Giải bài tập SGK Toán 9 Bài: Luyện tập

Một cái bồn chứa xăng gồm hai cửa hình cầu và hình trụ (h110)

Hãy tính thể tích của bồn chứa theo kích thước cho trên hình vẽ.

Phương pháp giải

Thể tích bồn chứa bằng tổng thể tích hình trụ có chiều cao 3,62 m, bán kính đáy 0,9 m và thể tích hai nửa hình cầu có bán kính 0,9m.

Hướng dẫn giải

Thể tích bồn chứa là:

$V=\pi 0,9^2.3,62+2.\dfrac 1 2.\dfrac{4}{3}.\pi.0,9^3\approx12,27m^3$

Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm).

a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA' có độ dài không đổi và bằng 2a.

b) Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và a.

Phương pháp giải

a) Tính độ dài AA' theo x va h

b) Diện tích bề mặt của chi tiết bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ và 2 lần nửa diện tích hình cầu.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$AA'=OA+OO'+O'A\\ \Rightarrow 2a=x+h+x\\ \Rightarrow h=2a-2x$

b) Diện tích bề mặt của chi tiết bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ và 2 lần nửa diện tích hình cầu.

Diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

$S=2\pi r h+2.\dfrac{4\pi r^2}{2}=2\pi x(2a-2x)+4\pi x^2=4a\pi x\,\,(cm^2)$

Thể tích của chi tiết máy là:

$V=\pi r^2 h+2.\dfrac4 3 \dfrac{\pi r^3}{2}=\pi x^2(2a-2x)+ \dfrac{4\pi x^3}{3}=2\pi ax^2-\dfrac{2\pi x^3} 3\,\,(cm^3)$

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính $AB = 2R, Ax$ và $By$ là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N. 

Phương pháp giải

a) Chứng minh : $\widehat{PMO}=\widehat{PAB}$

Xét hai tam giác vuông  MON và APB có:

Chứng minh $\Delta MON \backsim \Delta APB$ (g.g)

b) Chỉ ra

$MA=MP;PN=PB$

$MP.PN=OP^2\Rightarrow AM.NB=OP^2=R^2$

c) Vì $\Delta MON \backsim \Delta APB$ nên ta có:

$\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}=\dfrac{MN^2}{AB^2}$

d) $V=\dfrac 4 3 \pi R^3$

Hướng dẫn giải

a) Trong đường tròn (O) ta có:

+)  $\widehat{APB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+) $\widehat{POM}=\widehat{AOM}; \widehat{PON}=\widehat{BON}$ (tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra  $\widehat{POM}+\widehat{PON}=90^o$ hay MON vuông tại O.

$\widehat{PMO}=\widehat{AMO}$ (tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)

$\widehat{AMO}=\widehat{PAO}$ (cùng phụ với $\widehat{MOA}$)

Suy ra: $\widehat{PMO}=\widehat{PAB}$

Xét hai tam giác vuông  MON và APB có:

+) $\widehat{PMO}=\widehat{PAB}$

Vậy $\Delta MON \backsim \Delta APB$ (g.g)

b) Áp dụng tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$MA=MP;PN=PB$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MON có: 

$MP.PN=OP^2\Rightarrow AM.NB=OP^2=R^2$

c)

Vì $\Delta MON \backsim \Delta APB$ nên ta có:

$\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}=\dfrac{MN^2}{AB^2}$

Khi $AM=\dfrac R 2$ và $AM.BN=R^2\Rightarrow BN=\dfrac{R^2}{AM}=\dfrac{R^2}{\dfrac R 2}=2R$

Do đó, $MN=MP+PN=AM+BN=\dfrac R 2 +2R =\dfrac {5R} 2$

Suy ra $MN^2=\dfrac {25R^2}{4}$

Vậy $\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}=\dfrac{MN^2}{AB^2}=\dfrac{25R^2}{4}:4R^2=\dfrac{25}{16}$

d) Vì nửa đường tròn APB quay quanh AB tạo thành hình cầu bán kính R nên thể tích hình cầu là: $V=\dfrac 4 3 \pi R^3$