Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..):

a) $\small 2x^2-17x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...$

b) $\small 5x^2-x-35=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...$

c) $\small 8x^2-x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...$

d) $\small 25x^2+10x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...$

Phương pháp giải

Công thức tính $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ thì

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\small 2x^2-17x+1=0$

$\small \Delta =(-17)^2-4.2.1=281$

$\small x_1+x_2=\frac{17}{2}$

$\small x_1.x_2=\frac{1}{2}$

Câu b

$\small 5x^2-x-35=0$

$\small \Delta =(-1)^2-4.5.(-35)=701$

$\small x_1+x_2=\frac{1}{5}$

$\small x_1.x_2=-7$

Câu c

$\small 8x^2-x+1=0$

$\small \Delta=(-1)^2-4.8.1=-31<0$

Phương trình vô nghiệm nên không thể điền vào ô trống được.

Câu d

$\small 25x^2+10x+1=0$

$\small \Delta'=5^2-25.1=0$

$\small x_1+x_2=-\frac{2}{5}$

$\small x_1.x_2=\frac{1}{25}$

Dùng điều kiện $a+b+c=0$ hoặc $a-b+c=0$ để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) $35x^2-37x+2=0$

b) $7x^2+500x-507=0$

c) $x^2-49x-50=0$

d) $4321x^2+21x-4300=0$

Phương pháp giải

• TH1: Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là ${x_1} = 1$, nghiệm còn lại là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
• TH2: Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là ${x_1} = -1$, nghiệm còn lại là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\small 35x^2-37x+2=0$

vì $\small 35-37+2=0$ nên:

$\small x_1=1;x_2=\frac{2}{35}$

Câu b

$\small 7x^2+500x-507=0$

vì $\small 7+500-507=0$ nên:

$\small x_1=1;x_2=-\frac{507}{7}$

Câu c

$\small x^2-49x-50=0$

vì $\small 1-(-49)-50=0$ nên:

$\small x_1=-1;x_2=50$

Câu d

$\small 4321x^2+21x-4300=0$

vì $\small 4321-21-4300=0$ nên:

$\small x_1=-1;x_2=\frac{4300}{4321}$

Dùng hệ thức Vi - ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình: 

a) $x^2-7x+12=0$

b) $x^2+7x+12=0$

Phương pháp giải

Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ thì

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\small x^2-7x+12=0$

$\small \Rightarrow x_1+x_2=7;x_1.x_2=12$

$\small \Rightarrow x_1=3;x_2=4$

Câu b

$\small x^2+7x+12=0$

$\small \Rightarrow x_1+x_2=-7;x_1.x_2=12$

$\small \Rightarrow x_1=-3;x_2=-4$

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) $u+v=32,uv=231$

b) $u+v=-8,uv=-105$

c) $u+v=2,uv=9$

Phương pháp giải

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P (và thỏa mãn điều kiện ${S^2} - 4P\ge 0$ ) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$.

Sau đó tính $\Delta$ hoặc $\Delta'$ và sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn)  để tìm ra nghiệm của phương trình

Hướng dẫn giải

Câu a

u và v là nghiệm của phương trình:

$\small x^2-32x+231=0$

$\small \Delta'=16^2-231.1=25\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=5$

$\small \Rightarrow x_1=\frac{16+5}{1}=21;x_2=\frac{16-5}{1}=11$

Vậy $\small u=21;v=11$ hoặc $\small u=11;v=21$

Câu b

u, v là nghiệm của phương trình:

$\small x^2+8x-105=0$

$\small \Delta'=4^2-1.(-105)=121\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=11$

$\small x_1=\frac{-4+11}{1}=7;x_2=\frac{-4-11}{1}=-15$

Vậy $\small u=7;v=-15$ hoặc $\small u=-15;v=7$

Câu c

u, v là nghiệm của phương trình:

$\small x^2-2x+9=0$

$\small \Delta'=1^2-9.1=-8<0$

Vậy không có giá trị u, v nào thỏa bài toán

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có)  của mỗi phương trình sau:

a) $4x^2+2x-5=0$

b) $9x^2-12x+4=0$

c) $5x^2+x+2=0$

d) $159x^2-2x-1=0$

Phương pháp giải

Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ thì

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\small 4x^2+2x-5=0$

Phương trình trên có hệ số a và c trái dấu nên chắc chắn có hai nghiệm phân biệt!

