Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

Theo quy tắc đổi dấu ta có \(-\dfrac{A}{B} = \dfrac{A}{-B}. \) Chẳng hạn, phân thức đối của \(\dfrac{4}{5 - x} là -\dfrac{4}{5 - x} = \dfrac{4}{-(5 - x)} = \dfrac{4}{x - 5}.\) Áp dụng điều này hãy điền những phân thức thích hợp vào những chỗ trống dưới đây:

a) \(-\dfrac{x^2 + 2}{1 - 5x} = ...\)

b) \(-\dfrac{4x + 1}{5 - x} = ...\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc đổi dấu: \( \dfrac{-A}{B}=\dfrac{A}{-B} = -\dfrac{A}{B}\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \( -\dfrac{x^{2}+2}{1-5x} =\dfrac{x^{2}+2}{-(1-5x)} =\dfrac{x^{2}+2}{5x-1}\);

Câu b: \( -\dfrac{4x+1}{5-x} =\dfrac{4x+1}{-(5-x)}=\dfrac{4x+1}{x-5}\)

Làm tính trừ các phân thức sau:

a) \(\dfrac{4x - 1}{3x^2y} - \dfrac{7x - 1}{3x^2 y}\)

b) \(\dfrac{4x + 5}{2x - 1} - \dfrac{5 - 9x}{2x - 1}\)

c) \(\dfrac{11x}{2x - 3} - \dfrac{x - 18}{3 - 2x}\)

d) \(\dfrac{2x - 7}{10x - 4} - \dfrac{3x + 5}{4 - 10x}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc trừ hai phân thức: \( \dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+(-\dfrac{C}{D})\) và quy tắc đổi dấu \( - \dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{B} = \dfrac{A}{{ - B}}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\( \dfrac{4x-1}{3x^{2}y}-\dfrac{7x-1}{3x^{2}y}\) \( =\dfrac{4x-1}{3x^{2}y}+\dfrac{-(7x-1)}{3x^{2}y}\)

\( =\dfrac{4x-1}{3x^{2}y}+\dfrac{-7x+1}{3x^{2}y}\)

\( =\dfrac{4x-1-7x+1}{3x^{2}y}\) \( =\dfrac{-3x}{3x^{2}y}=-\dfrac{1}{xy}\).

Câu b

\( \dfrac{4x+5}{2x-1}-\dfrac{5-9x}{2x-1}\) \( =\dfrac{4x+5}{2x-1}+\dfrac{-(5-9x)}{2x-1}\)\( =\dfrac{4x+5}{2x-1}+\dfrac{-5+9x}{2x-1}\)

\( =\dfrac{4x+5-5+9x}{2x-1}= \dfrac{13x}{2x-1}\)

Câu c

\( \dfrac{11x}{2x-3}-\dfrac{x-18}{3-2x}\) \( =\dfrac{11x}{2x-3}+\left(-\dfrac{x-18}{3-2x}\right)\)\( =\dfrac{11x}{2x-3}+\dfrac{x-18}{-(3-2x)}\)

\( =\dfrac{11x}{2x-3}+\dfrac{x-18}{2x-3}\) \( =\dfrac{11x+x-18}{2x-3}\)

\( =\dfrac{12x-18}{2x-3}=\dfrac{{6\left( {2x - 3} \right)}}{{2x - 3}}=6\)

Câu d

\( \dfrac{2x-7}{10x-4}-\dfrac{3x+5}{4-10x}\) \( =\dfrac{2x-7}{10x-4}+\left(-\dfrac{3x+5}{4-10x}\right)\)\( =\dfrac{2x-7}{10x-4}+\dfrac{3x+5}{-(4-10x)}\)

\( =\dfrac{2x-7}{10x-4}+\dfrac{3x+5}{10x-4}\)\( =\dfrac{2x-7+3x+5}{10x-4}\)\( =\dfrac{5x-2}{2(5x-2)}=\dfrac{1}{2}\)

Thực hiện các phép tính:

a) \(\dfrac{3}{2x + 6} - \dfrac{x - 6}{2x^2 + 6x}\)

b) \(x^2 + 1 - \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^2 - 1}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc trừ hai phân thức:

\( \dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left( { - \dfrac{C}{D}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Câu a: \( \dfrac{3}{2x+6}-\dfrac{x-6}{2x^{2}+6x}\) \( =\dfrac{3}{2(x+3)}+\dfrac{-(x-6)}{2x(x+3)}\)

\(=\dfrac{{3x}}{{2x(x + 3)}}+\dfrac{-x+6}{2x(x+3)}\)

\( =\dfrac{3x-x+6}{2x(x+3)}=\dfrac{2x+6}{2x(x+3)}\)

\(=\dfrac{{2(x + 3)}}{{2x(x + 3)}}=\dfrac{1}{x}\) 

