Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Rút gọn các biểu thức sau

a) $5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}$

b) $\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}$

c) $\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}$

d) $0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}$

Phương pháp giải

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn: Với hai biểu thức $A,\ B$ mà $B \ge 0$, ta có

• $A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}$,  nếu $A \ge 0$.
• $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}$,  nếu $A < 0$.

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,\ B$ mà $B \ge 0$, ta có:

• $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A \ge 0$.
• $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A < 0$.

- $\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}$,  với $B > 0$.

Hướng dẫn giải

Câu a

$5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{\frac{25}{5}}+\sqrt{\frac{20}{4}}+\sqrt{5}$

$=\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$

Câu b

$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{9.\frac{1}{2}}+\sqrt{25.\frac{1}{2}}$

$=\sqrt{\frac{1}{2}}+3\sqrt{\frac{1}{2}}+5\sqrt{\frac{1}{2}}=9\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$

Câu c

$\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}=2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+3.3\sqrt{2}+6\sqrt{2}$

 $=15\sqrt{2}-\sqrt{5}$

Câu d

 $0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}=0,1\sqrt{100.2}+2\sqrt{2.0,04}+0,4\sqrt{25.2}$

$=\sqrt{2}+0,4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3,4\sqrt{2}=\frac{17\sqrt{2}}{5}$

Rút gọn các biểu thức sau (với $a>0, b>0$)

a) $5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}$

b) $5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}$

Phương pháp giải

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,\ B$ mà $B \ge 0$, ta có

• $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A \ge 0$.
• $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A < 0$.

- $\sqrt{A^2}=|A|$. 

- $|A|=A$  nếu $A \ge 0$; $|A|=-A$,  nếu $A < 0$.

Hướng dẫn giải

Câu a

$5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}$

$=5\sqrt{a}-4b.5a\sqrt{a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}=-\sqrt{a}$

Câu b

$5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}$

$=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt{3}ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}-5b.9a\sqrt{ab}$

$=-5ab\sqrt{ab}$

Cho biểu thức $B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}$ với $x\geq -1$

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16

Phương pháp giải

• Sử dụng quy tắc đặt nhân tử chung và quy tắc khai phương một tích để đưa các số hạng về dạng có cùng biểu thức dưới dấu căn.
• $\sqrt x =a \Leftrightarrow (\sqrt x)^2=a^2 \Leftrightarrow x=a^2$,  với $a \ge 0.$ 

Hướng dẫn giải

Câu a

Vì $x\geq -1$ nên căn thức của biểu thức B luôn có nghĩa.

$= 4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}=4\sqrt{x+1}$

Câu b

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=4$

$\Leftrightarrow x+1=4^2=16$

$\Leftrightarrow x=15$

Chứng minh các đẳng thức sau

a) $\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$

b) $\left ( x\sqrt{\frac{6}{x}} +\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}=2\frac{1}{3}$ với $x>0$.

Phương pháp giải

• Biến đổi vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.
• Sử dụng công thức sau: $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ với $a\ge 0;b>0.$

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

$VT=\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}$

$=\frac{3}{2}\sqrt{6}+\sqrt{\frac{4.2}{3}}-\sqrt{\frac{16.3}{2}}$

$=\frac{3\sqrt{6}}{2}+\frac{2\sqrt{2}.\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}.\sqrt{2}}{2}$

$=\frac{9\sqrt{6}}{6}+\frac{4\sqrt{2}.\sqrt{3}}{6}-\frac{12\sqrt{3}.\sqrt{2}}{6}$

$=\frac{9\sqrt{6}+4\sqrt{6}-12\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}=VP$

Câu b: Ta có

 $VT=\left ( x\sqrt{\frac{6}{x}} +\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}= \left ( x\frac{\sqrt{6x}}{x} +\frac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}$

$=\left (\sqrt{6x}+\frac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x} \right ).\frac{1}{\sqrt{6x}}$

$=\frac{8}{3}\sqrt{6x}.\frac{1}{\sqrt{6x}}=\frac{8}{3}=2\frac{1}{3}=VP$

Rút gọn các biểu thức sau

a) $\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}$

b) $\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}$

c) $(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{48}$

d) $(\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}$

Phương pháp giải

- Cách đổi hỗn số ra phân số: $a\dfrac{b}{c}=\dfrac{a.c+ b}{c}$.

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:  

• $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A \ge 0,\ B \ge 0$.
• $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A < 0,\ B \ge 0$.

