Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Giải các phương trình trùng phương:

a) \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)

b) \(2x^4 - 3x^2 - 2 = 0\)

c) \(3x^4 + 10x^2 + 3 = 0\)

Phương pháp giải

Phương pháp giải phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\)

Đặt \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\) khi đó phương trình đã cho trở thành \(a{t^2} + bt + c = 0\) giải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó đối chiếu với điều kiện \(t \ge 0\) rồi tìm \(x\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)

Đặt \(\small t=x^2(t\geq 0)\)

\(\small pt\Rightarrow t^2-5t+4=0\)

\(\small t=1\) (nhận) hoặc \(\small t=4\) (nhận)

\(\small t=1\Rightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1\)

\(\small t=4\Rightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\pm 2\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm \(\small x=\begin{Bmatrix} -1;1;2;-2 \end{Bmatrix}\)

Câu b

\(\small 2x^4-3x^2-2=0\)

Đặt \(\small t=x^2(t\geq 0)\)

\(\small pt\Rightarrow 2t^2-3t-2=0\)

\(\small t=2\) (nhận) hoặc \(\small t=-\frac{1}{2}\) (loại)

\(\small t=2\Rightarrow x^2=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(\small x=\begin{Bmatrix} \sqrt{2};-\sqrt{2} \end{Bmatrix}\)

Câu c

\(\small 3x^4+10x^2+3=0\)

Đặt \(\small t=x^2(t\geq 0)\)

\(\small pt\Rightarrow 3t^2+10t+3=0\)

\(\small t=-3\) (loại) hoặc \(\small t=-\frac{1}{3}\) (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm

Giải các phương trình:

a) \(\frac{(x+ 3)(x-3)}{3}+ 2 = x(1 - x)\)

b) \(\frac{x+ 2}{x-5}+ 3 =\frac{6}{2-x}\)

c) \(\frac{4}{x+1}=\frac{-x^2-x+2}{(x+1)(x+2)}\)

Phương pháp giải

Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức :

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
• Bước 2: Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
• Bước 4: Đối chiếu kết quả với điều kiện  xác định của phương trình sau đó kết luận.

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(\frac{(x+ 3)(x-3)}{3}+ 2 = x(1 - x)\)

\(\Leftrightarrow x^2 - 9 + 6 = 3x - 3x^2\)

\(\small \Leftrightarrow 4x^2 - 3x - 3 = 0\)

\(\small \Delta = 57\)

 \(x_1 =\frac{3 + \sqrt{57}}{8};x_2 =\frac{3 - \sqrt{57}}{8}\)

Câu b

 \(\frac{x+ 2}{x-5}+ 3 =\frac{6}{2-x}\)

 Điều kiện:

\(\small x\neq 2;x\neq 5\)

\((x + 2)(2 - x) + 3(x - 5)(2 - x) = 6(x - 5)\)

\(\Leftrightarrow 4 - x^2 - 3x^2 + 21x - 30 = 6x - 30 \Leftrightarrow 4x^2 - 15x - 4 = 0\)

\(\Delta = 225 + 64 = 289\Rightarrow \sqrt{\Delta }= 17\)

\(x_1 =-\frac{1}{4} , x_2 = 4\) (thỏa điều kiện nên là nghiệm của phương trình)

Câu c

\(\small \frac{4}{x+1}=\frac{-x^2-x+2}{(x+1)(x+2)}\)

Điều kiện:

\(\small x \neq -1; x \neq -2\)

Khi đó, phương trình tương đương:

\(4(x + 2) = -x^2 - x + 2\)

\(\Leftrightarrow 4x + 8 = 2 - x^2- x\)

\(\Leftrightarrow x^2 + 5x + 6 = 0\)

\(\small \Leftrightarrow x=-2\) (không thỏa điều kiện) hoặc \(\small x=-3\) (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\small x=-3\)

Giải các phương trình:

a) \((3x^2 -5x + 1)(x^2 - 4) = 0\)

b) \((2x^2 + x - 4)^2 - (2x - 1)^2 = 0\)

Phương pháp giải

Phương pháp giải phương trình dạng tích: \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\((3x^2 -5x + 1)(x^2 - 4) = 0\)

\(\Rightarrow 3x^2 -5x + 1 = 0 (1)\)

hoặc \(x^2-4=0(2)\)

Giải (1):

\(3x^2 -5x + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{13}}{6}\)

Giải (2):

\(x^2=4\Leftrightarrow x=\pm 2\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa bài toán \(x=\begin{Bmatrix} \pm 2;\frac{5\pm \sqrt{13}}{6} \end{Bmatrix}\)