Câu b: \( x^{2}+1-\dfrac{x^{4}-3x^{2}+2}{x^{2}-1}\) 

\( =x^{2}+1+\dfrac{-(x^{4}-3x^{2}+2)}{x^{2}-1}\)

\( = \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{{ - {x^4} + 3{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}\)

\( =\dfrac{(x^{2}+1)(x^{2}-1)-x^{4}+3x^{2}-2}{x^{2}-1}\) 

\( =\dfrac{x^{4}-1-x^{4}+3x^{2}-2}{x^{2}-1}\)

\( =\dfrac{3x^{2}-3}{x^{2}-1}=\dfrac{3(x^{2}-1)}{x^{2}-1}=3\).

Chứng tỏ rằng mỗi hiệu sau đây bằng một phân thức có tử bằng \(1:\)

a) \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}\)

b) \(\dfrac{1}{xy - x^2} - \dfrac{1}{y^2 - xy}\)

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc trừ hai phân thức:

\(\dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} + \left( { - \dfrac{C}{D}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Câu a

MTC \(=x(x+1)\)

\( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\)

\( = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{ - 1}}{{x + 1}} \)

\(= \dfrac{{x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{{ - x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\( =\dfrac{x+1-x}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x(x+1)}\)

Câu b

\(\eqalign{
& xy - {x^2} = x\left( {y - x} \right) \cr 
& {y^2} - xy = y\left( {y - x} \right) \cr} \)

MTC \(=xy\left( {y - x} \right)\)

\( \dfrac{1}{xy-x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}-xy}\)

\( =\dfrac{1}{x(y-x)}-\dfrac{1}{y(y-x)}\)

\( = \dfrac{1}{{x(y - x)}} + \dfrac{{ - 1}}{{y(y - x)}}\)

\( =\dfrac{y}{xy(y-x)}+\dfrac{-x}{xy(y-x)}\)

\(=\dfrac{y-x}{xy(y-x)}=\dfrac{1}{xy}\)

Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau:

\(\dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\)\(\,+\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}+\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}\)\(\,+\dfrac{1}{(x+4)(x+5)}+\dfrac{1}{(x+5)(x+6)}\)

Phương pháp giải

Tách mỗi phân thức trong tổng thành hiệu của hai phân thức, sau đó rút gọn.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\( \dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\)

\( \dfrac{1}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\)

\( \dfrac{1}{(x+2)(x+3)}=\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}\)

\( \dfrac{1}{(x+3)(x+4)}=\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4}\)

\( \dfrac{1}{(x+4)(x+5)}=\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{1}{x+5}\)

\( \dfrac{1}{(x+5)(x+6)}=\dfrac{1}{x+5}-\dfrac{1}{x+6}\)

Do đó, cộng vế với vế của các dòng trên, ta được: 

\( \dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\)\(\,+\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}+\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}\)\(\,+\dfrac{1}{(x+4)(x+5)}+\dfrac{1}{(x+5)(x+6)}\)

\( =\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\)\(+\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}\)\(+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4}\)\(+ \dfrac{1}{x+4}-\dfrac{1}{x+5}\)\(+\dfrac{1}{x+5}-\dfrac{1}{x+6}\)

\( =\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+6} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{ - 1}}{{x + 6}}\)

\(= \dfrac{{x + 6}}{{x\left( {x + 6} \right)}} + \dfrac{{ - x}}{{x\left( {x + 6} \right)}}\)

\(=\dfrac{x+6-x}{x(x+6)}=\dfrac{6}{x(x+6)}\)

Làm các phép tính sau:

a) \( \dfrac{4xy - 5}{10x^3y} - \dfrac{6y^2 - 5}{10x^3y}\)

b) \(\dfrac{7x + 6}{2x(x + 7)} - \dfrac{3x + 6}{2x^2 + 14x}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc trừ hai phân thức:

\(\dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} + \left( { - \dfrac{C}{D}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{4xy - 5}}{{10{x^3}y}} - \dfrac{{6{y^2} - 5}}{{10{x^3}y}}\\
= \dfrac{{4xy - 5}}{{10{x^3}y}} + \dfrac{{ - \left( {6{y^2} - 5} \right)}}{{10{x^3}y}}\\
= \dfrac{{4xy - 5}}{{10{x^3}y}} + \dfrac{{ - 6{y^2} + 5}}{{10{x^3}y}}\\
= \dfrac{{4xy - 5 - 6{y^2} + 5}}{{10{x^3}y}}\\
= \dfrac{{4xy - 6{y^2}}}{{10{x^3}y}} = \dfrac{{2y\left( {2x - 3y} \right)}}{{2y.5{x^3}}}\\
= \dfrac{{2x - 3y}}{{5{x^3}}}
\end{array}\) 

