Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Trong lúc học nhóm bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận

Hướng dẫn giải

Gọi số mà một bạn đã chọn là \(x\) và số bạn kia chọn là \(\small x+5\)

Tích của hai số là \(\small x(x+5)\)

Theo đề bài ta có phương trình:

\(\small x(x+5)=150\)

\(\small \Leftrightarrow x^2+5x-150=0\)

\(\small \Leftrightarrow x=10\) hoặc \(\small x=-15\)

Vậy

Nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại

Nếu bạn Minh chọn số -15 thì bạn Minh chọn số -10 hoặc ngược lại.

Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi, Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi sất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Hướng dẫn giải

Gọi lãi suất cho vay là \(\small x (\%), x > 0\)

Tiền lãi sau một năm là:

\(\small 2000000.\frac{x}{100}=20000x(vnd)\)

Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là:

\(\small 2000000 + 20000x (vnd)\)

Tiền lãi riêng năm thứ hai (sau khi đã cộng lãi năm đầu) là:

\(\small (2 000 000 + 20000x).\frac{x}{100}\)

\(\small \Leftrightarrow 20000x+200x^2\)

Số tiền sau hai năm bác Thời phải trả là:

\(\small 2 000 000 + 40000x + 200x^2\)

Ta có phương trình:

\(\small 2 000 000 + 40000x + 200x^2=2420000\)

\(\small \Leftrightarrow x^2+ 200x-2100=0\)

\(\small \Leftrightarrow x=10\) (thỏa điều kiện) hoặc \(\small x=-210\) (không thỏa điều kiện)

Vậy lãi suất là \(\small 10\%\)

Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài 120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường dài hơn đường lúc đi 5km và vời vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là\(x (km/h), x > 0\), thì vận tốc lúc về là \(\small x - 5 (km/h)\)

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian khi đi hết tất cả là: \(\frac{120}{x}+1(h)\)

Đường về dài: \(120 + 5 = 125 (km)\)

Thời gian về là: \(\frac{125}{x-5}(h)\)

Ta có phương trình: \(\frac{120}{x}+1=\frac{125}{x-5}\)

\(\Leftrightarrow 120(x-5)+x(x-5)=125x\)

\(\Leftrightarrow x^2-10x-600=0\)

\(\Leftrightarrow x=30\) (thỏa điều kiện) hoặc \(x=-20\) (không thỏa điều kiện)

Vậy vận tốc của xuồng là \(30km/h\)

Đố em vừa tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một đơn vị.

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Hướng dẫn giải

Gọi số phải tìm là \(x\)

Theo giả thiết một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là: \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\)

Theo đầu bài ta có phương trình: \((\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2})\)\(\dfrac{x}{2} =\dfrac{1}{2} \) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)x = 2\)

hay \(x^2 – x – 2 = 0\), có \(a – b + c = 1 – (-1) – 2 = 0\) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là: \({x_1} = -1, {x_2} = 2\)

Vậy số phải tìm bằng \(-1\) hoặc \(2.\)

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Hướng dẫn giải

Gọi số bé là \(x\), \(x ∈ N, x > 0\),

số tự nhiên liền sau của \(x\) là \(x + 1\).

Tích của hai số này là \(x(x + 1)\) hay \(x^2+ x\).

Tổng của hai số này là: \(x+x + 1=2x+1\)

Theo đầu bài ta tích của hai số lớn hơn tổng của chúng là 109 nên ta có phương trình:

\(x^2 + x - (2x + 1) = 109\) hay \(x^2- x - 110 = 0\)

Giải phương trình: \(\Delta = 1 + 440 = 441\), \(\sqrt{\Delta} = 21\)

\({x_1}  = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) + 21}}{2}=11,\)\( {x_2} = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) - 21}}{2}= -10\)

Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = -10\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn. 

Vậy hai số phải tìm là: 11 và 12. 

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài với chiều rộng.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của mảnh đất là \(x\) (m), \(x > 0\).

Vì diện tích của mảnh đất bằng \(240\) m2 nên chiều dài là: \(\dfrac{240}{x}\) (m)

Nếu tăng chiều rộng \(3\)m và giảm chiều dài \(4\)m thì mảnh đất mới có chiều rộng là \(x + 3\) (m), chiều dài là (\(\dfrac{240}{x}- 4)\) (m) và diện tích là: \((x + 3)(\dfrac{240}{x}-4)=240 - 4x + \dfrac{{720}}{x} - 12\) \((m^2) \)  

Theo đầu bài ta có phương trình:  

\(\begin{array}{l}
240 - 4x + \dfrac{{720}}{x} - 12 = 240\\
 \Rightarrow  - 4{x^2} + 720 - 12x = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 180 = 0
\end{array}\)

Giải phương trình: \(\Delta = 3^2 + 720 = 729\), \(\sqrt{\Delta} = 27\)

Suy ra \({x_1}  = \dfrac{{ - 3 + 27}}{2}= 12, \)\({x_2}  = \dfrac{{ - 3 - 27}}{2}= -15\)

Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = -15\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Do đó chiều rộng là \(12\)m, chiều dài là: \(240 : 12 = 20\) (m)

Vậy mảnh đất có chiều rộng là \(12\)m, chiều dài là \(20\)m.

