Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Rút gọn các biểu thức sau

a) \(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)

b) \(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}\)

c) \(\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}\)

d) \(0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}\)

Phương pháp giải

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn: Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có

• \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\),  nếu \(A \ge 0\).
• \(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\),  nếu \(A < 0\).

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có:

• \(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\),  nếu \(A \ge 0\).
• \(\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}\),  nếu \(A < 0\).

- \( \dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}\),  với \(B > 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{\frac{25}{5}}+\sqrt{\frac{20}{4}}+\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)

Câu b

\(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{9.\frac{1}{2}}+\sqrt{25.\frac{1}{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}}+3\sqrt{\frac{1}{2}}+5\sqrt{\frac{1}{2}}=9\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\)

Câu c

\(\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}=2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+3.3\sqrt{2}+6\sqrt{2}\)

 \(=15\sqrt{2}-\sqrt{5}\)

Câu d

 \(0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}=0,1\sqrt{100.2}+2\sqrt{2.0,04}+0,4\sqrt{25.2}\)

\(=\sqrt{2}+0,4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3,4\sqrt{2}=\frac{17\sqrt{2}}{5}\)

Rút gọn các biểu thức sau (với \(a>0, b>0\))

a) \(5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}\)

b) \(5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}\)

Phương pháp giải

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có

• \(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\),  nếu \(A \ge 0\).
• \(\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}\),  nếu \(A < 0\).

- \( \sqrt{A^2}=|A|\). 

- \(|A|=A\)  nếu \(A \ge 0\); \(|A|=-A\),  nếu \( A < 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}\)

\(=5\sqrt{a}-4b.5a\sqrt{a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}=-\sqrt{a}\)

Câu b

\(5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}\)

\(=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt{3}ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}-5b.9a\sqrt{ab}\)

\(=-5ab\sqrt{ab}\)

Cho biểu thức \(B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\) với \(x\geq -1\)

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16

Phương pháp giải

• Sử dụng quy tắc đặt nhân tử chung và quy tắc khai phương một tích để đưa các số hạng về dạng có cùng biểu thức dưới dấu căn.
• \(\sqrt x =a \Leftrightarrow (\sqrt x)^2=a^2 \Leftrightarrow x=a^2\),  với \(a \ge 0.\) 

Hướng dẫn giải

Câu a

Vì \(x\geq -1\) nên căn thức của biểu thức B luôn có nghĩa.

\(= 4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}=4\sqrt{x+1}\)

Câu b

\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=4\)

\(\Leftrightarrow x+1=4^2=16\)

\(\Leftrightarrow x=15\)

Chứng minh các đẳng thức sau

a) \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)

b) \(\left ( x\sqrt{\frac{6}{x}} +\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}=2\frac{1}{3}\) với \(x>0\).

Phương pháp giải

• Biến đổi vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.
• Sử dụng công thức sau: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\) với \(a\ge 0;b>0.\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\(VT=\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(=\frac{3}{2}\sqrt{6}+\sqrt{\frac{4.2}{3}}-\sqrt{\frac{16.3}{2}}\)

\(=\frac{3\sqrt{6}}{2}+\frac{2\sqrt{2}.\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}.\sqrt{2}}{2}\)

\(=\frac{9\sqrt{6}}{6}+\frac{4\sqrt{2}.\sqrt{3}}{6}-\frac{12\sqrt{3}.\sqrt{2}}{6}\)

\(=\frac{9\sqrt{6}+4\sqrt{6}-12\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}=VP\)

Câu b: Ta có

 \(VT=\left ( x\sqrt{\frac{6}{x}} +\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}= \left ( x\frac{\sqrt{6x}}{x} +\frac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}\)

\(=\left (\sqrt{6x}+\frac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x} \right ).\frac{1}{\sqrt{6x}}\)

\(=\frac{8}{3}\sqrt{6x}.\frac{1}{\sqrt{6x}}=\frac{8}{3}=2\frac{1}{3}=VP\)

Rút gọn các biểu thức sau

a) \(\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}\)

b) \(\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}\)

c) \((\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{48}\)

d) \((\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}\)

Phương pháp giải

- Cách đổi hỗn số ra phân số: \(a\dfrac{b}{c}=\dfrac{a.c+ b}{c}\).

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:  

• \(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\),  nếu \(A \ge 0,\ B \ge 0\).
• \(\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}\),  nếu \(A < 0,\ B \ge 0\).

- \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\),   với \(a \ge 0,\ b > 0\).

- \(\sqrt a .\sqrt b =\sqrt{ab}\),  với \(a, \ b \ge 0\).

