Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Viết các số hoặc biểu thức dấu căn thành dạng tích rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) \(\sqrt{54}\)

b) \(\sqrt{108}\)

c) \(0,1\sqrt{20000}\)

d) \(-0,05\sqrt{28800}\)

e) \(\sqrt{7.63.a^{2}}\)

Phương pháp giải

Để biến đổi biểu thức chứa căn, ta phân tích biểu thức trong căn thành nhân tử rồi đưa giá trị bình phương ấy ra ngoài dấu căn có trị tuyệt đối, nếu số ấy dương thì đưa ra khỏi giá trị tuyệt đối, còn nếu âm thì cần đổi dấu khi đưa ra khỏi giá trị tuyệt đối.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\sqrt{54}=\sqrt{9.6}=\sqrt{3^2.6}=3\sqrt{6}\)

Câu b

\(\sqrt{108}=\sqrt{36.3}=6\sqrt{3}\)

Câu c

\(0,1\sqrt{20000}=0,1\sqrt{2.10000}=100.0,1\sqrt{2}=10\sqrt{2}\)

Câu d

\(-0,05\sqrt{28800}=-0,05.\sqrt{144.100.2}=-0,05.12.10\sqrt{2}=-6\sqrt{2}\)

Câu e

\(\sqrt{7.63.a^{2}}=\sqrt{7.7.3^2a^2}=7.3.|a|=21|a|\)

Đưa thừa số vào trong dấu căn

\(3\sqrt{5}\)

\(-5\sqrt{2}\)

\(-\frac{2}{3}\sqrt{xy}\) với \(xy\geq 0\)

\(x\sqrt{\frac{2}{x}}\) với \(x>0\)

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn 

\(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2.B}\),  nếu \(A \ge 0,\ B \ge 0\).

\(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2.B}\),  nếu \(A < 0,\ B\ge 0\).

Hướng dẫn giải

Ta có

• \(3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{9.5}=\sqrt{45}.\)
• \(-5\sqrt{2}=-\sqrt{5^2.2}=-\sqrt{25.2}=-\sqrt{50}.\)
• Với \(xy>0\) thì \(\sqrt{xy}\) có nghĩa nên ta có: \(-\dfrac{2}{3}\sqrt{xy}= - \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}.xy}=- \sqrt {\dfrac{4}{9}xy}.\)
• Với \(x>0\) thì \(\sqrt {\dfrac{2}{x}}\) có nghĩa nên ta có: \(x\sqrt {\dfrac{2}{x}}  = \sqrt {{x^2}.\dfrac{2}{x}} = \sqrt {\dfrac{x^2.2}{x}}\)\(  = \sqrt {\dfrac{2x.x}{x}}  = \sqrt {2x}.\)

So sánh

a) \(3\sqrt{3}\) và \(\sqrt{12}\)

b) \(7\) và \(3\sqrt{5 }\)

c) \(\frac{1}{3}\sqrt{51}\) và \(\frac{1}{5}\sqrt{150}\)

d) \(\dfrac{1}{2}\sqrt{6}\)  và \(6\sqrt{\dfrac{1}{2}}\)

Phương pháp giải

- Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh. 

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn

• \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2.B}\),  nếu \(A \ge 0,\ B \ge 0\).
• \(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2.B}\),  nếu \(A < 0,\ B\ge 0\).

- Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: \(a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}\),   với \(a,\ b \ge 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\(3\sqrt{3}=\sqrt{3^2.3}=\sqrt{27}>\sqrt{12}\)

Vậy: \(3\sqrt{3}>\sqrt{12}\)

Câu b: Ta có

\(7=\sqrt{49}\)

\(3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}<\sqrt{49}\)

Vậy: \(7>3\sqrt{5}\)

Câu c: Ta có

\(\frac{1}{3}\sqrt{51}=\sqrt{\frac{51}{3^2}}=\sqrt{\frac{17}{3}}\)

\(\frac{1}{5}\sqrt{150}=\sqrt{\frac{150}{5^2}}=\sqrt{6}=\sqrt{\frac{18}{3}}>\sqrt{\frac{17}{3}}\)

Vậy: \(\frac{1}{5}\sqrt{150}>\frac{1}{3}\sqrt{51}\)

Câu d: Ta có

\(\frac{1}{2}\sqrt{6}=\sqrt{\frac{6}{2^2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(6\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{6^2}{2}}=\sqrt{18}>\sqrt{\frac{3}{2}}\)

Vậy: \(\frac{1}{2}\sqrt{6}<6\sqrt{\frac{1}{2}}\)

Rút gọn các biểu thức sau với \(x\geq 0\)

a) \(2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}+27-3\sqrt{3x}\)

b) \(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28\)

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt{A^2.B}=|A|\sqrt{B}\), tức là:

\(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\),  nếu \(A \ge 0\).

\(\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}\),  nếu \(A < 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}+27-3\sqrt{3x}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3x}(2-4-3)+27=27-5\sqrt{3x}\)

Câu b

\(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28\)

\(\Leftrightarrow 3\sqrt{2x}-5.2\sqrt{2x}+7.3\sqrt{2x}+28\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2x}(3-10+21)+28=28+14\sqrt{2x}\)

Rút gọn

a) \(\dfrac{2}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\sqrt{\dfrac{3{{\left( x+y \right)}^{2}}}{2}}\) với \(x\ge 0,y\ge 0\) và \(x\ne y\)

b) \(\dfrac{2}{2a-1}\sqrt{5{{a}^{2}}\left( 1-4a+4{{a}^{2}} \right)}\) với \(a>0,5\)

Phương pháp giải

- \(\sqrt{a^2}=|a|\). 

- Nếu \(a \ge 0\)  thì \( |a|=a\).

   Nếu \( a< 0 \)  thì \( |a|=-a\).

- \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn:

• \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2.B}\),  nếu \(A \ge 0,\ B \ge 0\).
• \(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2.B}\),  nếu \(A < 0,\ B\ge 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Vì  nên . Do đó:

\(\frac{2}{x^2-y^2}.\sqrt{\frac{3(x+y)^{2}}{2}}=\frac{2\left | x+y \right |}{x^{2}-y^{2}}\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{2(x+y)}{x^{2}-y^{2}}\sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(=\frac{2}{x-y}\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{1}{x-y}\sqrt{\frac{4.3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{x-y}\)

Câu b

Vì \(a>0,5\) nên \(a-0,5>0\Leftrightarrow 2a-1>0\)

\(\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^{2}(1-4a+4a^{2})}=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^{2}(2a-1)^{2}}=\frac{2\left | a \right |. \left | 2a-1 \right |}{2a-1}.\sqrt{5}\)

\(=2a\sqrt{5}\).