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bac Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh sớm hơn cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe mỗi người.

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Hướng dẫn giải

(km/h), \(x > 3\)

Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là \(\dfrac{30}{x}\) (giờ).

Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là: \(\dfrac{30}{x-3}\) (giờ)

Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình:

\(\dfrac{30}{x-3}-\dfrac{30}{x}\) = \(\dfrac{1}{2}\)

Giải phương trình

\(\begin{array}{l}
30.2x - 30.2\left( {x - 3} \right) = x\left( {x - 3} \right)\\
 \Leftrightarrow 60x - 60x + 180 = {x^2} - 3x\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 180 = 0\\
\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 180} \right) = 729 > 0,\sqrt \Delta   = 27
\end{array}\)

\({x_1}  = \dfrac{{3 + 27}}{2}= 15,\)\( {x_2} = \dfrac{{3 - 27}}{2}= -12\)

Vì \(x > 3 \) nên \({x_2} = -12\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h

Vận tốc của cô Liên là 12 km/h 

Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5 dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích 1500 dm3 (h.15). Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích của chiều dài, chiều rộng và chiều cao.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của miếng tôn là \(x\) (dm), \(x > 10\).

Chiều dài của nó là \(2x\) (dm)

Khi làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp thì chiều dài của thùng là \(2x - 10\) (dm), chiều rộng là \(x - 10\) (dm), chiều cao là \(5\) (dm).

Dung tích của thùng là \(5(2x - 10)(x - 10)\) \((dm^3)\)

Theo đầu bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
5\left( {2x - 10} \right)\left( {x - 10} \right) = 1500\\
 \Leftrightarrow 5\left( {2{x^2} - 20x - 10x + 100} \right) = 1500\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} - 30x + 100 = 300\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 15x - 100 = 0
\end{array}\)

Giải phương trình: \(\Delta = 225 + 400 = 625 >0\), \(\sqrt{\Delta} = 25\)

Suy ra \({x_1} = 20, {x_2} = -5\) (loại) 

Vậy miếng tôn có chiều rộng bằng 20 (dm), chiều dài bằng 40 (dm).

Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc?

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là \(x\) (ngày), \(x > 0\).

Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong việc là \(x + 6\) (ngày).

Mỗi ngày đội I làm được \(\dfrac{1}{x}\) (công việc).

Mỗi ngày đội II làm được \(\dfrac{1}{x+6}\) (công việc)

Hai đội làm 4 ngày xong công việc nên mỗi ngày cả hai đội làm được \(\dfrac{1}{4}\) công việc ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x}\) + \(\dfrac{1}{x+6}\) = \(\dfrac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow 4\left( {x + 6} \right) + 4.x = x\left( {x + 6} \right)\\
 \Leftrightarrow 4x + 24 + 4x = {x^2} + 6x\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 24 = 0
\end{array}\)

\(\Delta' = 1 + 24 = 25 = 5^2\)

\({x_1} = 1 + 5 = 6, {x_2} = 1 - 5 = -4\)

Vì \(x > 0\) nên \({x_2}  = -4\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy một mình đội I làm trong \(6\) ngày thì xong việc.

Một mình đội II làm trong \(12\) ngày thì xong việc. 

Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/cm3 . Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Thể tích của 1 vật đồng nhất (về cấu tạo) với một hình dạng bất kỳ được tính theo công thức sau:

\(V = \dfrac{m}{D}\) 

Trong đó

m là khối lượng của vật.

D là khối lượng riêng của chất tạo ra vật đó.

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \(x\) (g/cm3 ) 

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \(x - 1\) (g/cm3 ) điều kiện \(x > 1\)

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: \(\dfrac{880}{x}\)  (cm3 )

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: \(\dfrac{858}{x-1}\) (cm3 )

Theo đầu bài thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai là \(10\) cm3 nên ta có phương trình: \(\dfrac{858}{x-1} - \dfrac{880}{x} = 10\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow 858x - 880\left( {x - 1} \right) = 10x\left( {x - 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 858x - 880x + 880 = 10{x^2} - 10x\\
 \Leftrightarrow 10{x^2} + 12x - 880 = 0\\
 \Leftrightarrow 5{x^2} + 6x - 440 = 0 
\end{array}\)

Ta có: \(\Delta'=9 + 2200 = 2209\), \(\sqrt{\Delta' }= 47\)

Suy ra \({x_1} = \dfrac{{ - 3 + 47}}{5}= 8,8;\)\( {x_2}  = \dfrac{{ - 3 - 47}}{5}= -10\)

Vì \(x > 1\) nên \({x_2} = -10\) (loại) 

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \(8,8\) g/cm3

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \(7,8\) g/cm3

Người ta đổ thêm 200 g nước vào một dung dịch chứa 40 g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi 10 %. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước?

