Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Tiếp theo)

Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tang mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2.

Phương pháp giải

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời.

Chú ý: Tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông $a,\ b$ có diện tích là: $S=\dfrac{1}{2}ab$.

Hướng dẫn giải

Gọi $x (cm), y (cm)$ là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện $x > 0, y > 0$

Vì đây là tam giác vuông nên diện tích của tam giác này bằng $\frac{1}{2}xy$

Tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng thêm $36 cm^2$ nên ta được:

$\frac{(x + 3)(y + 3)}{2}=\frac{xy}{2}+36$

Một cạnh giảm 2 cm, cạnh kia giảm 4 cm thì diện tích của tam giác giảm $26 cm^2$ nên ta được:

$\frac{(x - 2)(y- 4)}{2}=\frac{xy}{2}-26$

Ta có hệ phương trình :

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+3y= 63 & & \\ -4x-2y=-60 & & \end{matrix}\right.$

Áp dụng các phương pháp giải hệ phương trình, ta tìm được:

$\left\{\begin{matrix} x=9\\ y=12 \end{matrix}\right.$ (thỏa điều kiện bài toán)

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là $9cm,12cm$

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau $4\frac{4}{5}$ giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở them vòi thứ hai thì sau $\frac{6}{5}$ giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?

Phương pháp giải

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Chú ý

• Quy ước chảy đầy bể là $1$.
• Một vòi chảy đầy bể trong $x$ giờ thì trong $1$ giờ chảy được $\dfrac{1}{x}$ bể. 

Hướng dẫn giải

Gọi $x(h)$ là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể $(x > 0)$

$y (h)$ là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể $(y > 0)$

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được là   bể, vòi thứ hai chảy được  bể.

Cả hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau $4\frac{4}{5}=\frac{24}{5}(h)$ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được  bể.

Ta có phương trình:$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}$

Trong 9 giờ vòi một chảy được  bể.

Trong  giờ cả hai vòi chảy được $\frac{6}{5}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ bể

Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}\\ \frac{6}{5}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )+\frac{9}{x}=1 \end{matrix}\right.$

Giải hệ này, ta được $(x;y)=(12;8)$ (thỏa điều kiện bài toán)

Vậy ngay từ đầu mở vòi thứ hai thì sau 8h bể đầy

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Phương pháp giải

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Chú ý

• Quy ước làm xong công việc là $1$.
• Một người làm xong trong $x$ giờ thì trong $1$ giờ làm được $\dfrac{1}{x}$ công việc. 

Hướng dẫn giải

Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc  trong x giờ, người thứ hai trong y giờ. Điều kiện $x > 0, y > 0$

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được  công việc, người thứ hai  công việc, cả hai người cùng làm chung thì được  công việc

Ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}$

Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được  công việc, trong 6 giờ người thứ hai làm được  công việc, cả hai người làm được 25% công việc hay  công việc

Ta có phương trình  $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}$

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} & & \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}& & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình, ta được $(x;y)=(24;48)$ (thỏa điều kiện bài toán)

Vậy người thứ nhất cần 24h, người thứ hai cần 48h

Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp?

Phương pháp giải

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Hướng dẫn giải

Gọi x là số luống rau, y là số cây của mỗi luống. Điều kiện $x > 0, y > 0$.

Tăng 8 luống, mỗi luống ít hơn 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây, ta có phương trình:

$(x+8)(y-3)=xy-54$

Giảm 4 luống mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn tăng 32 cây, nên ta có phương trình:

$(x-4)(y+2)=xy+32$

Ta được hệ phương trình: 

Áp dụng phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta tìm được giá trị là:

$(x;y)=(50;15)$

Số cây rau cải bắp nhà Lan trồng là:

$50.15=750$ cây.

(Bài toán cổ Ấn Độ). Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rubi ?

Phương pháp giải

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Hướng dẫn giải

Gọi x (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên

Gọi y (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng

Điều kiện: $x > 0, y > 0$

Ta có hệ phương trình: 

Ta giải hệ và nhận được $(x;y)=(3;10)$ (thỏa điều kiện bài toán)

Vậy, thanh yên 3 rupi/quả; táo rừng 10 rupi/quả

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau $100$ lần bắn là $8,69$ điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *):

Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.

