Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 2: Hàm số bậc nhất

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất ? Hãy xác định các hệ số a, b của chúng và xét xem hàm số bậc nhất nào đồng biến, nghịch biến

a) \(y = 1 - 5x\)

b) \(y = -0,5x\)

c) \(y = \sqrt{2}(x - 1) + \sqrt{3}\)

d) \(y = 2x^2 + 3\)

Phương pháp giải

+) Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: 

\(y=ax+b\);   \(a,\ b\) là số cho trước,  \(a \ne 0\).

+) Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị của \(x\) trên \(\mathbb{R}\) và có tính chất sau:

Đồng biến trên \(\mathbb{R}\)  khi \( a > 0\).

Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)  khi \(a < 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a: \(y = 1 - 5x\) là một hàm số bậc nhất với \(a = -5, b = 1\). Đó là một hàm số nghịch biến vì \(-5 < 0\)

Câu b: \(y = -0,5x\) là một hàm bậc nhất với \(a = -0,5, b = 0\). Đó là một hàm số nghịch biến vì \(-0,5 < 0\)

Câu c: \(y = \sqrt{2}(x - 1) + \sqrt{3}\) là một hàm số bậc nhất với \(a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3}-\sqrt{2}\). Đó là một hàm số đồng biến vì \(\sqrt{2} > 0\)

Câu d: \(y = 2x^2 + 3\) không phải là một hàm số bậc nhất vì nó không có dạng \(y = ax + b, a\neq 0\)

Cho hàm số bậc nhất \(y = (m - 2)x + 3\). Tìm các giá trị của m để hàm số:

a) Đồng biến

b) Nghịch biến

Phương pháp giải

Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị của \(x\) trên \(\mathbb{R}\) và có tính chất sau:

Đồng biến trên \(\mathbb{R}\)  khi \( a > 0\).

Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)  khi \(a < 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Hàm số: \(y = (m - 2)x + 3\) đồng biến trên R:

\(\Leftrightarrow m-2>0\Leftrightarrow m>2\)

Câu b: Hàm số: \(y = (m - 2)x + 3\) nghịch biến trên R:

\(\Leftrightarrow m-2<0\Leftrightarrow m<2\)

Một hình chữ nhật có các kích thước là 20cm và 30cm. Người ta bớt mỗi kích thước của hình đó đi x (cm) được hình chữ nhật mới có chu vi là y (cm). Hãy lập công thức tính y theo x

Phương pháp giải

Hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài lần lượt là \(a,\ b\) có chu vi là: \(C=(a+b).2\)

Hướng dẫn giải

Khi bớt mỗi kích thước \(x\) \((cm)\) thì hình chữ nhật mới  có chiều rộng và chiều dài lần lượt là: \(20 - x\)  \((cm)\) và \(30 - x\)  \((cm)\). 

Khi đó chu vi \(y\) của hình chữ nhật là:

\(y = 2{\left[ {(20 - x) + (30 - x)} \right]}\)

\(\Leftrightarrow y = 2(20-x +30 -x)\)

\(\Leftrightarrow y = 2(50-2x)\)

\(\Leftrightarrow y = 2.50-2.2x\)

\(\Leftrightarrow y = 100-4x\) \((cm)\)

Hãy biểu biễn các điểm sau trên mặt phẳng tọa độ:

\(A(-3; 0), B(-1; 1), C(0; 3), D(1; 1), E(3; 0), E(3; 0), F(1; -1), G(0; -3), H(-1; -1)\)

Phương pháp giải

+) Điểm \(A(x_0; y_0)\) thì tung độ là \(x_0\) và hoành độ là \(y_0\).

+) Điểm \(B(0; b)\) nằm trên trục tung tại vị trí \(b\).

+) Điểm \(C(c; 0)\) nằm trên trục hoành tại vị trí \(c\).

Hướng dẫn giải

Cho hàm số bậc nhất \(y = ax + 3\). Tìm hệ số a, biết rằng khi \(x = 1 \Rightarrow y = 2,5\)

Phương pháp giải

Hàm số \(y=ax+b\) đi qua điểm \(A(x_0; y_0)\) thì tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn công thức hàm số. Tức là: \(y_0=a.x_0+b\).

Hướng dẫn giải

Thay \(x=1,\ y=2,5\) vào công thức hàm số \(y = ax + 3\), ta được:

\( 2,5=1.a+3 \) 

\(\Leftrightarrow 2,5= a+3 \)

\(\Leftrightarrow a=2,5-3\)

\(\Leftrightarrow a=-0,5\).

Vậy \(a=-0,5\) và hàm số đó là \(y=-0,5x+3\).

Với những giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất ?

a) \(y=\sqrt{5 - m}(x - 1)\);

b) \(y = \dfrac{m + 1}{m - 1}x +3,5\)

Phương pháp giải

+) Hàm số \(y=ax+b\) là hàm bậc nhất nếu \(a \ne 0\).

+) Điều kiện để căn thức \(\sqrt A\) có nghĩa là \(A \ge 0\).

+) Phân thức \(\dfrac{A}{B} \) có nghĩa khi \(B \ne 0\). 

Hướng dẫn giải

Câu a

\(y=\sqrt{5 - m}(x - 1)\) trở thành hàm số bậc nhất thì:

\(5-m>0\Leftrightarrow m<5\)

Câu b

\(y=\frac{m + 1}{m - 1} x + 3,5\) trở thành hàm số bậc nhất thì:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{m+1}{m-1}\neq 0\\ m-1\neq 0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\neq \pm 1\)

Cho hàm số bậc nhất \(y = (1 - \sqrt{5}) x - 1\)

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?

b) Tính giá trị của y khi \(x = 1 + \sqrt{5}\)

c) Tính giá trị của x khi \(y = \sqrt{5}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: \(1<\sqrt{5}\Leftrightarrow 1-\sqrt{5}<0\)

Vậy hàm số \(y = (1 - \sqrt{5}) x - 1\) nghịch biến trên R.

Câu b: Ta có

\(x = 1 + \sqrt{5}\)

\(\Rightarrow y=(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})-1=-4-1=-5\)

Câu c: Ta có:

\(y=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow \sqrt{5}=(1-\sqrt{5})x-1\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}=-\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)