Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong số các đường thẳng sau:

a) \(y = 1,5x + 2\)                 b) \(y = x + 2\)                     c) \(y = 0,5x - 3\)

d) \(y = x - 3\)                       e) \(y = 1,5x - 1\)               g) \(y = 0,5x + 3\)

Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng: \((d)\): \(y=ax+b\), \((a \ne 0)\)  và \((d')\): \(y=a'x+b'\)  \((a' \ne 0)\). Khi đó:

• \((d)\) // \((d')  \Leftrightarrow a = a'\) và \(b \ne b'\)
• \((d)\) cắt \((d')  \Leftrightarrow a \ne a'\)
• \((d)\) trùng \((d') \Leftrightarrow  a = a'\)  và \(b=b'\) 

Hướng dẫn giải

Quan sát hệ số a và b của các đường thẳng trên, ta thấy rằng các cặp đường thẳng cắt nhau đó là:

\(y = 1,5x + 2\) và \(y = x + 2\)

\(y = x + 2\) và \(y = 0,5x - 3\)

\(y = 1,5x + 2\) và \(y = 0,5x + 3\)

Các cặp đường thẳng song song là

\(y = 1,5x + 2\) và \(y = 1,5x - 1\)

\(y = x + 2\) và \(y = x - 3\)

\(y = 0,5x - 3\) và \(y = 0,5x + 3\)

Cho hàm số bậc nhất \(y = mx + 3\) và \(y = (2m + 1)x - 5\). Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau

b) Hai đường thẳng cắt nhau

Phương pháp giải

a) Điều kiện để hàm số đã cho là hàm bậc nhất là \(a \ne 0\).

Hai đường thẳng: \((d)\): \(y=ax+b\), \((a \ne 0)\)  và \((d')\): \(y=a'x+b'\)  \((a' \ne 0)\) song song khi và chỉ khi  \(a = a'\) và \(b \ne b'\) 

b) Điều kiện để hàm số đã cho là hàm bậc nhất là \(a \ne 0\).

Hai đường thẳng: \((d)\): \(y=ax+b\), \((a \ne 0)\)  và \((d')\): \(y=a'x+b'\)  \((a' \ne 0)\) cắt nhau khi và chỉ khi \( a \ne a'\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Để hai đường thẳng song song thì:

\(\left\{\begin{matrix} m=2m+1\\ 3\neq -5(luon dung) \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=-1\)

Câu b: Để hai đường thẳng cắt nhau thì:

\(m\neq 2m+1\Leftrightarrow m\neq -1\)

Cho hàm số \(y = ax + 3\). Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng \(y = -2x\)

b) Khi \(x = 2\) thì hàm số có giá trị \(y = 7\)

Phương pháp giải

a) Đồ thị hàm số \(y=ax+b\, (a\ne 0)\) song song với đồ thị hàm số \(y=a'x+b'\) \((a' \ne 0)\) thì \(a=a'\) và \(b \ne b'\).

b) Thay các giá trị \(x=2,\ y=7\) vào công thức hàm số ta tìm được \(a\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Để hai hàm số \(y = ax + 3\) và \(y = -2x\) song song với nhau thì hệ số đứng trước x phải bằng nhau.

Tức là: \(a = -2\)

Câu b

Với \(x = 2\), \(y = 7\) thì hàm số trở thành:

\(7=2a+3\Rightarrow a=2\)

Cho hàm số \(y = 2x + b\). Hãy xác định hệ số b trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-3\)

b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \(A(1; 5)\)

Phương pháp giải

a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(y_0\) thì đồ thị hàm số đi qua điểm \(M(0; y_0)\). Thay tọa độ \(M\) vào công thức hàm số tìm được \(b\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\) vào công thức hàm số ta tìm được \(b\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-3\) có nghĩa là \(x=0;y=-3\)

\(\Leftrightarrow -3=0.2+b\Rightarrow b=-3\)

Câu b

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(1; 5)\) có nghĩa là với \(x=1\Rightarrow y=5\)

\(\Leftrightarrow 5=2.1+b\Rightarrow b=3\)

Cho hai hàm số bậc nhất \(y = 2x + 3k\) và \(y = (2m + 1)x + 2k - 3\)