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Nồng độ dung dịch  

\(C = \dfrac{{{m_{ct}}}}{{{m_{dd}}}}\)  trong đó \({m_{ct}}\) là khối lượng chất tan, \({m_{dd}} = {m_{ct}} + {m_n}\) là khối lượng dung dịch bằng tổng khối lượng chất tan và khối lượng nước.

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: \(x\) (g), \(x > 0\)

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là: \(\dfrac{40}{x + 40}\)

Nếu đổ thêm \(200\) g nước vào dung dịch thì khối lượng của dung dịch sẽ là: \(x + 40 + 200\) (g)

Nồng độ của dung dịch bây giờ là: \(\dfrac{40}{x + 240}\)

Vì nồng độ muối giảm \(10\)% nên ta có phương trình:

\(\dfrac{40}{x + 40}-\dfrac{40}{x + 240}\) = \(\dfrac{10}{100}\) 

Giải phương trình

\((x + 40)(x + 240) = 400(x + 240 - x - 40)\)

hay \(x^2 + 280x - 70400 = 0\)

\(\Delta' = 19600 + 70400 = 90000\), \(\sqrt{\Delta'} = 300\)

Suy ra \({x_1} = 160, {x_2} = -440\)

Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = -440\) (loại)

Vậy trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có \(160\) g nước.

Khoảng cách giữa hai bên sông A và B là 30 km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tời bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h.

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Chú ý: Đối với chuyển động của ca nô thì

\({v_{xd}} = {v_t} + {v_n};\,{v_{nd}} = {v_t} - {v_n}\)

Trong đó \({v_{xd}}\) là vận tốc ca nô khi xuôi dòng; \({v_{nd}}\) là vận tốc ca nô khi ngược dòng

\({v_t}\) là vận tốc thực của ca nô khi nước yên lặng; \({v_n}\) là vận tốc chảy của dòng nước

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc thực của canô (khi nước yên lặng) là \(x\) (km/h) , nên vận tốc khi đi xuôi dòng là: \(x + 3\) (km/h) và vận tốc khi ngược dòng là: \(x - 3\) (km/h), \(x > 3\).

Thời gian xuôi dòng là: \(\dfrac{30}{x + 3}\) (giờ)

Thời gian ngược dòng là: \(\dfrac{30}{x - 3}\) (giờ)

Nghỉ lại \(40\) phút hay \(\dfrac{2}{3}\) giờ ở B.

Theo đầu bài kể từ khi khời hành đến khi về tới bến A hết tất cả \(6\) giờ nên ta có phương trình: \(\dfrac{30}{x+ 3}+ \dfrac{30}{x- 3}+ \dfrac{2}{3} = 6\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \dfrac{{30}}{{x + 3}} + \dfrac{{30}}{{x - 3}} = \dfrac{{16}}{3}\\
 \Rightarrow 30.3\left( {x - 3} \right) + 30.3.\left( {x + 3} \right) = 16.\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\\
 \Leftrightarrow 90x - 270 + 90x + 270 = 16\left( {{x^2} - 9} \right)\\
 \Leftrightarrow 16{x^2} - 180x - 144 = 0\\
 \Leftrightarrow 4{x^2} - 45x - 36 = 0
\end{array}\)

\(\Delta = 2025 + 576 = 2601 >0, \sqrt{\Delta} = 51\)

Suy ra \({x_1} = 12, {x_2} = -\dfrac{3}{4}\) (loại)

Vậy vận tốc của canô trong nước yên lặng là \(12\) km/h.

Tỉ số vàng. Đố em chia được đoan AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16).

Hãy tìm tỉ số ấy.

Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.

Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận.

Hướng dẫn giải

Giả sử \(M\) là điểm chia đoạn \(AB\) sao cho \(AM>MB\) và \(AB\) có độ dài bằng \(a\).

Gọi độ dài của \(AM = x; 0 < x < a\). Khi đó \(MB = a - x\). 

Theo đầu bài: \(\displaystyle{{AM} \over {AB}} = {{MB} \over {AM}}\) hay \(\displaystyle {x \over a} = {{a - x} \over x}\)

Giải phương trình: \(x^2 = a(a - x)\) hay \(x^2 + ax - a^2= 0\)

\(\Delta = a^2 + 4a^2= 5a^2 , \sqrt{\Delta}= a\sqrt{5}\)

Suy ra \(\displaystyle {x_1} = {{ - a + a\sqrt 5 } \over 2} = {{a(\sqrt 5  - 1)} \over 2},{x_2} = {{ - a(\sqrt 5  + 1)} \over 2}\)

Vì \(x > 0\) nên \({x_2}\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy \(\displaystyle AM={{a(\sqrt 5  - 1)} \over 2}\)

Tỉ số cần tìm là: \(\displaystyle {{AM} \over {AB}} = {{\sqrt 5  - 1} \over 2}\)