Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo)
Phần hướng dẫn giải bài tập SGK Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các dạng bài tập từ SGK Toán 9 Tập một.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 48 trang 29 SGK Toán 9 tập 1
2. Giải bài 49 trang 29 SGK Toán 9 tập 1
3. Giải bài 50 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
4. Giải bài 51 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
5. Giải bài 52 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
6. Giải bài 53 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
7. Giải bài 54 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
8. Giải bài 55 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
1. Giải bài 48 trang 29 SGK Toán 9 tập 1
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
\(\sqrt{\frac{1}{600}};\,\sqrt{\frac{11}{540}};\,\sqrt{\frac{3}{50}};\,\sqrt{\frac{5}{98}};\,\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}\)
Phương pháp giải
khử sao cho mẫu thức không còn căn bằng cách nhân thêm một lượng thích hợp số vào cả tử và mẫu của căn thức ấy.
Hướng dẫn giải
\(\sqrt{\frac{1}{600}}=\sqrt{\frac{1.6}{6.6.10.10}}=\frac{\sqrt{6}}{60}\)
\(\sqrt{\frac{11}{540}}=\sqrt{\frac{11.15}{6.6.15.15}}=\frac{\sqrt{165}}{90}\)
\(\sqrt{\frac{3}{50}}=\sqrt{\frac{3.2}{5.5.2.2}}=\frac{\sqrt{6}}{10}\)
\(\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}=\frac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1).\sqrt{3}}{9}\)
2. Giải bài 49 trang 29 SGK Toán 9 tập 1
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
\(ab\sqrt{\frac{a}{b}};\,\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}};\,\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}};\,\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}};\,3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}.\)
(Giả thiết các biểu thức có nghĩa)
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức sau
- \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), với \(a \ge 0,\ b > 0 \).
- \(\sqrt{a^2}=|a|\)
- Nếu \(a \ge 0\) thì \(|a|=a\)
- Nếu \( a < 0 \) thì \(|a|=-a\)
- \(\dfrac{a}{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}{b}\), \((b > 0)\).
Hướng dẫn giải
Với các biểu thức chứa biến, để trục căn, ta cần xem điều kiện để căn thức có nghĩa áp dụng vào bài 49
có nghĩa khi và \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}\)
Nếu thì \(ab\sqrt{\frac{a}{b}}=a\sqrt{ab}\)
Nếu \(a<0, b<0\) thì \(ab\sqrt{\frac{a}{b}}=-a\sqrt{ab}\)
Tương tự như vậy ta có: \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ba}}{b}\)
Nếu \(a> 0, b> 0\) thì \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}\frac{\sqrt{ba}}{\left | a \right |}\)
Nếu \(a<0, b<0\) thì \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=-\frac{\sqrt{ba}}{b}\)
Ta có: \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\sqrt{\frac{b+1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{\left | b \right |}\)
Điều kiện để căn thức có nghĩa là hay Do đó:
Nếu \(b>0\) thì \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{ b }\)
Nếu thì \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=-\frac{\sqrt{b+1}}{b}\)
Điều kiện để có nghĩa là hay
\(\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}}{4b}}=\frac{\sqrt{4a^{3}b}}{4\left | b \right |}=\frac{\sqrt{4a^{2}.ab}}{4\left | b \right |}=\frac{\left | a \right |\sqrt{ab}}{2b}\)
\(3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}=3\sqrt{\frac{2.x^2y^2}{xy}}=\frac{3\sqrt{2}}{xy}\)
3. Giải bài 50 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:
\(\dfrac{5}{\sqrt{10}};\,\,\, \dfrac{5}{2\sqrt{5}};\,\,\, \dfrac{1}{3\sqrt{20}};\,\,\, \dfrac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{y+b.\sqrt{y}}{b. \sqrt{y}}\)
Phương pháp giải
- \( (\sqrt{a})^2=a\), với \(a \ge 0\).
- \(\dfrac{a}{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}{b}\), \((b > 0)\).
- \( \sqrt{A^2 B}=A\sqrt{B}\), nếu \(A,\ B \ge 0\).
- \( \sqrt{A^2 B}=-A\sqrt B\), nếu \(A < 0,\ B \ge 0\).
Hướng dẫn giải
\(\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
\(\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2.5}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{20}}{3.20}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{\sqrt{5}}{30}\)
\(\frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2}+2)}{5.2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5}\)
\(\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}+b}{b}\)
4. Giải bài 51 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:
\(\dfrac{3}{\sqrt{3}+1};\,\,\,\dfrac{2}{\sqrt{3}-1};\,\,\,\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{b}{3+\sqrt{b}};\,\,\,\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}\)
Phương pháp giải
chúng ta có thể sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, tách và phân tích thành nhân tử rồi rút gọn
Hướng dẫn giải
\(\frac{3}{\sqrt{3}+1}=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1\)
\(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})^2}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=7+4\sqrt{3}\)
\(\frac{b}{3+\sqrt{b}}=\frac{b(3-\sqrt{b})}{(3-\sqrt{b})(3+\sqrt{b})}=\frac{b(3-\sqrt{b})}{9-b};(b\neq 9)\)
\(\frac{p}{2\sqrt{p}-1}=\frac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}+1)(2\sqrt{p}-1)}=\frac{p(2\sqrt{p}+1)}{4p-1}\)
5. Giải bài 52 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:
\(\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\,\,\ \dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}};\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\,\,\, \dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
Phương pháp giải
chúng ta có thể sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, tách và phân tích thành nhân tử rồi rút gọn
Hướng dẫn giải
\(\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=2(\sqrt{6}+\sqrt{5})\)
\(\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}-\sqrt{7})(\sqrt{10}+\sqrt{7})}=\sqrt{10}-\sqrt{7}\)
\(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\)
\(\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}\)
6. Giải bài 53 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):
a) \(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}\)
b) \(ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}\)
c) \(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}\)
d) \(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
Phương pháp giải
- \( \sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b\), với \(a,\ b \ge 0\).
