Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

Đưa các phương trình sau về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\) và chỉ rõ các hệ số \(a, b, c\):

a) \(5x^2 + 2x = 4 - x\)

b) \(\frac{3}{5}x^2 + 2x - 7 = 3x +\frac{1}{2}\) 

c) \(2x^2 + x - \sqrt{3} = \sqrt{3}x + 1\)

d) \(2x^2 + m^2 = 2(m - 1)x, m\) là một hằng số

Phương pháp giải

• Khai triển rồi đưa các số hạng về trái để vế phải bằng \(0\).
• Xác định các hệ số \(a,\ b,\ c\) của phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\). 

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(5x^2 + 2x = 4 - x \Leftrightarrow 5x^2 + 3x - 4 = 0; a = 5, b = 3, c = -4\)

Câu b

\(\small \frac{3}{5}x^2+2x-7=3x+\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{3}{5}x^2-x-\frac{15}{2}=0;a=\frac{3}{5};b=-1;c=-\frac{15}{2}\)

Câu c

\(\small 2x^2 + x - \sqrt{3} = \sqrt{3} . x + 1 \Leftrightarrow 2x^2 + (1 - \sqrt{3})x -1 - \sqrt{3} = 0\)

\(\small a=2;b=1-\sqrt{3};c=-1-\sqrt{3}\)

Câu d

\(2x^2 + m^2 = 2(m - 1)x\Leftrightarrow 2x^2-2(m - 1)x+m^2=0\)

\(a=2;b=-2(m-1);c=m^2\)

Giải các phương trình sau:

a) \(x^2 - 8 = 0\)

b) \(5x^2 - 20 = 0\)

c) \(0,4x^2 + 1 = 0\)

d) \(2x^2 + \sqrt{2}x = 0\)

e) \(-0,4x^2 + 1,2x = 0\)

Phương pháp giải

Biến đồi phương trình để sử dụng: Với mọi \(a \ge 0\), ta có: \(x^2=a \Leftrightarrow x= \pm \sqrt a\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(x^2 - 8 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 8 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{}8 \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{2}\)

Câu b

\(5x^2 - 20 = 0 \Leftrightarrow 5x^2 = 20 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\)

Câu c

\(0,4x^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow 0,4x^2 = -1 \Leftrightarrow x^2 = -\frac{10}{4}\)

Phương trình vô nghiệm

Câu d

\(2x^2 + \sqrt{2}x = 0 \Leftrightarrow x(2x + \sqrt{2}) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2}x(\sqrt{2}x + 1) = 0\)

\(\small x=0\) hoặc \(\small x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Câu e

\(-0,4x^2 + 1,2x = 0\Leftrightarrow 4x^2-12x=0\)

\(\Leftrightarrow x(x-3)=0\)

\(x=0\) hoặc \(x=3\)

Cho các phương trình:

a) \(x^2 + 8x = -2\)

b) \(x^2 + 2x = \frac{1}{3}\)

Hãy cộng vào hai vế của mỗi phương trình cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái thành một bình phương

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức số \(1\) là: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\small x^2 + 8x = -2\Leftrightarrow x^2 + 8x +16= -2+16=14\)

\(\small (x-4)^2=14\)

Câu b

\(\small x^2+2x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x^2+2x+1=\frac{1}{3}+1\)

\(\small \Leftrightarrow (x+1)^2=\frac{4}{3}\)

Hãy giải phương trình: \(2x^2 + 5x + 2 = 0\). Theo các bước như ví dụ 3 trong bài học.

Phương pháp giải

Giải phương trình \(ax^2+bx+c=0\) \((a \ne 0\)):

• Chuyển hệ số tự do \(c\) sang vế phải.
• Chia cả hai vế cho hệ số \(a\).
• Tách số hạng \(bx\) và cộng vào hai vế cùng một số để vế trái thành một bình phương.
• Áp dụng hằng đẳng thức số \((1)\): \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
• Áp dụng: \(x^2=a \Leftrightarrow x = \pm \sqrt a\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(2{x^2} + 5x + 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 5x =  - 2 \)   (chuyển \(2\) sang vế phải)

\(\Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{5}{ 2}x =  - 1\)   (chia cả hai vế cho \(2\))

\(\Leftrightarrow {x^2} + 2. x. \dfrac{5}{ 4} =  - 1\)   (tách  \(\dfrac{5}{ 2}x =2. x. \dfrac{5}{ 4} \))

\(\Leftrightarrow {x^2} + 2.x. \dfrac{5 }{4} + {\left(\dfrac{5}{4} \right)^2}=  - 1 + {\left(\dfrac{5}{4} \right)^2}\)  (cộng cả hai vế với \({\left(\dfrac{5}{4} \right)^2}\))

\(\Leftrightarrow {\left( x + \dfrac{5}{ 4} \right)^2} = -1+\dfrac{25}{16}\)

\(\Leftrightarrow {\left( x + \dfrac{5}{ 4} \right)^2} =\dfrac{9}{16}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + \dfrac{5}{ 4} = \dfrac{3 }{4} \hfill \cr
x + \dfrac{5 }{4} = - \dfrac{3}{4} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - \dfrac{1 }{2} \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x= -\dfrac{1}{2}\) và \(x=-2\).