Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

1. Giải bài 27 trang 58 SGK Toán 9 tập 1

Cho hàm số bậc nhất \(y = ax + 3\)

a) Xác định hệ số góc a, biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm \(A(2; 6)\)

b) Vẽ đồ thị của hàm số

Phương pháp giải

a)  Thay tọa độ điểm \(A\) vào công thức hàm số \(y=ax+3\) ta tìm được \(a\).

b) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\): Đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0)\) là đường thẳng:

Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\) 

Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\) 

Xác định tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\) sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  \(y=ax+b \, \, (a\neq 0).\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Hàm số đi qua điểm \(A(2; 6)\)

\(\Rightarrow 6=2a+3\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)

Câu b

Vẽ đồ thị hàm số: \(y=\frac{3}{2}x+3\)

Hàm số qua các điểm:

\(A(-2;0);B(0;3)\)

2. Giải bài 28 trang 58 SGK Toán 9 tập 1

Cho hàm số  \(y = -2x + 3\)
a) Vẽ đồ thị của hàm số
b) Tính góc tạo bởi đường thẳng \(y = -2x + 3\) và trục Ox (làm tròn đến phút)

Phương pháp giải

a) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\): Đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0)\) là đường thẳng:

Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\) 

Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\) 

Xác định tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\) sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  \(y=ax+b \, \, (a\neq 0).\)

b) Góc tạo bởi đường thẳng \(y=a x+b \, \ (a \neq 0)\) là góc \(\alpha \) ta có: \(tan \alpha = a.\)

Với \(a<0\), góc \(\alpha\) là góc tù.

Với \(a>0\), góc \(\alpha\) là góc nhọn.

Sử dụng các công thức lượng giác để tính góc cần tìm: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khi đó: \(\tan  B = \dfrac{AC}{AB}.\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Hàm số qua các điểm:

\(A(0;3);B(2;-1)\)

Câu b

Gọi C là giao điểm của hàm số với trục hoành.

Bằng phương pháp tính toán và bằng hình vẽ, ta nhận thấy rằng:

\(y_C=0\Rightarrow x_C=\frac{3}{2}\Rightarrow C\left ( \frac{3}{2};0 \right )\)

Xét tam giác AOC vuông tại O (với O là gốc tọa độ)

\(tanACO=\frac{OA}{OC}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2\Rightarrow \widehat{ACO}\approx 63^o26'\)

3. Giải bài 29 trang 59 SGK Toán 9 tập 1

Xác định hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(a = 2\) và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(1,5\)

b) \(a = 3\) và đồ thị của hàm số đi qua điểm \(A(2; 2)\)

c) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng \(y = \sqrt{3}x\) và đi qua điểm \(B(1; \sqrt{3} + 5)\)

Phương pháp giải

a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(x_0\) thì tung độ bằng \(0\).  Tức là điểm \(A(x_0; 0)\) thuộc đồ thị hàm số. Thay tọa độ điểm \(A\) vào công thức hàm số ta tìm được \(b\).

b) Biết \(a\), thay tọa độ điểm điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(y=ax+b\) ta tìm được \(b\).

c) Đồ thị hàm số \(y=ax+b\) song song với đường thẳng \(y=a' x\) thì \(a=a'; b\ne 0\). Thay tọa độ điểm \(B\) vào phương trình ta tìm được \(b\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Hàm số đã cho cắt trục hoành có hoành độ bằng \(1,5\), giả sử điểm cắt là điểm C và có hệ số góc là 2 nên:

\(\Rightarrow C(1,5;0)\)

\(\Rightarrow 0=1,5.2+b\Rightarrow b=-3\)

Hàm số cần tìm là: \(y=2x-3\)

Câu b

Hàm số đã cho đi qua điểm \(A(2; 2)\) và có hệ số góc là 3 nên:

\(2=3.2+b\Rightarrow b=-4\)

Hàm số cần tìm là:

\(y=3x-4\)

Câu c

Vì đồ thị của hàm số đã cho song song với đường thẳng \(y = \sqrt{3x}\) nên nó có hệ số góc là \(a =\sqrt{ 3}\)

 Do đó hàm số đã cho có dạng:

\(y=\sqrt{3}x+b\)

Đồ thị hàm số qua \(B(1; \sqrt{3} + 5)\)

\(\Rightarrow \sqrt{3}+5=\sqrt{3}.1+b\Rightarrow b=5\)

Hàm số cần tìm là: \(y=\sqrt{3}x+5\)

4. Giải bài 30 trang 59 SGK Toán 9 tập 1

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số sau: \(y =\frac{1}{2} x + 2\); \(y = -x + 2\)

b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(y =\frac{1}{2} x + 2\) và \(y = -x + 2\) với trục hoành theo thứ tự là A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là C. Tính các góc của tam giác ABC (làm tròn đến độ)

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét)

Phương pháp giải

Chúng ta kết hợp việc vẽ đồ thị hàm số, tìm tọa độ giao điểm và tính toán các độ lớn để giải quyết bài này.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đồ thị được vẽ như hình:

Câu b

Bằng hình vẽ và các phép tính, ta tìm được tọa độ của 3 điểm A, B, C đó là:

\(A(-4;0);B(2;0);C(0;2)\)

Dễ dàng chứng minh được tam giác COB vuông cân tại O (O là gốc tọa độ) nên:

\(\widehat{B}=45^o\)

Dùng công thức lượng giác đối với tam giác AOC vuông tại O, ta có:

\(tanA=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{A}\approx 26,56^o\)

\(\widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}\approx 108,43^o\)

Câu c: Ta có

\(AB = 6 (cm)\)

\(AC=\sqrt{AO^2+OC^2}=2\sqrt{5}(cm)\)

\(BC=\sqrt{BO^2+OC^2}=2\sqrt{2}(cm)\)

Chu vi tam giác là:

\(P=AB+BC+AC=2(3+\sqrt{5}+\sqrt{2})(cm)\)

Diện tích tam giác:

\(S=\frac{1}{2}CO.AB=\frac{1}{2}.2.6=6(cm^2)\)

5. Giải bài 31 trang 59 SGK Toán 9 tập 1

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = x + 1; y =\frac{1}{\sqrt{3}} x + \sqrt{3}; y = \sqrt{3}x - \sqrt{3}\) 

b) Gọi \(\alpha, \beta, \gamma\) lần lượt là các góc tạo bởi các đường thẳng trên và trục Ox.

Chứng minh rằng \(tg\alpha = 1, tg\beta = \frac{1}{\sqrt{3}}, tg\gamma = \sqrt{3}\)

Tính số đo các góc \(\alpha, \beta, \gamma\)

Phương pháp giải

Với bài toán số 31 này kết hợp hình học, ta cần vẽ hàm số, sau đó sử dụng các công thức đại số để tính toán các giá trị lượng giác.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đồ thị như hình:

Câu b

\(tan\alpha=\frac{OA}{OF}=1\)

\(tan\beta=\frac{OB}{OD}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(tan\gamma =\frac{OC}{OE}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \widehat{\alpha }=45^o, \widehat{\beta }=30^o,\widehat{\gamma }=60^o\)