- \(|a| = a\), nếu \(a \ge 0\); \(|a|=-a\) nếu \(a < 0\).
- Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số \(a,\ b\) không âm, ta có: \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\)
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{18}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3\sqrt{6}-6\)
Câu b
Nếu \(ab>0\) thì: \(ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}=\sqrt{a^2b^2+\frac{a^2b^2}{a^2b^2}}=\sqrt{a^2b^2+1}\)
Câu c
\(\sqrt{\frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\frac{ab}{b^4}+\frac{a}{b^4}}=\sqrt{\frac{1}{b^4}.(ab+a)}=\frac{\sqrt{ab+a}}{b^2}\)
Câu d: Với bài toán trên, ta có: \(a\geq 0;b\geq 0,ab\neq 0\)
\(=\frac{(a-b)\sqrt{a}}{a-b}=\sqrt{a}\)
7. Giải bài 54 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):
\(\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2};\,\,\,\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}};\,\,\, \dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}\)
Phương pháp giải
- \( (\sqrt a)^2=a\), với mọi \(a \ge 0\).
- \(\sqrt{a.b}=\sqrt a. \sqrt b\), với \(a,\ b \ge 0\).
Hướng dẫn giải
\(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
\(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{3}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5}\)
\(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{3}-\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2\sqrt{2}-2}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
\(\frac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}\) :Với câu này, ta nhận thấy điều kiện là \(a\geq 0\), khi đó:
\(\frac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{1-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}\)
\(\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}\): Với câu này, ta thấy điều kiện là \(\left\{\begin{matrix} p\geq 0\\ p\neq \sqrt{2} \end{matrix}\right.\) , khi đó:
\(\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\frac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}\)
8. Giải bài 55 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)
a) \(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1\)
b) \(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}\)
Phương pháp giải
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng
- Phương pháp đặt nhân tử chung
- Phương pháp nhóm hạng tử.
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức
- Sử dụng: \(\sqrt a.\sqrt a=a,\) với \(a \ge 0\).
Hướng dẫn giải
Câu a
\(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=(ab+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)=b\sqrt{a}(1+\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)\)
\(=(b\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+1)\)
Câu b
\(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}=x\sqrt{x}-y\sqrt{y}+x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\)
\(=x(\sqrt{x}+\sqrt{y})-y(\sqrt{y}+\sqrt{x})=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-y)\)
\(=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\)
9. Giải bài 56 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần
a) \(3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}\)
b) \(6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}\)
Phương pháp giải
- Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn
- Với \(A \ge 0,\ B \ge 0\) ta có: \(A\sqrt B =\sqrt{A^2B}.\)
- Với \(A <0,\ B \ge 0\) ta có: \(A\sqrt B=-\sqrt{A^2B}\).
- Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số \(a,\ b\) không âm, ta có: \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).
Hướng dẫn giải
Câu a
\(3\sqrt{5}=\sqrt{45}\)
\(2\sqrt{6}=\sqrt{24}\)
\(4\sqrt{2}=\sqrt{32}\)
Vì: \(24<29<32<45\Rightarrow \sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{6}<\sqrt{29}< 4\sqrt{2}< 3\sqrt{5}\)
Câu b
\(6\sqrt{2}=\sqrt{72}\)
\(3\sqrt{7}=\sqrt{63}\)
\(2\sqrt{14}=\sqrt{56}\)
Vì: \(38<56<63<72\Rightarrow \sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}\)
\(\Rightarrow \sqrt{38}< 2\sqrt{14}<3\sqrt{7}< 6\sqrt{2}\)
10. Giải bài 57 trang 30 SGK Toán 9 tập 1
\(\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9\) khi x bằng
(A) 1
(B) 3
(C) 9
(D) 81
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Phương pháp giải
Ta sử dụng
- \( \sqrt{A^2 B}=A\sqrt{B}\), nếu \(A,\ B \ge 0\).
- \( \sqrt x =a \Leftrightarrow (\sqrt x)^2=a^2,\) với \(x,\ a \ge 0\).
Hướng dẫn giải
Ta có
\(\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9\)
\(\sqrt{5^2.x}-\sqrt{4^2.x}=9\)
\(\Leftrightarrow 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9\)
\(\Leftrightarrow (5-4)\sqrt{x}=9\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x}=9\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2=9^2\)
\(\Leftrightarrow x=81\)
Chọn đáp án D. \(81\)
Tham khảo thêm
- docx Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai
- docx Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai
- docx Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
- docx Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 4: Liện hệ giữa phép chia và phép khai phương
- docx Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 5: Bảng căn bậc hai
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
- doc Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 9: Căn bậc ba