Giải bài tập SGK Toán 9 Bài: Luyện tập

Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng \(15cm, AB = 24 cm\). Tính độ dài OC.

Phương pháp giải

a) Gọi H là giao điểm của OC và AB

Chứng minh \(ΔOBC = ΔOAC\) (c.g.c) suy ra \(\widehat{OBC}=\widehat{OAC}={{90}^{o}}\)

Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) Tính OH rồi suy ra OC (áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn).

Hướng dẫn giải

a) Gọi H là giao điểm của OC và AB

Ta có \(OA = OB\) ( cùng bằng bán kính (O))

Suy ra \(ΔAOB\) cân tại O

Suy ra OH là đường cao nên cũng là đường phân giác.

Do đó: \(\widehat{AOC}=\widehat{BOC} \)

Xét hai \(ΔOBC\) và \(ΔOAC\) có:

\(OB = OC\) (cùng bằng bán kính (O))

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

OC cạnh chung

\(\Rightarrow ΔOBC = ΔOAC\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OAC}={{90}^{o}} \)

Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O). (đpcm)

b) Ta có:

\(AH=\dfrac{AB}{2}=12\,\left( cm \right)\) (định lí đường kính và dây cung)

Áp dụng định li Pytago trong tam giác vuông OHB, ta có:

\(\begin{aligned} & O{{B}^{2}}=H{{B}^{2}}+H{{O}^{2}} \\\\ & \Rightarrow OH=\sqrt{O{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{15}^{2}}-{{12}^{2}}}=9\left( cm \right) \\ \end{aligned}\)

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác OHB, ta có

\(\cos \widehat{HOB}=\dfrac{OH}{OB}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\)

Tương tự, \(\cos \widehat{COB}=\dfrac{OB}{OC}\)

\(\Rightarrow OC=\dfrac{OB}{\cos \widehat{COB}}=15:\dfrac{3}{5}=25\,\left( cm \right)\)

Cho đường tròn tâm O có bán kính \(OA = R\), dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.

a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.

Phương pháp giải

a) Ta có MB = MC và MO = MA suy ra tứ giác OBAC là hình bình hành

b) Xét tam giác OBE, tính góc BOE sau đó tính BE.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(OA\bot BC\Rightarrow MB = MC\) (định lí đường kính và dây cung)

Mà \(MO = MA\) (giả thiết).

Suy ra tứ giác OBAC là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Lại có: \(OA ⊥ BC\) nên OBAC là hình thoi.

b) Ta có: \(OA = OB\) (bán kính)

 \(OB = BA\) (tính chất hình thoi).

Suy ra \(OA = OB = BA \)

\(\Rightarrow ΔAOB\) đều \(\Rightarrow \widehat{AOB}={{60}^{o}}\)

Trong tam giác OBE vuông tại B ta có:

\(BE = OB.tg\widehat{AOB~} = OB.tg60^o = R.\sqrt 3\)