- \(\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}\),   với \( B > 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{16. 3}-2\sqrt{25.3}-\sqrt{\frac{33}{11}}+5\sqrt{\frac{4}{3}}\)

\(=\frac{1}{2}. 4\sqrt{3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}+5.\frac{2}{3}\sqrt{3}=(2-10-1+\frac{10}{3})\sqrt{3}=-\frac{17}{3}\sqrt{3}\)

Câu b

 \(\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}=\sqrt{25.6}+\sqrt{1,6.4.15}+4,5.\sqrt{\frac{8}{3}}-\sqrt{6}\)

\(= 5\sqrt{6}+\sqrt{96}+4,5.\frac{\sqrt{8.3}}{3}-\sqrt{6}=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5.2.\frac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}\)

\(=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}\)

Câu c

\((\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{48}\) 

\(= (2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+2\sqrt{21}=2.7-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}=21\)

Câu d

\(=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=11\)

Rút gọn biểu thức sau

a) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\) với \(a>0\) và \(b>0\)

b) \(\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}}\) với \(m>0\) và \(x\neq 1\)

Phương pháp giải

• \( \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\),   với \(a \ge 0, \ b > 0\).
• \(\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}\),   với \( B > 0\).
• \((\sqrt b)^2=b\),  với \(b \ge 0\). 

Hương dẫn giải

Câu a

 \(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}.\frac{\sqrt{ab}}{a}=\frac{(b+2)\sqrt{ab}}{b}\)

Câu b

Vì \(m>0;x\neq 1\) nên

Biểu thức luôn có nghĩa và: \(|m|=m\)

\(=\sqrt{\frac{4m^{2}(1-2x+x^{2})}{81(1-2x+x^{2})}}=\sqrt{\frac{4m^{2}}{81}}=\frac{2m}{9}\)

Chứng minh các đẳng thức sau

a) \(\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1\) với \(a ≥ 0\) và \(a ≠ 1\)

b) \(\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}  = \left| a \right|\) với \(a + b > 0\) và \(b ≠ 0\)

Phương pháp giải

- Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

- \(\sqrt{A^2}=|A|\). 

- \(|A|=A \) nếu \(A \ge 0\); \(|A|=-A\) nếu  \(A < 0\).

- Sử dụng các hằng đẳng thức

• \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
• \(a^2- b^2=(a+b).(a-b)\).
• \(a^3- b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\(VT=\left ( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right )\left ( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}\)

\(= \frac{(1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a)(1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}=\frac{\left [ (1-a) +(\sqrt{a}-a\sqrt{a})\right ](1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}\)

\(= \frac{(1-a)(1-a)}{(1-a)^{2}}=1=VP\)

Câu b: Ta có

\(VT=\frac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}\)

\(=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}\)

Mà \(a+b>0\Rightarrow |a+b|=a+b\) nên:

\(\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP\)

Rút gọn rồi so sánh giá trị của \(M\) với \(1\), biết:

\(M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}\)   với \(a > 0\) và \( a \ne 1\). 

Phương pháp giải

• Sử dụng hằng đẳng thức số \(2\): \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). 
• Sử dụng phép biến đổi đặt nhân tử chung.

Hướng dẫn giải

Ta có

\(M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}\)

\(={\left(\dfrac{1}{\sqrt a .\sqrt a -\sqrt a .1}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a)^2 -2\sqrt a+1}\)

\(={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}\)

\(={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}\)

\(=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)}  : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}\)

\(=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)}  . \dfrac{(\sqrt a -1)^2}{\sqrt a +1}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt a}  . \dfrac{\sqrt a -1}{1}=\dfrac{\sqrt a -1}{\sqrt a}\).

\(=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a}-\dfrac{1}{\sqrt a} =1 -\dfrac{1}{\sqrt a}\)

Vì \(a > 0 \Rightarrow \sqrt a > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt a} > 0  \Rightarrow 1 -\dfrac{1}{\sqrt a} < 1\).

Vậy \(M < 1\). 

Giá trị của biểu thức \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) bằng:

(A) \(\dfrac{1}{2}\)

(B) \(1\)

(C) \(-4\)

(D) \(4\)

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc trục căn thức ở mẫu: \(\dfrac{C}{\sqrt A \pm B}= \dfrac{C(\sqrt A \mp B)}{A- B^2}\),  với \(A \ge 0,\  A \ne B^2\).

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\)

\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}\)

\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}\)

\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{1}\)

\(=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4\).

Chọn đáp án (D). \(4\)