán ít nhất là bao nhiêu?

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điểm thi môn Toán làm ẩn, đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Áp dụng cách tính trung bình cộng.

Bước 3: Từ đề bài lập bất phương trình, giải bất phương trình.

Bước 4: Kết luận.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là điểm thi môn Toán, theo đề bài ta có điều kiện: \(6 ≤ x ≤ 10\).

Vì môn Văn và Toán được tính hệ số 2 nên ta có điểm trung bình bốn môn của Chiến là:

\(\dfrac{{8.2 + 7 + 10 + x.2}}{6} = \dfrac{{33 + 2x}}{6}\)

Để được xếp loại giỏi thì điểm trung bình các môn thi là 8 trở lên nên ta có bất phương trình:

\(\dfrac{{33 + 2x}}{6} \geqslant 8\)

\( \Leftrightarrow 33 + 2x \geqslant 8.6\)

\(⇔33 + 2x ≥ 48\)

\( \Leftrightarrow 2x \geqslant 48 - 33\)

\(⇔2x ≥ 15\)

\( \Leftrightarrow x \geqslant 15:2\)

\(⇔x ≥ 7,5\)

Vậy để đạt được loại giỏi thì bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán ít nhất là \(7,5\).

Tìm sai lầm trong các “lời giải” sau:

a) Giải bất phương trình \(-2x > 23\). Ta có:

\(-2x > 23 ⇔ x > 23 + 2 ⇔ x > 25\).

b) Giải bất phương trình \(- \dfrac{3}{7}x > 12\) . Ta có:

 \( - \dfrac{3}{7}x > 12\)

\( \Leftrightarrow \left( { - \dfrac{7}{3}} \right).\left( { - \dfrac{3}{7}}x \right) > \left( { - \dfrac{7}{3}} \right).12 \)

\(\Leftrightarrow x >  - 28\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x > -28\).

Phương pháp giải

Áp dụng: Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân hai vế với một số.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(-2x > 23\)

\(⇔x < 23 : (-2)\) (chia cho số \(-2<0\) nên đổi chiều bất phương trình)

\(⇔x < -11,5\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x < -11,5\).

Câu b

\( - \dfrac{3}{7}x > 12\)

\( \Leftrightarrow \left( { - \dfrac{7}{3}} \right).\left( { - \dfrac{3}{7}x} \right) < \left( { - \dfrac{7}{3}} \right).12\)

\(⇔ x < -28\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < -28\).