Câu b

\((2x^2 + x - 4)^2 - (2x - 1)^2 = 0\)

\(\Leftrightarrow (2x^2+x-4+2x-1)(2x^2+x-4-2x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (2x^2+3x-5)(2x^2-x-3)=0\)

\(\Rightarrow 2x^2+3x-5=0 (1)\)

Hoặc \(2x^2-x-3=0 (2)\)

Giải (1):

\(2x^2+3x-5=0\)

\(\small \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=-\frac{5}{2}\)

Giải (2):

\(2x^2-x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=\frac{3}{2}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(x=\begin{Bmatrix} \pm 1;-\frac{5}{2};\frac{3}{2} \end{Bmatrix}\)

Giải phương trình trùng phương:

a) \(9x^4 - 10x^2 + 1 = 0\)

b) \(5x^4 + 2x^2 - 16 = 10 - x^2\)

c) \(0,3x^4 + 1,8x^2 + 1,5 = 0\)

d) \(2x^2 + 1 =\frac{1}{x^{2}}-4\)

Phương pháp giải

Phương pháp giải phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\)

Đặt \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\) khi đó phương trình đã cho trở thành \(a{t^2} + bt + c = 0\) giải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó đối chiếu với điều kiện \(t \ge 0\) rồi tìm \(x\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(9x^4 - 10x^2 + 1 = 0\)

Đặt \(\small t=x^2(t\geq 0)\), khi đó:

\(\small pt\Rightarrow 9t^2-10t+1=0\)

\(\small \Leftrightarrow t=1\) (thỏa điều kiện) hoặc \(\small t=\frac{1}{9}\) (thỏa điều kiện)

Với \(\small t=1\Rightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1\)

Với \(\small t=\frac{1}{9}\Rightarrow x^2=\frac{1}{9}\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{3}\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm là: \(\small x=\begin{Bmatrix} \pm 1;\pm \frac{1}{3} \end{Bmatrix}\)

Câu b

\(5x^4 + 2x^2 - 16 = 10 - x^2\)

\(\Leftrightarrow 5x^4 + 3x^2 - 26 =0\)

Đặt \(\small t=x^2(t\geq 0)\), khi đó:

\(pt\Rightarrow 5t^2+3t-26=0\)

\(\Leftrightarrow t=2\) (thỏa điều kiện) hoặc \(t=-\frac{13}{5}\) (không thỏa điều kiện)

\(\small t=2\Rightarrow x^2=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm đó là \(\small x=\pm \sqrt{2}\)

Câu c

\(0,3x^4 + 1,8x^2 + 1,5 = 0\)

\(\small \Leftrightarrow x^4+6x^2+5=0\)

Đặt \(\small t=x^2(t\geq 0)\), khi đó:

\(\small pt\Rightarrow t^2+6t+5=0\)

\(\small \Leftrightarrow t=-1\) (không thỏa điều kiện) hoặc \(\small t=-5\) (không thỏa điều kiện)

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

Câu d

\(2x^2 + 1 =\frac{1}{x^{2}}-4\) (1)

Điều kiện: \(\small x\neq 0\)

Khi đó

\(\small (1)\Leftrightarrow 2x^4+x^2=1-4x^2\)

\(\small \Leftrightarrow 2x^4+5x^2-1=0\)

Đặt \(\small t=x^2(t\geq 0)\), khi đó:

\(\small pt\Rightarrow 2t^2+5t-1=0\)

\(\small \Leftrightarrow t=\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\) (thỏa điều kiện) hoặc \(\small t=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}\) (không thỏa điều kiện)

\(\small t=\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\Rightarrow x^2=\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{5+\sqrt{33}}}{2}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa bài toán \(\small x=\pm \frac{\sqrt{5+\sqrt{33}}}{2}\)

Giải các phương trình:

a) \((x - 3)^2 + (x + 4)^2 = 23 - 3x\)

b) \(x^3 + 2x^2 - (x - 3)^2 = (x - 1)(x^2- 2)\)

c) \((x - 1)^3 + 0,5x^2 = x(x^2 + 1,5)\)

d) \(\small \frac{x(x - 7)}{3} - 1 =\frac{x}{2}-\frac{x-4}{3}\)

e) \(\frac{14}{x^{2}-9}= 1 -\frac{1}{3-x}\)

f) \(\frac{2x}{x+1}=\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\)

Phương pháp giải

Thực hiện phá ngoặc và chuyển vế để biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn. Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai thu được.