Tìm điều kiện đối với m và k để đồ thị của hai hàm số là:

a) Hai đường thẳng cắt nhau

b) Hai đường thẳng song song với nhau

c) Hai đường thằng trùng nhau

Phương pháp giải

- Điều kiện để hàm số \(y=ax+b\) là hàm số bậc nhất là \((a \ne 0)\)

- Hai đường thẳng: \((d)\): \(y=ax+b\), \((a \ne 0)\)  và \((d')\): \(y=a'x+b'\)  \((a' \ne 0)\):

• \((d)\) cắt \((d')  \Leftrightarrow a \ne a'\)
• \((d)\) // \((d')  \Leftrightarrow a = a'\) và \(b \ne b'\)
• \((d)\) \(\equiv\) \((d') \Leftrightarrow  a = a'\)  và \(b=b'\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Hai đường thẳng cắt nhau:

\(\Leftrightarrow 2\neq 2m+1;k\epsilon \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow m\neq -\frac{1}{2}\)

Câu b

Hai đường thẳng song song:

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2m+1\\ 3k\neq 2k-3 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=-\frac{1}{2}\\ k\neq -3 \end{matrix}\right.\)

Câu c

Hai đường thẳng trùng nhau:

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2m+1\\ 3k= 2k-3 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=-\frac{1}{2}\\ k= -3 \end{matrix}\right.\)

a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

\(y = \frac{2}{3}x + 2\); \(y = - \frac{3}{2}x + 2\)

b) Một đường thẳng song song với trục hoành Ox, cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 1, cắt các đường thẳng \(y = \frac{2}{3}x + 2\) và \(y = - \frac{2}{3}x + 2\) theo thứ tự tại hai điểm M và N. Tìm tọa độ của hai điểm M và N

Hướng dẫn giải

Câu a

Đồ thị được vẽ như hình bên:

Câu b

Vì M thuộc đồ thị \(y=1\) và \(y = \frac{2}{3}x + 2\) 

\(\Rightarrow \frac{2}{3}x_M+2=1\Rightarrow x_M=\frac{-3}{2}\)

\(\Rightarrow M\left ( -\frac{3}{2};1 \right )\)

Vì N thuộc đồ thị \(y=1\) và \(y = - \frac{3}{2}x + 2\)

\(\Rightarrow -\frac{3}{2}x_N+2=1\Rightarrow x_N=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow N\left ( \frac{2}{3};1 \right )\)

Cho hàm số bậc nhất \(y = ax - 4 (1)\). Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng \(y = 2x - 1\) tại điểm có hoành độ bằng 2

b) Đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng \(y = -3x + 2\) tại điểm có tung độ bằng 5

Phương pháp giải

a) Cho hai hàm số bậc nhất \(y=ax+b,\ y=a'x+b'\). Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(ax+b=a'x+b'\)      \((1)\) 

Thay hoành độ giao điểm vào phương trình \((1)\), ta tìm được \(a\).

b) Thay tung độ giao điểm vào phương trình hàm số đã biết các hệ số ta tìm được tọa độ giao điểm.

Thay tọa độ giao điểm vừa tìm được vào phương trình hàm số ban đầu ta tìm được \(a\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Giả sử 2 hàm số cắt nhau tại A, hoành độ điểm cắt phương trình (1) là \(x_A=2\), mà điểm đó cũng thuộc hàm số \(y = 2x - 1\) nên giao điểm của 2 hàm số này có tọa độ cụ thể là:

\(y =2.2-1=3\Rightarrow A(2;3)\)

Thế tọa độ điểm A vào phương trình (1):

\(3=a.2-4\Rightarrow a=\frac{7}{2}\)

Câu b

Giả sử 2 hàm số cắt nhau tại B, tung độ điểm cắt phương trình (1) là \(y_B=5\), mà điểm đó cũng thuộc hàm số \(y = -3x + 2\) nên giao điểm của 2 hàm số này có tọa độ cụ thể là:

\(5=-3.x+2\Rightarrow x=-1\Rightarrow B(-1;5)\)

Thế tọa độ điểm B vào phương trình (1):

\(5=-1.a-4\Rightarrow a=-9\)