$\small \Rightarrow x_1+x_2=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

$\small x_1.x_2=-\frac{5}{4}$

Câu b

$\small 9x^2-12x+4=0$

$\small \Delta'=(-6)^2-9.4=0$

Phương trình có nghiệm kép $\small x_1=x_2=-\frac{b}{a}$

$\small \Rightarrow x_1+x_2=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$

$\small x_1.x_2=\frac{4}{9}$

Câu c

$\small 5x^2+x+2=0$

$\small \Delta=1^2-2.4.5=-39<0$

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu d

$\small 159x^2-2x-1=0$

Phương trình trên có hệ số a và c trái dấu nên chắc chắn có hai nghiệm phân biệt!

$\small \Rightarrow x_1+x_2=\frac{2}{159}$

$\small x_1.x_2=-\frac{1}{159}$

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

a) $x^2-2x+m=0$

b) $x^2+2(m-1)x+m^2=0$

Phương pháp giải

+) Phương pháp tìm m để phương trình có nghiệm: Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$, điều kiện để phương trình có nghiệm là: $\Delta  \ge 0\,\,\left( {\Delta ' \ge 0} \right)$

Trong đó $\Delta  = {b^2} - 4ac;\,\,\Delta ' = b{'^2} - ac;\,b' = \dfrac{b}{2}$

+) Tính tổng và tích các nghiệm:

Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ thì

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Câu a

$x^2-2x+m=0$

$\small \Delta'=(-1)^2-m.1=1-m$

Để phương trình có nghiệm th:

$\small \Delta'\geq 0\Rightarrow 1-m\geq 0\Leftrightarrow m\leq 1$

$\small \Rightarrow x_1+x_2=2;x_1.x_2=m$

Câu b

$\small x^2-2(m-1)x+m^2=0$

$\small \Delta'=(m-1)^2-1.m^2=-2m+1$

Để phương trình có nghiệm thì:

$\small \Delta'\geq 0\Rightarrow -2m+1\geq 0\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{2}$

$\small \Rightarrow x_1+x_2=2m-2;x_1.x_2=m^2$

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) $1,5x^2 - 1,6x + 0,1 = 0$

b) $\sqrt{3}x^2 - (1 - \sqrt{3})x - 1 = 0$

c) $(2 - \sqrt{3})x^2 + 2\sqrt{3}x - (2 + \sqrt{3}) = 0$

d) $(m - 1)x^2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0$ với $m \neq 1$

Phương pháp giải

• TH1: Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là ${x_1} = 1$, nghiệm còn lại là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
• TH2: Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là ${x_1} = -1$, nghiệm còn lại là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}$ 

Hướng dẫn giải

Câu a

$\small 1,5x^2-1,6x+0,1=0$

Ta có: $\small a+b+c=1,5-1,6+0,1=0$

$\small \Rightarrow x_1=1;x_2=\frac{0,1}{1,5}=\frac{1}{15}$

Câu b

$\small \sqrt{3}x^2-(1-\sqrt{3})x-1=0$

Ta có: $\small a-b+c=\sqrt{3}-\left (-(1-\sqrt{3}) \right )-1=0$

$\small \Rightarrow x_1=-1;x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Câu c

$\small (2-\sqrt{3})x^2+2\sqrt{3}x-(2+\sqrt{3})=0$

Ta có: $\small a+b+c=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2-\sqrt{3}=0$

$\small \Rightarrow x_1=1;x_2=-\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=-7-4\sqrt{3}$

Câu d

$(m - 1)x^2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0$

Vì $m \neq 1$ nên đây là phương trình bậc hai

Ta có: $\small a+b+c=m-1-2m-3+m+4=0$

$\small \Rightarrow x_1=1;x_2=\frac{m+4}{m-1}$

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau

a) $u+v=42,\,uv=441$

b) $u+v=-42,\,uv=-400$

c) $u-v=5,\,uv=24$

Phương pháp giải

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P (và thỏa mãn điều kiện ${S^2} - 4P\ge 0$ ) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$.