Phương pháp giải

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Hướng dẫn giải

Gọi số lần bắn được 8 điểm là x, số lần bắn được 6 điểm là y.

Điều kiện $x > 0, y > 0$

Ta có hệ phương trình:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + y = 18 & & \\ 8x + 6y = 136& & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=14 & & \\ y=4& & \end{matrix}\right.$ (thỏa điều kiện bài toán)

Vậy số thứ nhất là 14, số thứ hai là 4

Hai vật chuyển động đểu trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.

Phương pháp giải

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Chú ý

• Đường tròn có đường kính $d$ có chu vi là: $C=d. \pi$
• $S=v. t$ trong đó: $S$ là quãng đường đi được, $v$ vận tốc, $t$ là thời gian. 

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là $x (cm/s)$ và $y (cm/s)$ (giả sử $x \geq y > 0$).

Khi chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng đường mà vật đi nhanh đi được trong 20 giây hơn quãng đường mà vật kia cũng đi trong 20 giây là đúng 1 vòng ($= 20\pi (cm)$). Ta có phương trình$20(x - y) = 20\pi$.

Khi chuyển động ngược chiều, cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đườnghai vật đi được trong 4 giây là đúng 1 vòng. Ta có phương trình $4(x + y) = 20\pi​$

Hệ phương trình là: $\left\{\begin{matrix} 20(x - y) = 20\pi & & \\ 4(x + y) = 20\pi & & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 3\pi & & \\ y = 2\pi & & \end{matrix}\right.$ (thỏa điều kiện bài toán)

Vậy vận tốc của hai vật là $3\pi (cm/s), 2\pi (cm/s)$

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong $1$ giờ $20$ phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong $10$ phút và vòi thứ hai trong $12$ phút thì chỉ được $\dfrac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?

Phương pháp giải

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Hướng dẫn giải

Giả sử khi chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong x (phút), vòi thứ hai trong y (phút)

Điều kiện $x > 0, y > 0$

Ta có 1 giờ 20 phút = 80 phút.

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được  bể, vòi thứ hai chảy được  bể, cả hai vòi cùng chảy được  bể nên ta có phương trình:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{80}$

Trong 10 phút vòi thứ nhất chảy được  bể, trong 12 phút vòi thứ hai chảy được  bể. Vì cả hai vòi cùng chảy được  bể. Ta có phương trình:

$\frac{10}{x}+\frac{12}{y}=\frac{2}{15}$

Ta có hệ phương trình: 

Giải hệ phương trình trên, ta tìm được $\left\{\begin{matrix} x=120\\ y=240 \end{matrix}\right.$ (thỏa điều kiện)

Vậy nếu chảy một mình, để đầy bể vòi thứ nhất chảy trong 120 phút, vòi thứ hai 240 phút

Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng $2,17$ triệu đồng, kể cả thuế giá trị tăng (VAT) với mức $10$% đối với loại hàng thứ nhất và $8$% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là $9$% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng $2,18$ triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Phương pháp giải

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Chú ý

Số tiền phải trả khi đã có thuế=số tiền khi chưa có thuế + số tiền thuế.

Hướng dẫn giải

Giả sử không kể thuế VAT, người đó phải trả x triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, y triệu đồng cho loại hàng thứ hai. Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất, (kể cả thuế VAT 10%) là $\frac{110}{100}x$ triệu đồng, cho loại hàng thứ hai, với thuế VAT 8% là $\frac{108}{100}y$ triệu đồng. Ta có phương trình:

$\frac{110}{100}x+\frac{108}{100}y=2,17\Leftrightarrow 1,1x+1,08y=2,17$

Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là: $\frac{109}{100}(x+y)=2,18\Leftrightarrow 1,09x+1,09y=2,18$

Ta có hệ phương trình: 

Áp dụng phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có:

$(x;y)=\left ( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right )$ (thỏa bài toán)

Vậy loại thứ nhất 0,5 triệu đồng, loại thứ hai 1,5 triệu đồng