Hướng dẫn giải

Câu a

\((x - 3)^2 + (x + 4)^2 = 23 - 3x\)

\(\small \Leftrightarrow x^2-6x+9+x^2+8x+16-23+3x=0\)

\(\small \Leftrightarrow 2x^2+5x+2=0\)

\(\small \Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(\small x=-\frac{1}{2}\)

Câu b

\(x^3 + 2x^2 - (x - 3)^2 = (x - 1)(x^2- 2)\)

\(\small \Leftrightarrow x^3+2x^2-x^2+6x-9=x^3-2x-x^2+2\)

\(\small \Leftrightarrow 2x^2+8x-11=0\)

\(\small \Leftrightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{38}}{2}\)

Câu c

\((x - 1)^3 + 0,5x^2 = x(x^2 + 1,5)\)

\(\small \Leftrightarrow x^3-3x^2+3x-1+0,5x^2=x^3+1,5x\)

\(\small \Leftrightarrow -2,5x^2+1,5x-1=0\)

\(\small \Leftrightarrow 5x^2-3x+2=0\)

\(\small \Delta=(-3)^2-4.2.5=-31<0\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu d

\(\small \frac{x(x - 7)}{3} - 1 =\frac{x}{2}-\frac{x-4}{3}\)

\(\small \Leftrightarrow 2x^2-14x-6=3x-2x+8\)

\(\small \Leftrightarrow 2x^2-15x-14=0\)

\(\small \Leftrightarrow x=\frac{15\pm \sqrt{337}}{4}\)

Câu e

\(\frac{14}{x^{2}-9}= 1 -\frac{1}{3-x}\)

Điều kiện: \(\small x\neq \pm 3\)

Với điều kiện đó:

\(\frac{14}{x^{2}-9}= 1 -\frac{1}{3-x}\)

\(\small \Leftrightarrow 14=x^2-9+x+3\)

\(\small \Leftrightarrow x^2+x-20=0\)

\(\small \Leftrightarrow x=-5\) (thỏa mãn điều kiện) hoặc \(\small x=4\) (thỏa mãn điều kiện)

Câu f

\(\frac{2x}{x+1}=\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\)

Điều kiện: \(\small x\neq 4;x\neq -1\)

Với điều kiện đó:

\(\frac{2x}{x+1}=\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\)

\(\small \Leftrightarrow 2x(x-4)=x^2-x+8\)

\(\small \Leftrightarrow x^2-7x-8=0\)

\(\small \Leftrightarrow x=-1\) (không thỏa điều kiện) hoặc \(\small x=8\) (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\small x=8\)

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích

a) \((3x^2 - 7x - 10)[2x^2 + (1 - \sqrt{5})x + \sqrt{5} - 3] = 0\)

b) \(x^3 + 3x^2- 2x - 6 = 0\)

c) \((x^2 - 1)(0,6x + 1) = 0,6x^2 + x\)

d) \((x^2 + 2x - 5)^2 = ( x^2 - x + 5)^2\)

Phương pháp giải

Đưa phương trình về dạng phương trình tích \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)

Hoặc \(A\left( x \right).B\left( x \right).C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\\C\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) 

Hướng dẫn giải

Câu a

\((3x^2 - 7x - 10)[2x^2 + (1 - \sqrt{5})x + \sqrt{5} - 3] = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x^2 - 7x - 10=0 (1)\) hoặc \(2x^2 + (1 - \sqrt{5})x + \sqrt{5} - 3=0(2)\)

Giải (1)

\(3x^2 - 7x - 10=0\)

\(\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=\frac{10}{3}\)

Giải (2)

\(2x^2 + (1 - \sqrt{5})x + \sqrt{5} - 3=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt: \(x=\begin{Bmatrix} \pm 1;\frac{\sqrt{5}-3}{2};\frac{10}{3} \end{Bmatrix}\)

Câu b

\(x^3 + 3x^2- 2x - 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow x^2(x+3)-2(x+3)=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-2)(x+3)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2=0(1)\) hoặc \(x+3=0(2)\)

Giải (1)

\(x^2-2=0\)

\(\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}\)

Giải (2)

\(x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x=-3\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là: \(x=\begin{Bmatrix} -3;\pm \sqrt{2} \end{Bmatrix}\)

Câu c

\((x^2 - 1)(0,6x + 1) = 0,6x^2 + x\)

\(\Leftrightarrow (x^2 - 1)(0,6x + 1) = x(0,6x + 1)\)