Sau đó tính $\Delta$ hoặc $\Delta'$ để tìm ra nghiệm của phương trình

Hướng dẫn giải

Câu a

$\small \left\{\begin{matrix} u+v=42\\ uv=441 \end{matrix}\right.$

Vậy u và v là nghiệm của phương trình:

$\small x^2-42x+441=0$

$\small \Delta'=(-21)^2-441.1=0$

$\small x_1=x_2=-\frac{-42}{2}=21$

$\small \Rightarrow u=v=21$

Câu b

$\small \left\{\begin{matrix} u+v=-42\\ uv=-400 \end{matrix}\right.$

Vậy u và v là nghiệm của phương trình:

$\small x^2+42x-400=0$

$\small \Delta'=21^2+400.1=841\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=29$

$\small x_1=\frac{-21+29}{1}=8;x_2=\frac{-21-29}{1}=-50$

$\small \Rightarrow u=8;v=-50$ hoặc $\small u=-50;v=8$

Câu c

Đặt $\small \left\{\begin{matrix} u=a\\ -v=b \end{matrix}\right.$ ta có: $\small \left\{\begin{matrix} a+b=5\\ ab=-24 \end{matrix}\right.$

Vậy a và b là nghiệm của phương trình:

$\small x^2-5x-24=0$

$\small \Delta=(-5)^2-4.1.(-24)=121\Rightarrow \sqrt{\Delta}=11$

$\small x_1=\frac{5+11}{2}=8;x_2=\frac{5-11}{2}=-3$

$\small \Rightarrow a=8;b=-3$ hoặc $\small a=-3;b=8$

Hay $\small \Rightarrow u=8;v=3$ hoặc $\small u=-3;v=-8$

Chứng tỏ rằng nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm là ${x_1}$ và ${x_2}$ thì tam thức  $a{x^2} + bx + c$ phân tích được thành nhân tử như sau:

$a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})$

Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3$

b) ${\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2$

Phương pháp giải

• Biến đổi vế phải $a(x-x_1)(x-x_2)$ và sử dụng hệ thức Vi-ét để đưa về bằng với vế trái $ax^2+bx+c$.
• Áp dụng: Tìm nghiệm của mỗi phương trình bằng công thức nghiệm rồi thay vào công thức $a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})$.

Hướng dẫn giải

Chúng ta biến đổi vế phải

$\small a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)+ax_1.x_2$

$\small =ax^2-a\left ( -\frac{b}{a} \right )+a.\frac{c}{a}=ax^2+bx+c$

Vậy phương trình $\small ax^2+ bx + c = 0$ có nghiệm là $\small x_1, x_2$ thì:

$\small ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Áp dụng

Câu a

Phương trình $\small 2x^2-5x+3=0$ có $\small 2-5+3=0$

$\small \Rightarrow x_1=1;x_2=\frac{3}{2}$

$\small \Rightarrow 2x^2-5x+3=2(x-1)\left ( x-\frac{3}{2} \right )=(x-1)(2x-3)$

Câu b

Xét phương trình $\small 3x^2 + 8x + 2=0$

$\small \Delta'=4^2-2.3=10\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=\sqrt{10}$

$\Rightarrow x_1=\frac{-4 - \sqrt{10}}{3};x_2=\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}$

$\Rightarrow 3x^2+8x+2=3\left ( x+\frac{4 - \sqrt{10}}{3} \right )\left ( x+\frac{4 + \sqrt{10}}{3} \right )$