Câu b

Ta có: \(\dfrac{7x + 6}{2x(x + 7)} - \dfrac{3x + 6}{2x^2 + 14x}\)

\(= \dfrac{7x + 6}{2x(x + 7)} - \dfrac{3x + 6}{2x(x + 7)}\)

\(= \dfrac{7x + 6}{2x(x + 7)} + \dfrac{-(3x + 6)}{2x^2 + 14x}\)

\(= \dfrac{7x + 6}{2x(x + 7)} + \dfrac{-3x - 6}{2x(x + 7)}\)

\(= \dfrac{7x + 6 - 3x - 6}{2x(x + 7)}\)

\(= \dfrac{4x}{2x(x + 7)}\)

\(= \dfrac{2}{x + 7}\)

Dùng quy tắc đổi dấu để thực hiện phép tính:

a) \(\dfrac{4x + 13}{5x(x - 7)} - \dfrac{x - 48}{5x (7 - x)}\)

b) \(\dfrac{1}{x - 5x^2} - \dfrac{25x - 15}{25x^2 - 1}\)

Phương pháp giải

Áp dụng:

- Quy tắc trừ hai phân thức: \( \dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left( { - \dfrac{C}{D}} \right)\)

- Quy tắc đổi dấu: \(  \dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{-B} \).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
& {{4x + 13} \over {5x\left( {x - 7} \right)}} - {{x - 48} \over {5x\left( {7 - x} \right)}} \cr & ={{4x + 13} \over {5x\left( {x - 7} \right)}} + \left(-{{x - 48} \over {5x\left( {7 - x} \right)}}\right) \cr
& = {{4x + 13} \over {5x\left( {x - 7} \right)}} + {{x - 48} \over { - 5x\left( {7 - x} \right)}} \cr 
& = {{4x + 13} \over {5x\left( {x - 7} \right)}} + {{x - 48} \over {5x\left( {x - 7} \right)}} \cr 
& = {{4x + 13 + x - 48} \over {5x\left( {x - 7} \right)}} \cr 
& = {{5x - 35} \over {5x\left( {x - 7} \right)}} = {{5\left( {x - 7} \right)} \over {5x\left( {x - 7} \right)}} = {1 \over x} \cr} \)

Câu b

\(\eqalign{
& {1 \over {x - 5{x^2}}} - {{25x - 15} \over {25{x^2} - 1}} \cr & ={1 \over {x - 5{x^2}}} +\left(- {{25x - 15} \over {25{x^2} - 1}} \right)\cr 
& = {1 \over {x\left( {1 - 5x} \right)}} + {{25x - 15} \over { - \left( {25{x^2} - 1} \right)}} \cr 
& = {1 \over {x\left( {1 - 5x} \right)}} + {{25x - 15} \over {1 - 25{x^2}}} \cr 
& = {1 \over {x\left( {1 - 5x} \right)}} + {{25x - 15} \over {\left( {1 - 5x} \right)\left( {1 + 5x} \right)}} \cr & = {1+5x \over {x\left( {1 - 5x} \right).(1+5x)}} + {{x.(25x - 15)} \over {x.\left( {1 - 5x} \right)\left( {1 + 5x} \right)}} \cr 
& = {{1 + 5x + x\left( {25x - 15} \right)} \over {x\left( {1 - 5x} \right)\left( {1 + 5x} \right)}} \cr 
& = {{1 + 5x + 25{x^2} - 15x} \over {x\left( {1 - 5x} \right)\left( {1 + 5x} \right)}} \cr 
& = {{1 - 10x + 25{x^2}} \over {x\left( {1 - 5x} \right)\left( {1 + 5x} \right)}}\cr&= \frac{{{1^2} - 2.1.5x + {{\left( {5x} \right)}^2}}}{{x\left( {1 - 5x} \right)\left( {1 + 5x} \right)}} \cr 
& = {{{{\left( {1 - 5x} \right)}^2}} \over {x\left( {1 - 5x} \right)\left( {1 + 5x} \right)}} = {{1 - 5x} \over {x\left( {1 + 5x} \right)}} \cr} \)

Thực hiện các phép tính:

a) \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 3}} - \dfrac{{1 - x}}{{x + 3}} - \dfrac{{2x\left( {1 - x} \right)}}{{9 - {x^2}}}\)

b) \(\dfrac{{3x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 3}}{{1 - {x^2}}}\)

Phương pháp giải

Áp dụng:

- Quy tắc trừ hai phân thức: \( \dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left( { - \dfrac{C}{D}} \right)\)