- $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$,   với $a \ge 0,\ b > 0$.

- $\sqrt a .\sqrt b =\sqrt{ab}$,  với $a, \ b \ge 0$.

- $\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}$,   với $B > 0$.

Hướng dẫn giải

Câu a

$\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{16. 3}-2\sqrt{25.3}-\sqrt{\frac{33}{11}}+5\sqrt{\frac{4}{3}}$

$=\frac{1}{2}. 4\sqrt{3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}+5.\frac{2}{3}\sqrt{3}=(2-10-1+\frac{10}{3})\sqrt{3}=-\frac{17}{3}\sqrt{3}$

Câu b

 $\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}=\sqrt{25.6}+\sqrt{1,6.4.15}+4,5.\sqrt{\frac{8}{3}}-\sqrt{6}$

$= 5\sqrt{6}+\sqrt{96}+4,5.\frac{\sqrt{8.3}}{3}-\sqrt{6}=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5.2.\frac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}$

$=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}$

Câu c

$(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{48}$ 

$= (2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+2\sqrt{21}=2.7-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}=21$

Câu d

$=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=11$

Rút gọn biểu thức sau

a) $\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ với $a>0$ và $b>0$

b) $\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}}$ với $m>0$ và $x\neq 1$

Phương pháp giải

• $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$,   với $a \ge 0, \ b > 0$.
• $\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}$,   với $B > 0$.
• $(\sqrt b)^2=b$,  với $b \ge 0$. 

Hương dẫn giải

Câu a

 $\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}.\frac{\sqrt{ab}}{a}=\frac{(b+2)\sqrt{ab}}{b}$

Câu b

Vì $m>0;x\neq 1$ nên

Biểu thức luôn có nghĩa và: $|m|=m$

$=\sqrt{\frac{4m^{2}(1-2x+x^{2})}{81(1-2x+x^{2})}}=\sqrt{\frac{4m^{2}}{81}}=\frac{2m}{9}$

Chứng minh các đẳng thức sau

a) $\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1$ với $a ≥ 0$ và $a ≠ 1$

b) $\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}  = \left| a \right|$ với $a + b > 0$ và $b ≠ 0$

Phương pháp giải

- Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

- $\sqrt{A^2}=|A|$. 

- $|A|=A$ nếu $A \ge 0$; $|A|=-A$ nếu  $A < 0$.

- Sử dụng các hằng đẳng thức

• $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
• $a^2- b^2=(a+b).(a-b)$.
• $a^3- b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

$VT=\left ( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right )\left ( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}$

$= \frac{(1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a)(1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}=\frac{\left [ (1-a) +(\sqrt{a}-a\sqrt{a})\right ](1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}$

$= \frac{(1-a)(1-a)}{(1-a)^{2}}=1=VP$

Câu b: Ta có

$VT=\frac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}$

$=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}$

Mà $a+b>0\Rightarrow |a+b|=a+b$ nên:

$\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP$

Rút gọn rồi so sánh giá trị của $M$ với $1$, biết:

$M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}$   với $a > 0$ và $a \ne 1$. 

Phương pháp giải

• Sử dụng hằng đẳng thức số $2$: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$. 
• Sử dụng phép biến đổi đặt nhân tử chung.

Hướng dẫn giải

Ta có

$M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a .\sqrt a -\sqrt a .1}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a)^2 -2\sqrt a+1}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$

$=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)}  : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$

$=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)}  . \dfrac{(\sqrt a -1)^2}{\sqrt a +1}$

$=\dfrac{1}{\sqrt a}  . \dfrac{\sqrt a -1}{1}=\dfrac{\sqrt a -1}{\sqrt a}$.

$=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a}-\dfrac{1}{\sqrt a} =1 -\dfrac{1}{\sqrt a}$

Vì $a > 0 \Rightarrow \sqrt a > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt a} > 0  \Rightarrow 1 -\dfrac{1}{\sqrt a} < 1$.

Vậy $M < 1$. 

Giá trị của biểu thức $\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ bằng:

(A) $\dfrac{1}{2}$

(B) $1$

(C) $-4$

(D) $4$

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc trục căn thức ở mẫu: $\dfrac{C}{\sqrt A \pm B}= \dfrac{C(\sqrt A \mp B)}{A- B^2}$,  với $A \ge 0,\  A \ne B^2$.

Hướng dẫn giải

Ta có

$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}$

$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{1}$

$=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4$.

Chọn đáp án (D). $4$