\(\Leftrightarrow (x^2 -x-1)(0,6x + 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow x^2 -x-1=0(1)\) hoặc \(0,6x+1=0(2)\)

Giải (1)

\(x^2 -x-1=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\)

Giải (2)

\(0,6x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{5}{3}\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt: \(x=\begin{Bmatrix} \frac{1\pm \sqrt{5}}{2};-\frac{5}{3} \end{Bmatrix}\)

Câu d

\((x^2 + 2x - 5)^2 = ( x^2 - x + 5)^2\)

\(\Leftrightarrow (x^2 + 2x - 5)^2 - ( x^2 - x + 5)^2=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+2x-5-x^2+x-5)(x^2+2x-5+x^2-x+5)=0\)

\(\Leftrightarrow (3x-10)(2x^2+x)=0\)

\(\Leftrightarrow x(3x-10)(2x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(3x-10=0(1)\) hoặc \(2x+1=0(2)\)

Giải (1)

\(3x-10=0\)

\(x=\frac{10}{3}\)

Giải (2)

\(2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Vậy phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt \(x=\begin{Bmatrix} 0;\frac{10}{3};-\frac{1}{2} \end{Bmatrix}\)

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) \(3(x^2 + x)^2 - 2(x^2 + x) - 1 = 0\)

b) \((x^2 - 4x + 2)^2 + x^2 - 4x - 4 = 0\)

c) \( x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x }+ 7\)

d) \(\frac{x}{x+ 1}-10 . \frac{x+1}{x}=3\)

Hướng dẫn: a) Đặt \(t = x^2 + x\), ta có phương trình \(3t^2 - 2t - 1 = 0\). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đằng thức \(t = x^2 + x\), ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.

d) Đặt \(\frac{x+1}{x}= t\)  hoặc \(\frac{x}{x+ 1} = t\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(3(x^2 + x)^2 - 2(x^2 + x) - 1 = 0\)

Đặt \(\small t=x^2+x\), khi đó:

\(\small pt\Rightarrow 3t^2-2t-1=0\)

\(\small \Leftrightarrow t=1\) hoặc \(\small \Leftrightarrow t=-\frac{1}{3}\)

Với \(\small t=1\Rightarrow x^2+x=1\)

\(\small \Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\)

Với \(\small t=-\frac{1}{3}\Rightarrow x^2+x+\frac{1}{3}=0\)

Phương trình vô nghiệm!

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\small x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\)

Câu b

\((x^2 - 4x + 2)^2 + x^2 - 4x - 4 = 0\)

Đặt \(\small t=x^2-4x+2\)

\(\small pt\Rightarrow t^2+t-6=0\)

\(\small \Leftrightarrow t=2\) hoặc \(\small t=-3\)

Với \(\small t=2\Rightarrow x^2-4x=0\)

\(\small \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(\small x=4\)

Với \(\small t=-3\Rightarrow x^2-4x+5=0\)

Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:\(\small x=\begin{Bmatrix} 0;4 \end{Bmatrix}\)

Câu c

\(x - \sqrt{x }= 5\sqrt{x} + 7\)

\(\Leftrightarrow x - 6\sqrt{x} -7 = 0\) 

Đặt \(t=\sqrt{x}(t\geq 0)\)

\(\small \Rightarrow t^2=x\)

\(\small pt\Rightarrow t^2-6t-7=0\)

\(\small \Leftrightarrow t=-1\) (không thỏa điều kiện) hoặc \(\small t=7\) (thỏa điều kiện)

Với \(\small t=7\Rightarrow \sqrt{x}=7\Leftrightarrow x=49\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\small x=49\)

Câu d

\(\frac{x}{x+ 1}-10 . \frac{x+1}{x}=3\)

Điều kiện: \(\small x\neq -1;x\neq 0\)

Với điều kiện trên, đặt \(\small \frac{x}{x+1}=t\Rightarrow \frac{1}{t}=\frac{x+1}{x}\)

\(\small pt\Rightarrow t-\frac{10}{t}-3=0\)

\(\small \Leftrightarrow t^2-3t-10=0\)

\(\small \Leftrightarrow t=5\) hoặc \(\small \Leftrightarrow t=-2\)

Với \(\small t=5\Rightarrow \frac{x}{x+1}=5\Leftrightarrow x=-\frac{5}{4}\)

Với \(\small t=-2\Rightarrow \frac{x}{x+1}=-2\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\small x=\begin{Bmatrix} -\frac{5}{4};-\frac{2}{3} \end{Bmatrix}\)