- Quy tắc đổi dấu: \(  -\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ A}}{-B} \).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\eqalign{
& \;{{x + 1} \over {x - 3}} - {{1 - x} \over {x + 3}} - {{2x\left( {1 - x} \right)} \over {9 - {x^2}}} \cr
& = {{x + 1} \over {x - 3}} + {{ - \left( {1 - x} \right)} \over {x + 3}} + {{2x\left( {1 - x} \right)} \over { - \left( {9 - {x^2}} \right)}} \cr
& = {{x + 1} \over {x - 3}} + {{x - 1} \over {x + 3}} + {{2x\left( {1 - x} \right)} \over {{x^2} - 9}} \cr
& = {{x + 1} \over {x - 3}} + {{x - 1} \over {x + 3}} + {{2x - 2{x^2}} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{(x + 1)(x+3)} \over {(x - 3)(x+3)}} + {{(x - 1)(x-3)} \over {(x + 3)(x-3)}} + {{2x - 2{x^2}} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cr 
& = {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + 2x - 2{x^2}} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cr
& = {{{x^2} + 3x + x + 3 + {x^2} - 3x - x + 3 + 2x - 2{x^2}} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cr
& = {{2x + 6} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\cr& = {{2\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = {2 \over {x - 3}} \cr} \)

Câu b

\(\eqalign{
& \,\,{{3x + 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - {1 \over {x + 1}} + {{x + 3} \over {1 - {x^2}}} \cr
& = {{3x + 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + {{ - 1} \over {x + 1}} + {{ - \left( {x + 3} \right)} \over { - \left( {1 - {x^2}} \right)}} \cr
& = {{3x + 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + {{ - 1} \over {x + 1}} + {{ - \left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} - 1}} \cr
& = {{3x + 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + {{ - 1} \over {x + 1}} + {{ - \left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{(3x + 1)(x+1)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2(x+1)}}} + {{ - (x-1)^2} \over {(x + 1)(x-1)^2}} + {{ - \left( {x + 3} \right)(x-1)} \over {\left( {x - 1} \right)^2\left( {x + 1} \right)}} \cr 
& = {{\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} \cr
& = {{3{x^2} + 4x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} \cr
& = {{3{x^2} + 4x + 1 - {x^2} + 2x - 1 - {x^2} - 2x + 3} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} \cr
& = {{{x^2} + 4x + 3} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} = {{{x^2} + x + 3x + 3} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} \cr
& = {{\left( {{x^2} + x} \right) + \left( {3x + 3} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} \cr
& = {{x\left( {x + 1} \right) + 3\left( {x + 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} \cr
& = {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} = {{x + 3} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr} \)

Một công ty may phải sản xuất \(10000\) sản phẩm trong \(x\) (ngày). Khi thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được \(80\) sản phẩm.

a) Hãy biểu diễn qua \(x\):

- Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch

- Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày

- Số sản phẩm làm thêm trong một ngày

b) Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với \(x = 25\)

Phương pháp giải

Áp dụng bài toán: công việc = năng suất \(\times\) thời gian.

Hướng dẫn giải

Câu a

+ Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch là: \(\dfrac{{10000}}{x}\) (sản phẩm)

+ Số sản phẩm làm được trên thực tế là: \(10000+80=10080\) (sản phẩm)

Khi thực hiện đã làm xong sớm một ngày nên số ngày làm việc thực tế là: \(x - 1\) (ngày)

\(⇒\) Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày là: \(\dfrac{{10080}}{{x - 1}}\) (sản phẩm)

+ Số sản phẩm làm thêm trong một ngày là: \(\dfrac{{10080}}{{x - 1}} - \dfrac{{10000}}{x}\) (sản phẩm)

Câu b: Với \(x = 25\), số sản phẩm làm thêm được trong một ngày là:

\(\dfrac{{10080}}{{25 - 1}} - \dfrac{{10000}}{{25}} = 420 - 400 = 20\) (sản phẩm)

Vậy \(x = 25\) thì làm thêm được \(20\) sản phẩm mỗi ngày.

Đố. Cho phân thức \(\dfrac{{2{\rm{x}} + 1}}{{{x^2} - 3}}\). Đố em tìm được một phân thức mà khi lấy phân thức đã cho trừ đi phân thức phải tìm thì được một phân thức bằng phân thức đối của phân thức đã cho.

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc trừ hai phân thức đại số và định nghĩa phân thức đối.

Hướng dẫn giải

Gọi \(M\) là phân thức cần tìm, theo đề bài ta có:

\(\dfrac{2x + 1}{x^2 - 3} - M = - \dfrac{2x + 1}{x^2 - 3}\)

\(\Rightarrow M = \dfrac{2x + 1}{x^2 - 3} + \dfrac{2x + 1}{x^2 - 3} = \dfrac{4x + 2}{x^2 - 3}\)

Vậy phân thức cần tìm là phân thức \(\dfrac{4x + 2}{x^2 - 3}\)